2021衡水名師原創數學專題卷

專題十五《概率》考點47：古典概型、幾何概型（1-6題，9題，13,14題）考點48：事件的獨立性與條件概率（7題，15題，19題）考點49：獨立重復試驗與二項分布、正態分布（9-12題，18題，20題，22題）考點50：離散型隨機變量的分布列、期望與方差（8題，11,12題，16題，17題，19題,21,22題）試時間：120分鐘滿分：150分說明：請將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）A1rA..5b.25.設O為正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3點，則取到的A1rA..5b.25D.45.從3名男生和1名女生中選出2人去參加社會實踐活動，則這名女生被選中的概率是（1A.一1A.一31B.一22C.一33D.一4A1rA..44.如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區域,A1rA..44.如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區域,2內的概率為3.則陰影區域的面積約為（）在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域B.D.無法計算5.如圖，若在矩形OABC中隨機撒一粒豆子,則豆子落在圖中陰影部分的概率為（）.在1,2,3,6這組數據中隨機取出3個數,則數字2是這3個不同數字的平均數的概率是（DW6.已知正方體ABCD-ABCD的棱長為1,則在該正方體內任取一點M,則其到頂點A的1111距離小于1的概率為（）n n.五 .五7.盒內有5個紅球、11個藍球，C.3n D.n32 6紅球中有2個玻璃球、3個塑料球，藍球中有4個玻璃球、7個塑料球，假設每個球被摸到的可能性相同，現從中任取一球，若已知取到的球是玻璃球，則它是藍球的概率是（）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 -1 3\o"CurrentDocument"A.2 B.1 C.1 D.3\o"CurrentDocument"3 4 4.已知某離散型隨機變量X的分布列為X0123P274m27TOC\o"1-5"\h\z則X的數學期望E（X）=（）\o"CurrentDocument"A.2 B.1 C.- D.23 2二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）.下列結論正確的有（）A.公共汽年上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式有105種.1B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是不；_1 _,3_7,80C.若隨機變量X服從二項分布X~B（5,），則P（-<X<-）=—；3 2 2 81口.已知一組數據丟失了其中一個，剩下的六個數據分別是3,3,5,3,6,11,若這組數據的平均數、中位數，眾數依次成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為12.10.下面給出了關于正態曲線的4個說法，其中正確的說法是（）A.曲線在％軸上方且與％軸不相交；B.當%〉四時油線下降，當％<N時油線上升C.當日一定時，。越小，總體分布越分散，°越大，總體分布越集中；D.曲線關于直線%=目對稱，且當%=日時位于最高點.11.隨機變量X服從正態分布N(90,52),則下述正確的是()A.E(X)=90 B,D(X)=5C.P(X>100)=P(X<80) d,P(X>100)>P(X<100)12.江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘,公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經常擁堵，所需時間Z(單位:分)服從正態分布N(33,42)，下車后從公交站步行到單位要12分鐘;乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間Z(單位:分)服從正態分布N(44,22)，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.從統計的角度看，下列說法合理的是()參考數據:若Z?N(上。2),則P(N—o<Z<^+c)x0.6827,P⑴—20VZ<^+2。)x0.9545,P(R—30VZ<R+紇)x0.9973.A.若8:00出門，則乘坐公交上班不會遲到B.若8:02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C.若8:06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大D.