新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《平面向量的數(shù)量積》課時(shí)練習(xí)一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2eq\r(3)，a與b的夾角的余弦值為sineq\f(17π,3)，則b·(2a﹣b)等于()A.2B.﹣1C.﹣6D.﹣18LISTNUMOutlineDefault\l3已知|b|＝3，a在b上的投影向量為eq\f(1,2)b，則a·b的值為()A.3B.eq\f(9,2)C.2D.eq\f(1,2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知非零向量a，b的夾角為60°，且|b|＝1，|2a﹣b|＝1，則|a|等于()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\r(2)D.2LISTNUMOutlineDefault\l3已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝4，當(dāng)b⊥(4a﹣b)時(shí)，向量a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)LISTNUMOutlineDefault\l3向量a＝(1,2)，b＝(x,1).若(a＋b)⊥(a﹣b)，則x等于()A.﹣2B.±eq\r(2)C.±2D.2LISTNUMOutlineDefault\l3已知eq\o(AB,\s\up7(→))=(cos23°，cos67°)，eq\o(BC,\s\up7(→))=(2cos68°，2cos22°)，則△ABC的面積為()A．2B.eq\r(2)C．1D．eq\f(\r(2),2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2DC，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))的值為()A．1－eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．1＋eq\f(\r(3),3)LISTNUMOutlineDefault\l3已知a，b，e是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，且|e|=1，a⊥b，a·e=2，b·e=1，當(dāng)|a－b|取得最小值時(shí)，a與e夾角的正切值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C．1D．eq\f(\r(2),2)二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，﹣1)，則()A.|a＋b|＝2B.a與b垂直C.a與a﹣b的夾角為eq\f(π,4)D.|a﹣b|＝1LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖①是后天八卦模型圖，其平面圖形記為圖②中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA＝1，則以下結(jié)論正確的是()A.eq\o(HD,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝﹣eq\f(\r(2),2)C.eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))＝﹣eq\r(2)eq\o(OE,\s\up6(→))D.|eq\o(AH,\s\up6(→))﹣eq\o(FH,\s\up6(→))|＝eq\r(2－\r(2))三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3在平行四邊形ABCD中，已知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FC,\s\up6(→))，|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝_____.LISTNUMOutlineDefault\l3若向量a，b的夾角是eq\f(2π,3)，a是單位向量，|b|＝2，c＝2a＋b，則向量c與b的夾角為___.LISTNUMOutlineDefault\l3已知eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))均為單位向量，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，0≤λ≤1.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝﹣1，則實(shí)數(shù)λ＝________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知平面向量a與b的夾角為120°，e為與a同向的單位向量，b在a上的投影向量為﹣e，且滿足(2a＋b)⊥(a﹣3b)，則|a＋2b|＝________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知平面上的兩個(gè)向量eq\o(OA,\s\up15(→))和eq\o(OB,\s\up15(→))滿足|eq\o(OA,\s\up15(→))|=a，|eq\o(OB,\s\up15(→))|=b，且a2＋b2=1，eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))=0，若向量eq\o(OC,\s\up15(→))=λeq\o(OA,\s\up15(→))＋μeq\o(OB,\s\up15(→))(λ，μ∈R)，且(2λ－1)2a2＋(2μ－1)2b2=4，則|eq\o(OC,\s\up15(→))|的最大值為.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D解析：由題意知cos〈a，b〉＝sineq\f(17π,3)＝sin(6π﹣eq\f(\r(3),2))＝﹣sineq\f(π,3)＝﹣eq\f(\r(3),2)，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2eq\r(3)×(﹣eq\f(\r(3),2))＝﹣3，b·(2a﹣b)＝2a·b﹣b2＝﹣18.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：設(shè)a與b的夾角為θ，∵|a|·cosθeq\f(b,|b|)＝eq\f(1,2)b，∴|a|·cosθeq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(1,2)，∴|a|·cosθ＝eq\f(3,2)，∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：由題意得a·b＝|a|×1×eq\f(1,2)＝eq\f(|a|,2)，又|2a﹣b|＝1，∴|2a﹣b|2＝4a2﹣4a·b＋b2＝4|a|2﹣2|a|＋1＝1，即4|a|2﹣2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝eq\f(1,2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：根據(jù)題意，設(shè)向量a與b的夾角為θ，若b⊥(4a﹣b)，則b·(4a﹣b)＝4a·b﹣b2＝16eq\r(2)cosθ﹣16＝0，變形可得cosθ＝eq\f(\r(2),2)，又0≤θ≤π，則θ＝eq\f(π,4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：方法一a＋b＝(1＋x,3)，a﹣b＝(1﹣x,1)，因?yàn)?a＋b)⊥(a﹣b)，所以(a＋b)·(a﹣b)＝0，即(1＋x)(1﹣x)＋3＝0，解得x＝±2.方法二因?yàn)?a＋b)⊥(a﹣b)，所以(a＋b)·(a﹣b)＝0，所以a2﹣b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D；解析：根據(jù)題意，eq\o(AB,\s\up7(→))=(cos23°，cos67°)，∴eq\o(BA,\s\up7(→))=－(cos23°，sin23°)，則|eq\o(BA,\s\up7(→))|=1.又∵eq\o(BC,\s\up7(→))=(2cos68°，2cos22°)=2(cos68°，sin68°)，∴|eq\o(BC,\s\up7(→))|=2.