《數(shù)學(xué)活動：車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理》教學(xué)設(shè)計(jì)蕪湖市中江中學(xué)花業(yè)玥一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容：《人教版義務(wù)教育教科書九年級上冊數(shù)學(xué)》第二十四章圓章末數(shù)學(xué)活動車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理.2.內(nèi)容解析：單元內(nèi)容解析：圓是人教版初中幾何首次對曲線圖形的認(rèn)識和研究，在它之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的平面幾何知識，掌握了多邊形的研究思路和性質(zhì)，在它之后的相似三角形和解直角三角形則是對之前同類型知識的螺旋上升，從對新圖形的學(xué)習(xí)角度來說，它既是初中幾何的收尾，也是銜接高中幾何的開端，因此在內(nèi)容、方法和思想上既凝聚了初中幾何的精髓，也滲透了高中幾何的研究方向.從知識內(nèi)容上看，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了初中幾何的其他知識，這些知識既是探索圓的性質(zhì)的鋪墊，也是本章內(nèi)容綜合應(yīng)用的體現(xiàn)，更是高中從解析幾何的角度學(xué)習(xí)圓的基礎(chǔ).從研究方法上看，本章是在學(xué)習(xí)了直線形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)最簡單的曲線圖形——圓，它承接了初中研究幾何的一般思路：定義——性質(zhì)——判定——應(yīng)用，同時(shí)又開辟了研究曲線圖形的一般路徑：基本定義——幾何性質(zhì)——與直線的位置關(guān)系——綜合應(yīng)用，為以后高中對曲線形圖形的研究埋下伏筆，體現(xiàn)了大單元的教學(xué)理念和跨章節(jié)的觀念思想.從思想方法上看，本章內(nèi)容與以前學(xué)習(xí)的幾何知識聯(lián)系緊密，運(yùn)動與變化、特殊與一般、劃歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、整體思想、方程思想、分類思想等思想方法形成交匯融合，一方面提升了教學(xué)的難度，另一方面也使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平得到一個(gè)飛躍.從學(xué)習(xí)形式上看，一方面圓在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，是學(xué)生非常熟悉的圖形，本章立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，從觀察和分析生活中大量存在的事實(shí)入手，設(shè)計(jì)學(xué)生動手操作和主動參與的教學(xué)情境，通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等活動使學(xué)生獲得知識的直觀體驗(yàn)；另一方面，圓的基本性質(zhì)的探索、反證法的學(xué)習(xí)也引導(dǎo)學(xué)生從更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评淼慕嵌冗M(jìn)行知識的證明，這為今后學(xué)習(xí)高中的知識打下了堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ).本節(jié)內(nèi)容解析：車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理來源于九年級上冊第二十四章圓的章末數(shù)學(xué)活動，它是在學(xué)習(xí)了圓及其基本性質(zhì)、弧長面積公式后對圓在車輪中應(yīng)用的探討，在探究過程中既復(fù)習(xí)鞏固了圓的基本知識，也拓展到對圓形及多邊形滾動情況的思考.同時(shí)圓形滾動問題對日后學(xué)生認(rèn)識切線、曲率等問題都有深遠(yuǎn)影響，其蘊(yùn)含知識的多樣性也能跨越學(xué)科壁壘（如物理），實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合，啟發(fā)學(xué)生從其他學(xué)科的角度進(jìn)行探究.通過研究車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理，讓學(xué)生觀察動態(tài)問題中的不變性，發(fā)現(xiàn)特殊中的一般性，體會運(yùn)動與變化、特殊與一般、整體代入的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).