若8:12出門,則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到第II卷(非選擇題)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分。).某學校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐，則他們在同一個食堂用餐的概率為 ..如圖所示的三角形稱為希爾賓斯基三角形，現分別從圖(2)和圖(3)中各隨機選取一個點，則此兩點均取自陰影部分的概率為 .甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束).根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是 ..隨機變量自的取值為0,1,2,若P4=0)=1,E(自)=1,則D(1)=.四、解答題（本題共6小題，共70分。）.（本題滿分10分）拋擲一枚質地均勻的硬幣2次，記正面朝上的次數為X.（1）求隨機變量X的分布列；（2）若隨機變量y=2X+1，求隨機變量y均值、方差..（本題滿分12分）第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項，329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開，武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解軍運會的相關知識，并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況，在全市開展了網上問卷調查，民眾參與度極高，現從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者，他們得分（滿分100分）數據，統計結果如下：組別IJ[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,100)頻數5304050452010（1）若此次問卷調查得分整體服從正態分布，用樣本來估計總體，設也o分別為這200人得分的平均值和標準差（同一組數據用該區間中點值作為代表），求生0的值（也o的值四舍五入取整數），并計算P（51<X<93）；（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動，市體育局還對參加問卷調查的幸運市民制定如下獎勵方案：得分低于目的可以獲得1次抽獎機會，得分不低于目的可獲得2次抽獎機會，在一次抽獎中，抽中價值為15元的紀念品A的概率為2，抽中價值為30元的紀念品B的概率為3.現有市民張先生參加了此次問卷調查并成為幸運參與者，記丫為他參加活動獲得紀念品的總價值，求丫的分布列和數學期望.（參考數據：P（從—6<X<^+8）X0.6827；P（從―28<X?從+28）“0.9545；P（從―38<X<曰+38）x0.9973.）.（本題滿分12分）空氣質量指數PM2.5（單位：Rg/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：PM2.5日均濃度0~3535~7575~115115~150150?250>250空氣質量級別一級二級三級四級五級六級空氣質量類型優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染甲、乙兩城市2020年5月份中的15天對空氣質量指數PM2.5進行監測，獲得PM2.5日均濃度指數數據如莖葉圖所示:（1）根據你所學的統計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好？并簡要說明理由.（2）在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率；（3）在乙城市15個監測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優或良的天數，求X的分布列及數學期望..（本題滿分12分）某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為p，現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗5件該產品，且每件產品檢驗合格與否相互獨立.若每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產品每k個（k<5）一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗1次或1+k次.設該工廠生產1000件該產品，記每件產品的平均檢驗次數為X.（1）求X的分布列及其期望；（2）（i）試說明，當P越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；（ii）當p=0.1時，求使該方案最合理時k的值及1000件該產品的平均檢驗次數.21.