6.6分布列基礎（精講）（基礎版）思維導圖思維導圖考點呈現考點呈現例題剖析例題剖析考點一超幾何分布【例1】（2022·四川綿陽）某校高一，高二年級的學生參加書法比賽集訓，高一年級推薦了4名男生，2名女生，高二年級推薦了3名男生，5名女生，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊參加市上比賽.(1)求高一恰好有1名學生入選代表隊的概率；(2)正式比賽時，從代表隊的6名隊員中隨機抽取2人參賽，設表示參賽的男生人數，求的分布列和數學期望【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）一個袋中裝有大小相同的8個小球，其中5個紅球，3個黑球，現從中隨機摸出3個球．(1)求至少摸到個紅球的概率；(2)求摸到紅球的個數的概率分布及數學期望．2．（2022·北京·景山學校模擬預測）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（只需寫出結論）3．（2022·全國·高三專題練習）新高考按照“3＋1＋2”的模式設置，其中“3”為全國統考科目語文、數學、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科.某校為了解該校考生的選科情況，從首選科目為物理的考生中隨機抽取10名（包含考生甲和考生乙）進行調查.假設考生選擇每個科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.(1)求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率；(2)已知抽取的這10名考生中，女生有4名，從這10名考生中隨機抽取5名，記X為抽取到的女生人數，求X的分布列與數學期望.考點二二項分布【例2】（2022·河南安陽）某省會城市為了積極倡導市民優先乘坐公共交通工具綠色出行，切實改善城市空氣質量，緩解城市交通壓力，公共交通系統推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費乘公交”“綠色出行日免費乘公交”等便民服務措施．為了更好地了解人們對出行工具的選擇，交管部門隨機抽取了1000人，做出如下統計表：出行方式步行騎行自駕公共交通比例5%25%30%40%同時交管部門對某線路公交車統計整理了某一天1200名乘客的年齡數據，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數；(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數，求X的分布列和數學期望．【一隅三反】1．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學模擬預測（理））為了解本市成年人的交通安全意識情況，某中學的同學利用五一假期進行了一次全市成年人安全知識抽樣調查．先根據是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對這200人進行問卷調查．這200人所得的分數都分布在范圍內，規定分數在80分以上（含80分）的為“具有很強安全意識”，所得分數的頻率分布直方圖如下圖所示．(1)根據頻率分布直方圖計算所得分數的眾數及中位數（中位數保留小數點后一位）(2)將上述調查所得的頻率視為概率，現從全市成年人中隨機抽取4人，記“具有很強安全意識”的人數為X，求X的分布列及數學期望．2．（2022·河南·模擬預測（理））某中學面向全校所有學生開展一項有關每天睡眠時間的問卷調查，調查結果顯示，每天睡眠時間少于7小時的學生占到，而每天睡眠時間不少于8小時的學生只有．現從所有問卷中隨機抽取4份問卷進行回訪（視頻率為概率）．(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調查結果為睡眠時間不少于7小時的概率；(2)記抽取到的問卷中調查結果為少于7小時的份數為，求的概率分布及數學期望．3．（2022·全國·高三專題練習）小明所在學習小組開展社會調查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業務量．現隨機抽取100天的數據，將樣本數據分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業務量不少于65單的概率；(2)將上圖中的頻率作為相應的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業務量不少于65單的人數為，求的分布列和數學期望．(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計一名騎手每天的收入．并說明理由．考點三獨立重復實驗【例3】（2022·湖北·黃岡中學三模）2022世界乒乓球團體錦標賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運動已成為國內民眾喜愛的運動之一．今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結束．根據以往經驗，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨立．(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內白球剩余的總數為，求隨機變量的分布列與數學期望．【一隅三反】1（2022·全國·模擬預測（理））甲和乙相約下圍棋，已知甲開局時，甲獲勝的概率為；乙開局時，乙獲勝的概率為，并且每局下完，輸者下一局開局.第1局由甲開局.