∴eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))=－2(cos23°cos68°＋sin23°sin68°)=－2×cos45°=－eq\r(2)，∴cosB=eq\f(eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→)),|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|)=－eq\f(\r(2),2)，則B=135°，則S△ABC=eq\f(1,2)|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sinB=eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(2),2)，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B；解析：∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且BD=2DC，∴eq\o(BD,\s\up7(→))=eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))=eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))=eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))=1＋eq\f(2,3)×1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))=eq\f(2,3)，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D；根據(jù)題意，分別以a，b為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)e與a的夾角為θ，θ為銳角，則e與b的夾角為eq\f(π,2)－θ.∵|e|=1，a⊥b，a·e=2，b·e=1，∴|a|·cosθ=2，|b|·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))=|b|·sinθ=1，∴|a|=eq\f(2,cosθ)，|b|=eq\f(1,sinθ)，∴|a－b|2=|a|2－2a·b＋|b|2=eq\f(4,cos2θ)＋eq\f(1,sin2θ)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,cos2θ)＋\f(1,sin2θ)))(sin2θ＋cos2θ)=5＋eq\f(4sin2θ,cos2θ)＋eq\f(cos2θ,sin2θ)≥5＋2eq\r(\f(4sin2θ,cos2θ)·\f(cos2θ,sin2θ))=9，當(dāng)且僅當(dāng)2sin2θ=cos2θ，即tanθ=eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|a－b|取得最小值3，且a與e夾角的正切值為eq\f(\r(2),2)，故選D.二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：BC.解析：|a＋b|＝eq\r(2)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閍，b是單位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a與b垂直，故B正確；|a﹣b|2＝a2＋b2﹣2a·b＝2，|a﹣b|＝eq\r(2)，故D錯(cuò)誤；cos〈a，a﹣b〉＝eq\f(a·a－b,|a||a－b|)＝eq\f(a2－a·b,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以a與a﹣b的夾角為eq\f(π,4)，故C正確.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：ABC.解析：正八邊形ABCDEFGH被分成8個(gè)全等的等腰三角形，不妨取△AOB，則∠AOB＝eq\f(360°,8)＝45°，∴∠BOD＝2∠AOB＝90°，即HD⊥BF，∴eq\o(HD,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，即選項(xiàng)A正確；∵∠AOD＝3∠AOB＝135°，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝1×1×cos135°＝﹣eq\f(\r(2),2)，即選項(xiàng)B正確；易知eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝﹣eq\r(2)eq\o(OE,\s\up6(→))，即選項(xiàng)C正確；連接AF(圖略)，∵|eq\o(AH,\s\up6(→))﹣eq\o(FH,\s\up6(→))|＝|eq\o(FA,\s\up6(→))|，在等腰三角形AOF中，OA＝OF＝1，∠AOF＝135°，由余弦定理知，F(xiàn)A2＝OA2＋OF2﹣2OA·OFcos∠AOF＝1＋1﹣2×1×1×(﹣eq\f(\r(2),2))＝2＋eq\r(2)，∴|eq\o(AH,\s\up6(→))﹣eq\o(FH,\s\up6(→))|＝|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝eq\r(2＋\r(2))，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：﹣eq\f(9,2).解析：∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，而|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2，eq\f(1,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＝6，兩式相減得eq\f(8,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2﹣eq\f(8,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝﹣4，∴eq\o(AD,\s\up6(→))2﹣eq\o(AB,\s\up6(→))2＝﹣eq\f(9,2).∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2﹣eq\o(AB,\s\up6(→))2＝﹣eq\f(9,2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(π,3).解析：因?yàn)橄蛄縜，b的夾角是eq\f(2π,3)，a是單位向量，|b|＝2，所以a·b＝|a||b|coseq\f(2π,3)＝1×2×coseq\f(2π,3)＝﹣1.因?yàn)閏＝2a＋b，所以|c|＝eq\r(2a＋b2)＝eq\r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq\r(4－4＋4)＝2，c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝﹣2＋4＝2.設(shè)向量c與b的夾角為θ，其中θ∈[0，π]，則cosθ＝eq\f(c·b,|c||b|)＝eq\f(2,2×2)＝eq\f(1,2)，得θ＝eq\f(π,3).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(5,8).解析：eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))均為單位向量，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.故A，B，C三點(diǎn)圍成△ABC.設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接OA、OB、OC、OD.∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.故A、O、D三點(diǎn)共線，且AO＝4OD.∵OA＝OB＝OC＝1，故△BOC為等腰三角形.故有OD⊥BC，即AD⊥BC，且OD＝eq\f(1,4)，AD＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，∴BD＝eq\r(OB2－OD2)＝eq\f(\r(15),4)＝DC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\f(5,4))2＋0﹣(eq\f(\r(15),4))2＝eq\f(5,8).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(\r(2),2).解析：由題意得，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋λeq\o(CD,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝﹣1，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋λeq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))2＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝2×2×cos120°﹣4λ＋4λ＋λ2×2×2×cos60°＝﹣1，解得λ＝eq\f(\r(2),2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(7,2).解析：因?yàn)槠矫嫦蛄縜與b的夾角為120°，b在a上的投影向量為﹣e，所以|b|cos120°·e＝﹣e，所以|b|＝2，因?yàn)?2a＋b)⊥(a﹣3b)，即(2a＋b)·(a﹣3b)＝0，即2a2﹣5a·b﹣3b2＝0，所以2|a|2＋5|a|﹣12＝0，解得|a|＝eq\f(3,2)，所以(a＋2b)2＝eq\f(9,4)＋4×eq\f(3,2)×2×(﹣eq\f(1,2))＋4×4＝eq\f(49,4)，所以|a＋2b|＝eq\f(7,2).LISTNUMOutlineD