（本題滿分12分）隨著經濟的發展，個人收入的提高。自2018年10月1日起，個人所得稅起征點和稅率的調整。調整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應納稅所得額。依照個人所得稅稅率表，調整前后的計算方法如表：個人所得稅稅率表（調整前）個人所得稅稅率表（調整后）免征額3500元免征額5000元級數全月應納稅所得額稅率（%）級數全月應納稅所得額稅率（%）1不超過1500元的部分31不超過3000元的部分32超過1500元至4500元的部102超過3000元至12000元的部10分分3超過4500元至9000元的部分203超過12000元至25000元的部分20⑴假如小李某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記％表示總收入，y表示應納的稅，試寫出調整前后y關于％的函數表達式；（2）某稅務部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數分布表：收人（元）[3000,5000)15000,7000)[7000,9000)(9000,11000)111000,13000)「3000,1500。)人數304010875①先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法知識宣講員用a表示抽到作為宣講員的收人在^000,5000）元的人數，b表示抽到作為宣講員的收入在［5000,7000）元的人數，隨機變量Z=|q-b|，求Z的分布列與數學期望;②小李該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小李算一下調整后小李的實際收人比調整前增加了多少？22.（本題滿分12分）為進一步深化“平安校園”創建活動，加強校園安全教育宣傳，某高中對該校學生進行了安全教育知識測試（滿分100分）,并從中隨機抽取了200名學生的成績，經過數據分析得到如表所示的頻數分布表,并繪制了得分在［30，40）以及10,100］的莖葉圖，分別如圖1、2所示.成績[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,1001頻數5304050452010- -自0112.2358圖1 圖上⑴求這200名同學得分的平均數;（同組數據用區間中點值作代表）（2）如果變量X滿足P（N-20VX<N+2。）〉0.9544且P⑴-30VX<n+%）>0.9974，則稱變量X“近似滿足正態分布N（402）的概率分布”。經計算知樣本方差為210,現在取N和o2分別為樣本平均數和方差，以樣本估計總體，將頻率視為概率,如果該校學生的得分“近似滿足正態分布N（也02）的概率分布”，則認為該校的校園安全教育是成功的，否則視為不成功。試判斷該校的安全教育是否成功，并說明理由。

⑶學校決定對90分及以上的同學進行獎勵，為了體現趣味性，采用抽獎的方式進行，其中得分不低于94的同學有兩次抽獎機會，低于94的同學只有一次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應的概率分別為：獎金50100概率3414現在從不低于90同學中隨機選一名同學，記其獲獎金額為己，以樣本估計總體，將頻率視為概率，求己的分布列和數學期望.（參考數據：一五0x14.5）答案以及解析.答案：A解析：根據題意作出圖形，如圖所示，在O,A,B,C,D中任取3點，有10種可能情況，分別為(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取至1」的3點共線有(OAC)和(OBD)2種可能情況，所以在O,A,B,C,D中任取3點，則取到的3點共線的概率為120=5，故選A..答案：B31解析：基本事件總數為C2=6(種)，這名女生被選中的有C1=C4=3(種)故概率P=-=-4 1 3 6 2.答案：A解析：在1,2,3,6這組數據中隨機取出3個數，基本事件總數有4個,分別為(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6)，數字2是這3個不同數字的平均數所包含的基本事件只有1,2,3),共1個，所以數字2是這3個不同數字的平均數的概率是1.故選A.4.答案：ATOC\o"1-5"\h\z.S 2解析：正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域內的概率，P=堂影部分=，又：J 3正方形一 8一-S正方形=4 S陰影痂故選：A.答案：A解析：S -nJ兀sinxdx--cos」”二—(cosn-cos0)=2,「.S=n-2，故豆子落在圖中陰矩形0 0 陰影影部分的概率為三2-1二.故選：A.nn.答案：D解析：由題意知，正方體的體積V-1,其中滿足ImA<1的區域是以A為球心，1為半徑的..1一..14 n ..n球的-，其體積為-x-xnx13-2,所以所求概率為-8 83 6 6

