第中考最后壓軸題初中數學知識點及數學公式總結

初中數學知識點及數學公式總結

1過兩點有且只有一條直線2兩點之間線段最短3同角或等角的補角相等4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行9同位角相等，兩直線平行10內錯角相等，兩直線平行11同旁內角互補，兩直線平行12兩直線平行，同位角相等13兩直線平行，內錯角相等14兩直線平行，同旁內角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角21全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角b、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角形48定理四邊形的內角和等于360°49四邊形的外角和等于360°

邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形60矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形64菱形性質定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角71定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分73逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱

74等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰80推論2經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

83(1)比例的基本性質如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85(3)等比性質如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似91相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）94判定定理相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）94判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似96性質定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97性質定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形120定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角

121①直線L和⊙O相交d＜r②直線L和⊙O相切d=r③直線L和⊙O相離d＞r

122切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑124推論1經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點125推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等130相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d＞R+r②兩圓外切d=R+r③兩圓相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④兩圓內切d=R-r(R＞r)⑤兩圓內含d＜R-r(R＞r)136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓139正n邊形的每個內角都等于（n-2）×180°／n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形141正n邊形的面積Sn=pnrn／2p表示正n邊形的周長142正三角形面積√3a／4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4144弧長計算公式：L=n兀R／180

145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146內公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

一、猜想、探究題2x?5x?4?0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x?1．1.已知：拋物線

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）求此拋物線的解析式；

（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DE∥BC交AC于點E，連結CD，設BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存在，請說明理由．

y

A

ODB

x

12y?xE?0，?1?4E2.已知，如圖1，過點作平行于x軸的直線l，拋物線上的兩點A、B的橫坐標分別為?1和4，直線AB交y軸于點

F，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點C、D，連接CF、DF．

C

、B、F的坐標；（1）求點A（2）求證：

CF?DF；

12y?x4對稱軸右側圖象上的一動點，過點P作PQ⊥PO交x軸于點Q，是否存在點P使得△OPQ與（3）點P是拋物線

△CDF相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

yByFFA3.已知矩形紙片OABC的長為4，寬為3，以長OA所在的直線為軸，O為坐標原點建OO，現將x沿立平面直角坐標系；點是OA邊上的動點（與點O、A不重合）翻折ECDlCE△PEC△PFD△PAD得到，再在邊上選取適當的點將，使得PD翻折，得到沿xP△POCPCABD，Dx

直線PE、PF重合．（1）若點E落在BC邊上，如圖①，求點P、C、D的坐標，并求過此三點的拋物線的函數關系式；

（圖

1）備用圖

（2）若點E落在矩形紙片

x為何值時，y取得最大值？OABC的內部，如圖②，設OP?x，AD?y，當

（3）在（1）的情況下，過點

P、C、D三點的拋物線上是否

y

y

存在點

Q，△PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．

使

2y?x?4x?3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，?拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（?1，0）

4.如圖，已知拋物線．

（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；（2）在平面直角坐標系

xoy中是否存在點P，與A、B、C三點構成一個平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連結CA與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的

兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．

yC2y?ax?bx?3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（－D3，0）5.如圖①，已知拋物線，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．xOAEB（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

二、動態幾何6.如圖，在梯形

yyCCABCD中，DC∥AB，?A?90°，AD?6厘米，DC?4厘米，BC的坡度i?3∶4，動點P從A出發以

AB方向向點B運動，動點Q從點B出發以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向點D運動，兩個動點同時出發，BBMAAt秒．當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止．設動點運動的時間為2厘米/秒的速度沿（1）求邊（2）當

BC的長；

OxOxt為何值時，PC與BQ相互平分；

y與tPQ，△PBQ的面積為y，（3）連結設探求

圖①

的函數關系式，求

t為何值時，yD圖②

有最大值？最大值是多少？

CQ

112y?x?1yy?x?bx?cx軸交于D，拋物線227.已知：直線與軸交于A，與與直線交于A、E兩點，與

坐標為（1，0）．（1）求拋物線的解析式；

（2）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標．（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使

yEx軸交于B、C兩點，且B點

|AM?MC|的值最大，求出點M的坐標．

A8.已知：拋物線

y?ax2?bx?c?a?0?Dxx??1，的對稱軸為與

COBA，B軸兩點，與交于

yx

軸交于點C，其中

A??3，0?、

（1）求這條拋物線的函數表達式．

（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最小．請求出點P的坐標．（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交

