第五章

一元函數的導數及應用5.3.2函數的極值與最大（小）值第

二課時函數的最大（小）值（1）一二三學習目標能利用導數求某些函數的在給定閉區間上函數的最大值、最小值體會導數與單調性、極值、最大(小)值的關系區別函數的極值和最大(小)值，借助于求函數的最大(小)值的運算，提升數學運算和直觀想象素養單元結構函數的單調性函數的極值函數的最大（小）值導數在研究函數中的應用函數最大值和最小值是如何定義的？一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，稱M是函數y=f(x)的最大值.

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I

，如果存在實數M滿足：（2）對于任意的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m那么，稱m是函數y=f(x)的最小值

.復習回顧新課導入

我們知道，極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質.也就是說，如果x0是函數y=f(x)的極大(小)值點，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值.但是，在解決實際問題或研究函數的性質時，我們往往更關心函數在某個區間上，哪個值最大，哪個值最小.如果x0是某個區間上函數y=f(x)的最大(小)值點，那么f(x0)不小(大)于函數y=f(x)在此區間上的所有函數值.

函數在什么條件下一定有最大、最小值？它們與函數極值關系如何？新知探究問題1

下圖是函數y=f(x),x∈[a,b]的圖象，你能找出它的極小(大)值嗎?追問

你能進一步找出函數在區間[a,b]上的最小(大)值嗎？xyOabx1x2x3x4x5x6極大值：f(x2),f(x4),f(x6)極小值：

f(x1),f(x3),f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)怎么找到的呢？新知探究問題2觀察[a,b]上的函數y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們在[a,b]上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？xyOabxyOabx1x2x3x4x5最大值：f(b);最小值：f(a)最大值：f(x3);最小值：f(x4)新知探究問題3以上函數既有最大值，又有最小值，是不是所有的函數都有最大（小）值嗎？追問1什么樣的函數一定會有最大值和最小值呢？不是!Oxyaby=f(x)y=f(x)OxyabOxyaby=f(x)Oxyaby=f(x)在開區間內的連續函數不一定有最大值與最小值.

在閉區間上的連續函數必有最大值與最小值新知探究

一般地，如果在閉區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續曲線,它必有最大值和最小值.xyOabx1x2x3x4x5x6追問2閉區間上的連續函數的最值一定是它的某個極大（小）值嗎？追問3如何結合函數的極值來求函數的最大（小）值呢？新知探究求最值的方法：只要把函數y=f(x)的所有極值連同端點的函數值進行比較，就可以求出函數的最大值和最小值.追問4

函數最值與極值有什么關系？1.函數的最大值、最小值是比較整個定義域上的函數值得出的，函數的極大值、極小值是比較極值點附近的函數值得出的.2.函數的極值可以有多個，但函數在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個.3.極值只能在區間內取得，最值則可以在端點處取得；有最值未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取得必定是極值.典例分析例6解：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)f(x)xyO423方法歸納求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：①求函數f(x)在(a,b)內的極值；②求函數f(x)在區間端點處的函數值f(a),f(b)；③將函數f(x)在各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．鞏固練習課本P94解：x0(0,)(,2)2f′(x)f(x)鞏固練習課本P94解：x

－4（－4，－3）－3（－3，3）3（3，4）4f′(x)f(x)鞏固練習課本P94解：x－(－,2)2(2,3)3f′(x)f(x)鞏固練習課本P94解：典例回首

除點(1,0)外，曲線C1：在y軸右側的部分位于曲線C2：y=lnx的下方.怎么證明這個結論呢？

典例回首所以,當x=1時,s(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)s'(x)0s(x)–+單調遞減單調遞增所以,

s(x)≥s(1)=0,即解：將不等式轉化為設,那么故當x>0時,.所以,當x=1時,f(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0f(x)–+單調遞減單調遞增所以,

f(x)≥f(1)=0,即x－lnx－1≥0解：將不等式lnx≤x－1轉化為x－lnx－1≥0令

,解得故當x>0時,

lnx≤x－1.xyOy=x-1y=lnx除點(1,0)外，曲線