.答案：A解析：記”取得籃球”為事件A,”取得玻璃球”為事件8,則已知取到的球為玻璃球，它時籃球的概率就是B發生的條件下發生的概率記作P(AIB)因為P(AB)=-=—,P(B)==—■TOC\o"1-5"\h\z164 168所以P(AIB)=如竺)=2P(B) 3故選A.答案：B84 1解析：由題意可得：—+-+m+ =1.279 272可得m=9.8 4 2 1E(X)=0x—+1x+2x—+3x—=1.27 9 9 27故選：B..答案：BD解析：解：對于A：公共汽年上有10位乘客，沿途5個車站，則每個乘客由5種下車的方式，則根據分步乘法計數原理可得乘客下車的可能方式有510種，故A錯誤；對于B：兩位男生和兩位女生隨機排成一列共有A4=24(種)排法；兩位女生不相鄰的排法4有A2A2=12(種)，故則兩位女生不相鄰的概率是1，即B正確；23 21 1、對于C：若隨機變量X服從二項分布X?B(5力)，則P(3<X<7)P(3<X<7)=P(X=2)+P(X=3)=C2f1丫「- - A3)+C351￥3/4081錯誤;31+x對于D：設這個數字是x，則平均數為一7—，眾數是3,若x3，則中位數為3,此時x=-10, (31+x若3<x<5,則中位數為x，此時2x=-^―+3,x=4,_-31+x— -若x4，則中位數為5,2x5=-^―+3,x=18,所有可能值為-10,4,18,其和為12?2故D正確；故選：BD..答案：ABD解析：根據正態曲線的性質知：正態曲線關于直線％=以對稱，故A正確；當％<N曲線上升，當時曲線下降；B正確；N一定時，。越小，曲線越“瘦高”，表示取值越集中，故C不正確；曲線關于％=以對稱，D正確.故答案為：ABD.答案：AC解析：由隨機變量X服從正態分布N(90,52)，所以R=90，。=5，所以E(X)=90，D(X)=25，故A正確；B錯誤；根據正態分布密度曲線的對稱性，P(X>100)=P(X<80)，P(X<100)=P(X<80)+P(80<X<100)，即P(X<100)=P(X>100)+P(80<X<100)所以P(X>100)<P(X<100)，故C正確；D錯誤；故選：AC..答案：CD解析：對于選項A,江先生乘坐公交的時間不大于43分鐘才不會遲到，因為P(Z<43)<P(Z<45),且P(33-12<Z<33+12)?0.9973，所以P(Z<43)<P(Z<45)x0.5+0.5x0.9973-0.9987，所以“江先生上班遲至U”還是有可能發生的,所以選項A不合理;對于選項B,若江先生乘坐地鐵上班,則其乘坐地鐵的時間不大于48分鐘才不會遲至U,因為P(44-4<Z<44+4)-0.9545，所以P(Z<48)-0.5+0.9545x0.5-0.9773,所以“江先生8:02出門,乘坐地鐵上班不遲至U”發生的可能性約為0.9773,若江先生乘坐公交上班,則其乘坐公交的時間不大于41分鐘才不會遲到，因為P(33-8<Z<33+8)-0.9545，所以P(Z<41)-0.5+0.9545x0.5-0.9773,所以“江先生8:02出門,乘坐公交上班不遲到”發生的可能性約為0.9773，二者可能性一樣，所以選項B不合理;對于選項C,若江先生乘坐公交上班，則其乘坐公交的時間不大于37分鐘才不會遲到，因為P(33-4<Z<33+4)-0.6827，所以P(Z<37)-0.5+0.5X0.6827-0.8414,所以“江先生8:06出門,乘坐公交上班不遲到”發生的可能性約為0.8414，若江先生乘坐地鐵上班,則其乘坐地鐵的時間不大于44分鐘才不會遲到,因為P(Z<44)=0.5，所以“江先生8:06出門,乘坐地鐵上班不遲到”發生的可能性約為0.5，又0.8414〉0.5所以選項C是合理的;對于選項D,江先生乘坐地鐵的時間不大于38分鐘才不會遲到，因為P(44—6<Z<44+6)-0.9973，所以P(Z<38)-(1-0.9973)x0.5-0.0014，所以“江先生8:12出門,乘坐地鐵上班不遲到”發生的可能性非常小，所以選項D合理,所以選CD..答案：J4解析：由題意，三名學生各自隨機選擇兩個食堂中的一個用餐的情況共有2x2x2=8(種)，其中他們在同一個食堂用餐的情況有2種，根據古典概型概率的計算公式得，所求概率為218—4..答案：2764解析：依題意，設圖①陰影面積為1,設圖n的陰影面積為Sn,則［=1，S=—則圖②陰影為圖①面積的-,24，403 3 9S■圖③陰影為圖②面積的-,3 4 4 16，4分別從圖(2)和圖(3)中各隨機選取一個點，則此兩點均取自陰影部分的概率為---—經41664故答案為：27.64.答案：0.18解析：甲隊以4:1獲勝，甲隊在第5場(主場)獲勝，前4場中有一場輸.若在主場輸一■場，則概率為2x0.6x0.4x0.5x0.5x0.6;若在客場輸一■場，則概率為2x0.6x0.6x0.5x0.5x0.6..?.甲隊以4:1獲勝的概率P=2x0.6x0.5x0.5x(0.6+0.4)x0.6—0.18.