C?0，?2?．x軸于點E．連接PD、PE．設CD的長為m，

y△PDE的面積為S．求S與m之間的函數關系式．試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

9.如圖1，已知拋物線經過坐標原點O和

AOBxx軸上另一點E，頂點M的坐標為(2，4)；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在

Cx軸、y軸上，且AD?2，AB?3．

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿

x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發

AB

與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．

向B勻速移動．設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線

5t?2時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；①當

②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求

出這個最大值；若不存在，請說明理由．

C

yMBCyNBPM1y1??x2?2x210.已知拋物線：．

（1）求拋物線

y1的頂點坐標．

y（2）將拋物線1向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線

（3）如下圖，拋物線y2的頂點為P，x軸上有一動點M，在

y2，求拋物線y2的解析式．

y1、y2這兩條拋物線上是否存在點N，使O（原點）

、P、M、N四點構成以OP為一邊

的平行四邊形，若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

2??b4ac?bb??，?x??，22a4ay?ax?bx?c（a?0）的對稱軸是?2a頂點坐標是?提示：拋物線

y5432y11Py211.如圖，已知拋物線C1：

y?a?x?12O123456789x?2?1?5的頂點為P，與x軸相交于A在點B的左邊）A、B兩點（點，點B的橫坐標是1．

?（1）求P點坐標及a的值；（4分）

?2

（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中?3心對稱時，求C3的解析式；（4分）?4（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點

（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．（5分）

C1

y

CM

y

N

B

A

A

BQOO2xEAFxB(4，0)C(8，0)y?ax?bxD(8，8)、CABCD12.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點、、．拋物線過兩點．

（1）直接寫出點（2）動點

A的坐標，并求出拋物線的解析式；

P

P從點A出發，沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動，速度均為每秒

圖

圖

C

CP

C

1個單位長度，運動時

間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．

①過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．當t為何值時，線段EG最長？②連接

EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形？

請直接寫出相應的t值．

y

AFGDP

E

13.如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點M（－2，

-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動

點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；

（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；

（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．22yy=f?x?=xxQBQBAOAOxxE的路線以2cm/s的速度移動，動點14.如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，點E在邊DC上，且DE=4cm．動點P從點A開始沿著A→B→C→Q從點A開始沿著AE以1cm/s的速度移動，當點Q移動到點E時，點P停止移動．若點P、Q從點A同時M出發，設點Q移動時間為t（s），P、Q兩點運動路線與線段PQ圍成的圖形面積

M為S（cm2），求S與t的函數關系式．

CP圖1

DP圖2EC22y?(x?m)?k?m15.如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于兩個不同的點QP

B

A(x1，0)B(x2，0)、，與

（1）求⊙P與（2）如果

Ay軸的交點為C．設△ABC的外接圓的圓心為點

P．

y軸的另一個交點D的坐標；

AB恰好為⊙P的直徑，且△ABC的面積等于5，求m和k的值．

16.如圖，點

A、B坐標分別為（4，0）、（0，8），點C是線段OB上一動點，點

E在

x軸正半軸上，四邊形OEDC是矩形，且

OE?2OC．設OE?t(t?0)，矩形OEDC與△AOB重合部分的面積為S．根據上述條件，回答下列問題：

（1）當矩形OEDC的頂點D在直線（2）當

AB上時，求t的值；

t?4時，求S的值；

y

B

（3）直接寫出S與t的函數關系式；（不必寫出解題過程）

（4）若S

?12，則t?．

3y??x?6P、Q同時從O點出發，同時到達點417.直線與坐標軸分別交于A、B兩點，動點

運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線O→B→（1）直接寫出A、B兩點的坐標；（2）設點

A，運動停止．點Q沿線段OAA運動．

Q的運動時間為t秒，△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數關系式；

48y

5時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標．

B

S?（3）當

P

18.如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABCQOS?ABC內部的線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：

1x

?ahA

2，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積

的一半．

A2鉛垂高C

h

解答下列問題：

B

水平寬圖1

a如圖2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．（1）求拋物線和直線AB的解析式；

S（2）求△CAB的鉛垂高CD及△CAB；

9（3）設點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使得S△PAB=8S△CAB，若存在，

求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

B

y

C

D

1O

x

1

A

19.如圖，在平面直角坐標系中，點的對稱軸為直線x0)(0，?3)，A、C的坐標分別為(?1，、點B在x軸上．已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它

y軸的平行線交BC于點F．?1，點P為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作

（1）求該二次函數的解析式；（2）若設點P的橫坐標為

m，用含m的代數式表示線段PF的長．

（3）求△PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標．

20.如圖所示，菱形ABCD的邊長為6厘米，?ByA?60°．從初始時刻開始，點POQ、同時從ABxF點出發，點以1厘米/秒的速度沿

PA?C?B的方向運動，點Q以

2厘米/秒的速度沿A?Q運動到D點時，P、Q兩點同時停B?C?D的方向運動，當點CPyx秒時，△APQ與△ABC重疊部分的面積為平方厘米（這里規定：點和線段是面積為x=1QO的三止運動，設P、運動的時間為

