瘋狂專練瘋狂專練20數學文化題集一一、選擇題（5分/題）1．[2023·安徽聯考]我國古代著名的思想家莊子在《莊子·天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”用現代語言敘述為：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完．這樣，每日剩下的部分都是前一日的一半．如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么剩下的部分所成的數列的通項公式為A． B． C． D．【答案】C【解析】由“一尺長的木棒，每日取其一半．”可知每天剩下的木棒構成一個首項為，公比為的等比數列．所以該數列的通項公式為．故選C．2．[2023·江淮十校]《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積=（弦矢+矢2）．弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差．現有圓心角為，半徑等于4米的弧田．按照上述方法計算出弧田的面積約為（）A．6平方米 B．9平方米 C．12平方米 D．15平方米【答案】B【解析】因為圓心角為，半徑等于4米，所以圓心到弦的距離為，所以矢等于米，弦長為，所以弧田的面積約為，故選B．3．[2023·奎屯一中]齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，記齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為1，2，3．比賽的情況用符號表示有：，，，，，，，，，共有9種．田忌的馬獲勝的情形有，，，共有3種，所以概率為．故選A．4．[2023·崇義中學]《張丘建算經》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為：現有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現在一月（按30天計算）共織390尺布，記該女子一月中的第天所織布的尺數為，則的值為（）A．55 B．52 C．39 D．26【答案】B【解析】因為從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，所以該女子每天織的布構成一個等差數列，其中，，，．所以．故選B．5．[2023·資陽一診]公元263年左右，我國數學家劉徽發現，當圓內接多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創立了割圓術，利用割圓術，劉徽得到了圓周率精確到小數點后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率．如圖是利用劉徽的割圓術設計的程序框圖，則輸出的值為（）（參考數據：，，）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，當時，，當時，，輸出n，n=24．故選B．6．[2023·北京大興]遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”．如圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生后的天數，在從右向左一次排列的不同繩子上打結，滿七進一，根據圖示可知，孩子已經出生的天數是（）A．336 B．510 C．1326 D．3603【答案】B【解析】由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數，化為十進制數為，故選B．7．[2023·全國卷Ⅰ]《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛【答案】B【解析】設米堆的底面半徑為尺，則，所以，所以米堆的體積為（立方尺）．故堆放的米約有(斛）．故選B．8．[2023·滁州中學]《九章算術》是我國古代的數學巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)”，下底面寬丈，長丈，上棱丈，．與平面的距離為1丈，問它的體積是（）A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈【答案】B【解析】延長、分別到、，且，則該幾何體為直三棱柱，三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，所以所求體積為．故選B．9．[2023·皖南八校]中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外．”其中的“籌”原意是指《孫子算經》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表表示一個多位數時，像阿拉伯計數一樣，把各個數位的數碼從左到右排列，但各位數碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是：，則9117用算籌可表示為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由定義知：千位9為橫式；百位1為縱式；十位1為橫式；個位7為縱式，選A．10．[2023·韶關期末]“勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”，三國時期吳國的數學家趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明，如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方向拼成一個邊長為的大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現在向該正方形區域內隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】小正方形的邊長為，所以飛鏢落在小正方形內的概率是：，故選A．11．[2023·衡水中學]中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，古代用它作為長方體棱臺（上、下底面均為矩形的棱臺）的專用術語，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上表，下表從之，亦倍小表，上表從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六面一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數值相加，與高相乘，再取其六分之一，以此算法，現有上下底面為相似矩形的棱臺，相似比為，高為3，且上底面的周長為6，則該棱臺的體積的最大值是（）A．14 B．56 C． D．63【答案】C【解析】設上底面的長為，則寬為，因為相似比為，所以下地面的長為，寬為．由題意得棱臺的體積為，所以當時，．故選C．12．[2023·信陽聯考]中國傳統文化中很多內容體現了數學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美，給出定義：能夠將圓O的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優美函數”，給出下列命題：①對于任意一個圓O，其“優美函數”有無數個；②函數可以是某個圓的“優美函數”；③正弦函數可以同時是無數個圓的“優美函數”；④函數是“優美函數”的充要條件為函數的圖象是中心對稱圖形．其中正確的命題是：（）A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④【答案】A【解析】對于①，過圓心的任一直線都可以滿足要求，所以正確；對于②可以做出其圖象：故不能是某圓的“優美函數”；對于③，只需將圓的圓心放在正弦函數的圖象的對稱中心上即可，所以正弦函數是無數個圓的“優美函數”；對于④函數是中心對稱圖形時，函數是“優美函數”，但是“優美函數”不一定是中心對稱，如圖所示：故選A．二二、填空題（5分/題）13．[2023·華師附中]《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最大的一份為______．【答案】【解析】設每人所得面包數構成等差數列，公差．由題意得，即，解得．14．[2023·重慶十一中]現介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請在研究和理解球的體積公式求法的基礎上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程為：，將此橢圓繞軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于_________．【答案】【解析】橢圓的長半軸為5，短半軸為2，現構造一個底面半徑為2，高為5的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據祖暅原理得出橢球的體積：．15．[2023·揭陽調研]魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為________．（容器壁的厚度忽略不計）【答案】【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為，，所以該球形容器的表面積的最小值為．16．[2023·吉林實驗]關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的