作為一節(jié)數(shù)學(xué)活動課，它以解決實(shí)際問題為重點(diǎn)，以跨學(xué)科的主題學(xué)習(xí)為主，以真實(shí)問題為載體，通過綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決問題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、實(shí)踐能力等綜合品質(zhì).3、教學(xué)重點(diǎn)：車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：1.鞏固圓的概念及相關(guān)基本性質(zhì)；2.培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力；3.培養(yǎng)分析、研究問題的能力；4.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；5.培養(yǎng)多角度發(fā)散的創(chuàng)新意識和勇于質(zhì)疑的探索精神.目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果用相應(yīng)的數(shù)學(xué)道理進(jìn)行解釋；達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是學(xué)生在情境導(dǎo)入中能夠發(fā)現(xiàn)并提出車輪為什么做成圓形的現(xiàn)實(shí)問題，從個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和已有知識出發(fā)，提出合理的假設(shè)與預(yù)測結(jié)果；達(dá)成目標(biāo)3的標(biāo)志是學(xué)生能從解決車輪為什么做成圓形的問題需要出發(fā)，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為探究“車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理”這一數(shù)學(xué)問題，明確問題的核心與關(guān)鍵，選擇設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)方法與步驟；達(dá)成目標(biāo)4的標(biāo)志是學(xué)生對實(shí)驗(yàn)中條件與結(jié)果之間的關(guān)系有清晰的認(rèn)識，并能在課后作業(yè)中利用各種資源或?qū)嶋H情境進(jìn)一步檢驗(yàn)，完善模型；達(dá)成目標(biāo)5的標(biāo)志是學(xué)生能在實(shí)驗(yàn)中發(fā)散思維，從多種角度進(jìn)行猜想和探究，形成一般性結(jié)果或合理歸納.三、教學(xué)問題診斷分析1.問題診斷：受限于已有的知識經(jīng)驗(yàn)學(xué)生對車輪做成圓以外的圖形較為陌生，沒有概念意識，難以進(jìn)行有效的發(fā)散.學(xué)生對圓的滾動問題并不陌生，因此極易在進(jìn)行多邊形與圓的滾動比較時(shí)陷入圓形滾動的固有思維中，無法對多邊形進(jìn)行滾動研究，從而形成知識的負(fù)遷移.本節(jié)課為開放式課堂，要啟發(fā)學(xué)生在適度范圍內(nèi)發(fā)散思維，否則會導(dǎo)致課堂節(jié)奏過于分散，學(xué)生無法找準(zhǔn)研究的核心方向.2.教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)散學(xué)生的思維與想象，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多角度的思考，做好充足的課堂預(yù)設(shè)；理解圓形滾動與多邊形滾動的區(qū)別，掌握二者中心移動軌跡的不同.四、教學(xué)支持條件分析1.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的概念及其基本性質(zhì)，具備探究車輪做成圓形的一般能力.2.運(yùn)用“”的畫圖與動畫功能、硬紙板的動手操作可直觀演示多邊形與圓形滾動中的路徑線，幫助學(xué)生觀察、驗(yàn)證猜想結(jié)果，促進(jìn)學(xué)生對車輪為什么做成圓形的直觀理解.3.基于以上的內(nèi)容分析，本節(jié)課采取項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，以“車輪做成圓形”為問題導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與物理、歷史文化等學(xué)科的知識和思想方法，體會并形成“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會有數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng).五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣（展示車輪形狀各異的自行車）圖片上的自行車，大家有見過嗎？它和我們平時(shí)見到的自行車最大的區(qū)別在哪里？問題：如果讓你騎這些自行車上下學(xué)，你愿意嗎？追問：為什么不愿意？【師生活動】圖片上的自行車車輪都不是圓形，車輪做成非圓形可能使騎車人感到很顛簸.