答案：25解析：本題主要考查方差與概率.已知P也—0)=5，設P(1=1)=%,P1=2)—y.故E也)-0X5+1X%+2xy—%+2y=1, 1 ?. 3 1又因為一+%+y=1,所以%——，y—,5 5 5+1x(2-+1x(2-2.5517.答案：(1)隨機變量X的取值可以為0,1,2.1P(X=0)="乙21=4;P(x=1)=C2x1；P(X=2)=C2x222113故D也)=-x(0-11+-x(1-1?55因此，隨機變量X的分布列為:X012P111424TOC\o"1-5"\h\z(2)由(1)知EX=0x1+1x1+2x1=1.4 2 41(用XB2,2DX=(0-1)2x1+(1-1)2x1+(2-1)2x11(用XB2,2，則E(X)=2x—=1,DX=2x—x—=—也可以)

2 222???E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=3,?'.D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=2解析：?.答案：(1)由已知頻數表得：E(X)=35x5E(X)=35x5北30 40公50 45 20 10公—+45x +55x+65x +75x+85x +95x=65,200200200200200200200D(X)=(35—65)2x0.025+(45—65)2x0.15+(55—65)2x0.2+(65—65)2x0.25+(75—65)2x0.225+(85-65)2x0.1+(95一65)2x0.05=210,由196＜。2＜225，則14＜。＜15，而14.52=210.5＞210，所以。合14,則X服從正態分布N(65,14),所以P(51P(51<X<93)=P(N-。<X<N+2。)=P(日一2。<X<日+2。)+P⑴一。<X<N+o)0.9545+0.9545+0.6827=0.8186；(2)顯然，P(X<N)=P(X>N)=0.5,所以所有Y的取值為15,30,45,60,/ “121 / “ 111227P(Y=15)=x—=—,P(Y=30)=x—i—x—x—=—,233 2323318P(Y=P(Y=45)=2211122x—x-+-332,P(Y=60)=—x—x—=—,23318所以丫的分布列為:Y15304560P1721318918一.. 17 2 1所以E(Y)=15x-+30x—+45x-+60x =30,3 18 9 18解析：.答案：(1)由莖葉圖可知：甲城市空氣質量一級和二級共有10天，而乙城市空氣質量一級和二級只有5天，因此甲城市空氣質量總體較好.(2)甲城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有10天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為-=2，153乙城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有5天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為—=1,153在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率為2x1=2339(3)X的取值為0,1,2,TOC\o"1-5"\h\zc、C0C2 3 ＜、C1C1 10 ?C2C0 2P(X=0)=-5—10= ,P(X=1)=-5~~10= ,P(X=2)=-5-10=—.C； 7 C; 21 C; 21X的分布列為:X012P310272121TOC\o"1-5"\h\z數學期望EX=0x3+1x-+2x-=27 21 213解析：20.答案：(1)解:-=(1—p)k由題，X的可能取值為1和k20.答案：(1)解:故X的分布列為Xk1+kkP(1-p)k1—(1—p)k

1+1+k「1—(1—p)k=1—(1—p)k+—

k(2)解：⑴由(1)記f(p)=1—(1—p)k+1，因為

k所以f(p)在pg(0,1)上單調遞增，越小，所以f(p)在pg(0,1)上單調遞增，越小，f(p)越小，即所需平均檢驗次數越少，該方案越合理(ii)i己g(k)=1?(1-p)k+—=1—0.9k+—kk當g(k)<1且取最小值時，該方案最合理，因為g(1)=1.1,g(2)=0.69,g⑶。0.604,g(4)?0.594,g⑸。0.61所以k=4時平均檢驗次數最少，約為1000x0.594=594次.解析:21.答案：(1)調整前y關于%的解析式為y=<0,%<3500(%-3500)x0.03,%g(3500,5000］；45+(%-5000)x0.1,%g(5000,8000］調整后y關于調整后y關于%的解析式為y=0,%<5000'(%-5000)x0.03,%G(5000,8000］；(2)①由頻率分布表可知，從收入在［3000,5000)及［5000,7000)的人群中