角形），解答下列問題：

Q（1）點P、從出發到相遇所用時間是秒；

（2）點P、（3）求

21.定義一種變換：平移拋物線

P

Q從開始運動到停止的過程中，當△APQ是等邊三角形時x的值是秒；

Cy與x之間的函數關系式．

D

F1得到拋物線

F2，使

F2經過

F1的頂點

ABD的對稱點．

（1）如圖1，若②四邊形

B

AFF1，F2Q．設2的對稱軸分別交于點D，B，點C是點

(2，0)，則①

的坐標為

A關于直線

F12F2y?x2?bxy?x：，經過變換后，得到：，點Cb的值等于______________；

ABCD為（）

F12y?ax?c，經過變換后，點B的坐標為(2，c?1)，求△ABD的面積；：

A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如圖2，若

F（3）如圖3，若1：

離之和的最小值．

yy?1227x?x?333，經過變換后，AC?23，點P是直線AC上的動點，求點P到點D的距離和到直線AD的距

FyFyDPFDFDFF

OCxAACBCBOBxOx

1y??x?1A，B兩點，以線段222.如圖，已知直線交坐標軸于

個交點為

AB為邊向上作正方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線另一

E．

C,D的坐標；

5個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止．設正方形落在

（1）請直接寫出點

（2）求拋物線的解析式；

（3）若正方形以每秒

x軸下方部分的面積為

S，求S關于滑行時間t的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍；

（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上

OyDCAC,E兩點間的拋物線弧所掃過的面積．

23.如圖，點

A、B坐標分別為（4，0）、（0，8），點C是線段OBAB上時，求t的值；

BE上一動點，點E在x軸正半軸上，四邊形OEDC是矩形，且

x1y??x?1OE?2OC．設OE?t(t?0)，矩形OEDC與△AOB重合部分的面積為S．根據上述條件，回答下列問題：2

（1）當矩形OEDC的頂點D在直線（2）當

t?4時，求S的值；

（3）直接寫出S與

t的函數關系式；

（不必寫出解題過程）

（4）若S?12，則t?．

yB

24.如圖所示，某校計劃將一塊形狀為銳角三角形

ABC的空地進行生態環境改造．已知△ABC的邊BC長

OEAxCD120米，高

AD長

80

米．學校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形上，其余兩個頂點

EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BCH、G分別在邊AB、AC上．現計劃在△AHG上種草，每平米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每

平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．（1）當FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？

（2）當矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小？最小值為多少？

A

HKGB

22y?x?bx?c2t?tA(t1，，0)B(0，t2)．t，t2，拋物線2是方程t?2t?24?0的兩個實數根，且1325.已知：1的圖象經過點

E

DF

C

（1）求這個拋物線的解析式；（2）設點

P(x，y)是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形，求OPAQ的面積S與x之間的

函數關系式，并寫出自變量（3）在（2）的條件下，當理由．

x的取值范圍；

OPAQ的面積為

24時，是否存在這樣的點P，使

OPAQ為正方形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明

三、說理題

AA(4，，0)B(1，，0)C(0，?2)26.如圖，拋物線經過三點．yQBOx（1）求出拋物線的解析式；

P（2）P是拋物線上一動點，過P作PM?x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與

請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

△OAC相似？若存在，

（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．

27.如圖，在平面直角坐標系

2y

xOy中，半徑為

1的圓的圓心

O在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．拋物線

O

B1

4A

x

?2

y?ax?bx?c與y軸交于點D，與直線y?x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C．

（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸交

x軸于點E，連結DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長．

C

（3）過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

yDN

AOECFMBx28.如圖1，已知：拋物線

12y?x?bx?c2與

x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經過B、C兩點的直線是

y?1x?22，連結AC．

（1）B、C兩點坐標分別為B（_____，_____）、C（_____，_____），拋物線的函數關系式為______________；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFC（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在頂點的坐標；若不能，請說明理由．

AB邊上的矩形

?b4ac?b2???,?24a?y?ax?bx?c的頂點坐標是?2a[拋物線]

29.已知：如圖，在平面直角坐標系

y

y

AO

BxAO

B

xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點O作∠AOC的平分線

x

CC交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．

（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；

（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G．如果DF與（1）中的拋物線交于另一點

圖1圖2(備用)

6

M，點M的橫坐標為5，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線

GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明

理由．

y

D

BA

30.如圖所示，將矩形OABC沿

AE折疊，使點OE恰好落在BC上F

處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使

CM?CE?EO，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．

O

x

C

（1）試比較EO、EC的大小，并說明理由．

（2）令

S四邊形CFGHm?S四邊形CMNO，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由．

1CO?1，CE?，Q3（3）在（2）的條件下，若為

解析式．

AE上一點且

QF?22y?mx?bx?c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的3，拋物線

2y?mx?bx?c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的

（4）在（3）的條件下，若拋物線

三角形與△AEF相似？若存在，請求直線KP與

實用工具:常用數學公式

公式分類公式表達式

y軸的交點T的坐標；若不存在，請說明理由．

yHGMCEQFBNOAx

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b