【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生熟悉的自行車引入，拉近學(xué)生與課堂的距離，在熟悉的自行車上換上不熟悉的車輪，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲，滲透用數(shù)學(xué)的眼光看待世界的理念.通過學(xué)生對非圓形車輪的顧慮，引出課題，并為接下來確定研究方向做鋪墊.千百年來，車輪的形狀一直是圓形，《續(xù)漢書·輿服志》中記載：“上古圣人，見轉(zhuǎn)蓬始知為輪”，看到旋轉(zhuǎn)成圓形的蓬草就想到了輪子，可見古代的先賢們已經(jīng)具備了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的意識，為什么在文明之初，我們的古人要把車輪做成圓形呢？這里又蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)道理？今天我們就穿梭這條4000多年的隧道，帶著我們所學(xué)的知識研究一下車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理.（板書課題）（二）提出猜想設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)問題：同學(xué)們覺得車輪做成圓形有什么優(yōu)勢？展示《續(xù)漢書》及《考工記》中對車輪的有關(guān)記載.“奚仲為夏車正，建其斿旐，尊卑上下，各有等級”——《續(xù)漢書·輿服志》“凡察車之道，欲其樸屬而微至。不微至，無以為戚速也.”——《考工記》【活動預(yù)設(shè)】基于學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的作答可能出現(xiàn)以下情況：平穩(wěn)、省力（基于物理摩擦力方面的知識經(jīng)驗(yàn)）、快速（基于物理機(jī)械運(yùn)動方面的知識經(jīng)驗(yàn)）、省材料（某些同學(xué)的知識面交廣，可能從化學(xué)、生物等角度出發(fā)做的一種猜想）.對于“平穩(wěn)”，此答案與《續(xù)漢書》中記載一致，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考車輪在滾動中哪一點(diǎn)的路徑?jīng)Q定了車的平穩(wěn)；對于“省力”，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)的道理解釋物理知識；對于“快速”，與《考工記》中記載一致，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察滾動中車輪與路面的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考重心在滾動中的位置變化；對于“省材料”，教師肯定學(xué)生的想法，但持保留意見，可引導(dǎo)學(xué)生在接下來的實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步計(jì)算探索，通過實(shí)踐來證明.【設(shè)計(jì)意圖】通過將學(xué)生作答與古籍中對車輪要求的記載進(jìn)行比較，既啟發(fā)了學(xué)生的思考，也增強(qiáng)了學(xué)生的信心，并使學(xué)生感受古人的智慧.本環(huán)節(jié)的思考為接下來的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了鋪墊.問題：這些古籍資料和同學(xué)們的猜想為我們接下來的研究提供了方向，這也是我們進(jìn)行活動探究的第一步，我們?nèi)绾卧O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證我們的猜想，是否需要做一些實(shí)際的車輪來實(shí)驗(yàn)？追問：為什么要研究圖形的中心？【師生活動】把實(shí)物抽象成數(shù)學(xué)元素，由于騎車時(shí)坐墊是連著車輪中心的，中心如果平穩(wěn)，人就會感到平穩(wěn)，因此我們可以用硬紙板剪成不同形狀進(jìn)行滾動，觀察它們中心的移動軌跡.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)之前的猜想找出研究的核心問題，自主設(shè)計(jì)并完善實(shí)驗(yàn)方案，體會研究實(shí)際問題的一般路徑，通過將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)元素培養(yǎng)他們的直觀想象和建模思想.（三）實(shí)驗(yàn)操作驗(yàn)證猜想根據(jù)學(xué)生自主設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)，小組合作探究：用硬紙板剪一個(gè)圓，讓它沿直尺在桌面上滾動，用筆跟蹤一下它的中心軌跡，你得到了什么？嘗試剪成正三角形、正方形或其他形狀再試一試.你有什么發(fā)現(xiàn)？能否用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識加以說明.