(1)如果兩人連下3局，求甲至少勝2局的概率；(2)如果每局勝者得1分，輸者不得分，先得2分者獲勝且比賽結束（無平局）.若兩人最后的比分為，求.2．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））靈活就業的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競、電商這些新興產業上．只要有網絡、有電腦，隨時隨地都可以辦公．這些崗位出現的背后都離不開互聯網的加速發展和短視頻時代的大背景．甲、乙兩人同時競聘某公司的主播崗位，采取三局兩勝制進行比賽，假設甲每局比賽獲勝的概率為，且每局比賽都分出了勝負．(1)求比賽結束時乙獲勝的概率；(2)比賽結束時，記甲獲勝的局數為隨機變量X，求隨機變量X的分布列．3．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））已知某射擊運動員射中固定靶的概率為，射中移動靶的概率為，每次射中固定靶、移動靶分別得1分、2分，脫靶均得0分，每次射擊的結果相互獨立，該射擊運動員進行3次打靶射擊；向固定靶射擊2次，向移動靶射擊1次．(1)求“該射擊運動員沒有射中移動靶且恰好射中固定靶1次”的概率；(2)若該射擊運動員的總得分為X，求X的分布列和數學期望．考點四正態分布【例4-1】（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知隨機變量，若，則（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82【例4-2】（2022·湖北武漢·高三開學考試）為應對氣候變化，我國計劃在2030年前實現碳排放量到達峰值，2060年前實現“碳中和”.某市為了解本市企業碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業中隨機抽取50家企業進行了調查，得到如下頻數分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業確定為“超標”企業：硫排放量X[2.55.5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5.175）[175，20.5）[20.523.5）頻數56912864(1)假設該市這320家企業的年碳排放量大致服從正態分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經計算得，.試估計這320家企業中“超標”企業的家數；(2)通過研究樣本原始數據發現，抽取的50家企業中共有8家“超標”企業，市政府決定對這8家“超標”企業進行跟蹤調查，現計劃在這8家“超標”企業中任取5家先進行跟蹤調查，設Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業家數，求Y的分布列與數學期望.（參考數據：若X~，則，，.）【一隅三反】1．（2022·黑龍江·雞西市第四中學三模（理））已知隨機變量服從正態分布，若，則（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.0232（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））貴陽一中有2000人參加2022年第二次貴陽市模擬考試，其中數學考試成績近似服從正態分布，試卷滿分150分，統計結果顯示數學成績優秀（高于120分）的人數占總人數的，則此次數學考試成績在105分到120分（含105分和120分）之間的人數約為（

）A．300 B．400 C．600 D．8003．（2022·廣東北江實驗學校模擬預測）教育部門最近出臺了“雙減”政策.即有效減輕義務教育階段學生過重作業負擔和校外培訓負擔，持續規范校外培訓（包括線上培訓和線下培訓）.“雙減”政策的出合對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響.某大型校外培訓機構為了規避風險，尋求發展制定科學方案，工作人員對2021年前200名報名學員的消費金額進行了統計整理，其中數據如表.消費金額（千元）人數305060203010(1)該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費金額為和的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為的人數的分布列和數學期望；(2)以頻率估計概率，假設該大型校外培訓機構2021年所有學員的消費金額可視為服從正態分布，，分別為報名前200名學員消費的平均數x以及方差（同一區間的花費用區間的中點值替代）.①試估計該機構學員2021年消費金額為的概率（保留一位小數）；②若從該機構2021年所有學員中隨機抽取4人，記消費金額為的人數為，求的方差.參考數據：；若隨機變量，則，，.4．（2022·廣西桂林·模擬預測（理））W企業D的產品p正常生產時，產品p尺寸服從正態分布，從當前生產線上隨機抽取200件產品進行檢測，產品尺寸匯總如下表．產品尺寸/mm[76，78.5](78.5，79](79，79.5](79.5，80.5]件數4272780產品尺寸/mm(80.5，81](81，81.5](81.5，83]件數36206根據產品質量標準和生產線的實際情況，產品尺寸在以外視為小概率事件．一旦小概率事件發生視為生產線出現異常，產品尺寸在以內為正品，以外為次品．，，．(1)判斷生產線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機從生產線上取3件產品復檢，正品檢測費10元/件，次品檢測費15