【活動預(yù)設(shè)】預(yù)設(shè)1.學(xué)生根據(jù)繪制的中心軌跡得出沿直線滾動時(shí)，圓形中心軌跡是一條線段，而正多邊形或其他圖形中心軌跡是多段圓弧連接的圖形；預(yù)設(shè)2.沿直線滾動時(shí)，圓形與直線的位置關(guān)系始終相切；預(yù)設(shè)3.圓形滾動時(shí)，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)所在直線始終平行；預(yù)設(shè)4.沿直線滾動時(shí)，經(jīng)計(jì)算，在滾動相同距離的情況下，圓形中心的路徑長度最短；預(yù)設(shè)5.沿直線滾動時(shí)，經(jīng)計(jì)算，在中心移動的路徑長度一致的情況下，圓形做車輪向前滾動的距離最遠(yuǎn)；預(yù)設(shè)6.沿直線滾動時(shí)，當(dāng)正多邊形的邊心距與圓的半徑一致的情況下，圓形的周長最小；預(yù)設(shè)7.周長相同的情況下，圓形的面積最大；對于預(yù)設(shè)1，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生說出多邊形滾動的特點(diǎn)，為可能出現(xiàn)的預(yù)設(shè)4-7的計(jì)算作鋪墊，并引導(dǎo)學(xué)生從圓的概念角度進(jìn)行理論說明：圓上任意一點(diǎn)與圓心的距離都等于半徑，圓形車輪滾動時(shí)，車輪中心與地面的距離保持不變，坐車的人會感到很平穩(wěn).對于預(yù)設(shè)2和預(yù)設(shè)3，教師可引導(dǎo)學(xué)生從切線角度進(jìn)行理論說明：車輪在平坦地面上滾動時(shí)，圓形車輪與地面上的直線是相切的.同樣，在車輪最高點(diǎn)與圓形車輪相切的直線始終與地面平行，這樣保證了車輪的平穩(wěn).同時(shí)預(yù)設(shè)2的結(jié)論還可以進(jìn)一步解釋為什么圓形滾動時(shí)更省力，由于切線的性質(zhì)，圓形的重垂線始終經(jīng)過切點(diǎn)，故而圓形在滾動時(shí)更省力，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待物理，實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合.對于預(yù)設(shè)4和預(yù)設(shè)5，教師可引導(dǎo)學(xué)生共同計(jì)算，得出結(jié)論：沿直線滾動時(shí)，在中心移動路徑長度一致的情況下，圓形工具向前滾動的距離最遠(yuǎn).預(yù)設(shè)4和預(yù)設(shè)5的結(jié)論一致，計(jì)算時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生比較哪種計(jì)算更方便，引發(fā)學(xué)生思考對于同種結(jié)論，選擇更適宜更便捷的切入點(diǎn)進(jìn)行探究.對于預(yù)設(shè)6和預(yù)設(shè)7，未必是車輪做成圓形的原因，但教師仍應(yīng)充分肯定和鼓勵學(xué)生的探索與結(jié)論，表揚(yáng)學(xué)生的發(fā)散思維和探究精神，并可適時(shí)引入一些自然界中對圓形知識使用的案例，指出圓的“等周定理”雖然在車輪上并未應(yīng)用，但在其他地方都有很大的應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生感悟用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的語言與世界交流的方式.預(yù)設(shè)1、預(yù)設(shè)2和預(yù)設(shè)3為本環(huán)節(jié)常規(guī)結(jié)論，預(yù)設(shè)3-7為環(huán)節(jié)（四）計(jì)算比較歸納探究所得出的結(jié)論，如果學(xué)生在本環(huán)節(jié)已生成了預(yù)設(shè)3-7，教師可直接銜接環(huán)節(jié)（四）的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)中心移動路徑長度和滾動距離之間的關(guān)系；如果學(xué)生在本環(huán)節(jié)并未生成預(yù)設(shè)3-7，則可正常從《考工記》中尋求線索，引出環(huán)節(jié)（四）的計(jì)算探究.【師生活動】從圓的概念上看，圓心到圓上的點(diǎn)的距離都等于半徑，所以圓形車輪在滾動時(shí)中心與底面的距離始終不變，從而中心的移動軌跡是一條線段，因此我們會感到很平穩(wěn).從切線的角度看，圓形車輪與地面上的直線是相切的，因此，車輪最高點(diǎn)所在直線始終與地面平行，這樣也保證了車輪的平穩(wěn).（教師可在總結(jié)時(shí)通過GGB軟件進(jìn)行動態(tài)演示幫助學(xué)生直觀感受）【設(shè)計(jì)意圖】親歷知識的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，通過實(shí)際操作直觀感受多邊形與圓形滾動時(shí)中心軌跡的區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生用理論知識進(jìn)行闡釋和說理，培養(yǎng)學(xué)生在跨學(xué)科背景下用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界中事物的概念、關(guān)系和規(guī)律的能力，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神.（四）計(jì)算比較歸納探究車輪做成圓形還有哪些我們之前沒想到的優(yōu)勢呢？《考工記》中對輪子的中心位置有這樣的記載，可見古人也認(rèn)為車輪的關(guān)鍵在于中心位置.我們知道車輪前進(jìn)主要靠中心的轉(zhuǎn)動，因此中心點(diǎn)移動的路徑長度與車輪前進(jìn)的距離有著緊密聯(lián)系.請大家自己設(shè)定數(shù)據(jù)，計(jì)算一下各個(gè)圖形中心點(diǎn)移動的路徑長度與車輪前進(jìn)的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？（教師根據(jù)學(xué)生的理解及反饋，可對本環(huán)節(jié)實(shí)驗(yàn)做進(jìn)一步規(guī)范：以滾動一周為限，滾動一周的距離就是圖形周長，可設(shè)各個(gè)圖形周長相等，計(jì)算各自中心點(diǎn)移動的路徑長度；或者設(shè)半徑相等為，計(jì)算各個(gè)圖形的周長。前者探究滾動相同距離時(shí)，中心點(diǎn)移動路徑的關(guān)系；后者表達(dá)中心點(diǎn)移動相同時(shí)，滾動的距離關(guān)系.）【師生活動】從正多邊形和圓的角度來看，中心點(diǎn)移動路徑長度相等的情況下，圓形車輪滾動的距離更遠(yuǎn).問題：能否證明這個(gè)猜想？【師生活動】由于滾動一周時(shí)，半徑相等中心點(diǎn)移動路徑的長度就相等，周長越大滾動前進(jìn)的距離就越遠(yuǎn)，因此只要設(shè)正多邊形和圓的半徑相等，證明圓的周長大于正多邊形的周長即可.證明：設(shè)正邊形的中心為，半徑為，顯然弧的長度大于弦，因此⊙的周長大于正邊形的周長，即中心點(diǎn)移動路徑長度相等的情況下，圓形車輪滾動的距離更遠(yuǎn).【設(shè)計(jì)意圖】通過對中心移動路徑長度和滾動距離的計(jì)算，既啟發(fā)學(xué)生從不同角度思考問題，也進(jìn)一步鞏固了正多邊形和圓、圓中計(jì)算等相關(guān)知識，在計(jì)算探究的過程中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)中心移動的特點(diǎn)找到猜想和核心本質(zhì)繼而進(jìn)行合理論證，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和推理能力，感悟用數(shù)學(xué)的思維思考世界.（五）拓展思考思維延伸展示圓形在其他方面的應(yīng)用.植物的莖葉選擇圓柱形，就是因?yàn)樗臋M截面是圓，在周長相等的情況下，圓的面積最大，因而吸收的養(yǎng)分最多；水車選擇圓形，是因?yàn)榍芯€的性質(zhì)和圓的旋轉(zhuǎn)不變性，這樣水流沖下來的方向始終在圓的切線上；“井蓋”選擇圓形則用到了圓的“等寬性”，無論怎么轉(zhuǎn)，井蓋都不會掉下去，也最省材料。這些或來源于自然，或來源于生活的道理，同學(xué)們都要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光和思維來觀察和思考.【師生活動】教師展示圓形在其他方面應(yīng)用的圖片，可引導(dǎo)學(xué)生自由闡述各個(gè)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理，教師進(jìn)行點(diǎn)撥總結(jié).如果環(huán)節(jié)（三）（四）中出現(xiàn)了預(yù)設(shè)7，教師可提前將莖葉圖放到相應(yīng)環(huán)節(jié)展示.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會數(shù)學(xué)是人與自然交流的語言，要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.（六）探索回顧內(nèi)化知識問題1：經(jīng)歷了今天的這堂活動探究，同學(xué)們現(xiàn)在能說明車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理嗎？問題2：我們經(jīng)歷了哪些環(huán)節(jié)完成了這樣的探索？【師生活動】從圓的概念上看，圓心到圓上的點(diǎn)的距離都等于半徑，所以圓形車輪在滾動時(shí)中心與底面的距離始終不變，中心的移動軌跡是一條線段，因此我們會感到很平穩(wěn).從切線的角度看，圓形車輪與地面上的直線是相切的，因此，車輪最高點(diǎn)所在直線始終與地面平行，這樣也保證了車輪的平穩(wěn).從正多邊形和圓的角度來看，中心點(diǎn)移動路徑長度相等的情況下，圓形車輪滾動的距離更遠(yuǎn).【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生概括歸納