本文格式為Word版，下載可任意編輯——25等比數列前n項和回想舊知1.等比數列{an}的通項公式：an?a1qn?1注意：當q=1時，等比數列{an}為常數列.

2.求等比數列通項公式的方法：觀測歸納法、迭加和迭乘法、構造法、公式法.

3.回想一下解等比數列題的一些技巧與方法.

新課導入國際象棋起源于古印度，關于國際象棋還有一個傳聞。國王獎賞發明者，問他有什么要求，他答道：“在棋盤第一個格放1顆麥粒，在其次個格放2顆麥粒，在第三個格放4顆麥粒，在第四個格放8顆麥粒。以此類推，每個格子放的麥粒數是前一個格子的2倍，直到64個格子。國王覺得這太簡單了，就欣然允許了他的要求，你認為國王能滿足他的要求嗎？

經過計算，我們得到麥粒總數是

631+2+4+8+…+2=18446744073709551615（粒）

已知麥子每千粒約為40克，則折合約為

737869762948382064克≈7378.7億噸.

那么這是怎么計算的呢？其實是一個比較大小的問題，則實質上是求等比數列前n項和的問題.

2.5等比數列前n項和

教學目標知識與能力

（1）把握等比數列前n項和公式.

（2）把握等比數列前n項和公式的推導過程.（3）會簡單運用等比數列的前n項和公式.

過程與方法

（1）通過對等比數列前n項和公式的推導過程,滲透錯位相減求和的數學方法.

（2）通過公式的運用體會方程的思想.（3）培養學生觀測、比較、抽象、概括等規律思維能力和逆向思維的能力.

情感態度與價值觀

（1）學習興趣比較濃,表現欲較強,但合作交流的意識等方面尚有待加強.

（2）培養學生勇于摸索、敢于創新的精神，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗.（3）感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡單美.

教學重難點重點：

難點：等比數列前n項和的公式，有關等比數列問題求解的基本方法.n項和公式的其他形式.

獲得遞推公式的思路，等比數列

前探討問題發明者要求的麥粒總數是：S64

2363=1+2+2+2+…+2

①

上式有何特點？

假使①式兩端同時乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264

②

比較①、②兩式，有什么關系呢？

S64=1+2+22+23+…+2632S64=2+22+23+…+263+264

①②

兩式上下相對的項完全一致，把兩式相減，就可以消去一致的項，則②－①得：

S64=264-1=18446744073709551615

設問：縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2呢？

等比數列前n項和公式及推導

設等比數列?an?，首項為a1,公比為q如何求前n項和Sn？

在等比數列{an}中首先要考慮兩種狀況：

當q=1時，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

=a1+a1+a1+……+a1+a1共n個a1=na1當q≠1時，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？

分析：

S1=a1

S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)

S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)

S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①-②得：

Sn(1—q)=a1—a1q

nan當q≠1時，s1(1?q)n?1?q則等比數列{an}前n項和公式為

na1

Sn=

a1(1?q)1?qnq=1

q≠1

1.注意q=1與q≠1兩種狀況.

a1(1?q)a1?anq2.q≠1時，sn??1?q1?qn通過上面的講解，對于等差數列的相關量a1、d、n、an、sn，一般確定幾個量就可以確定其他量？

a1、d、na1、d、ana1、an、na1、an、snan、d、nan、sn、n

an、snn、snd、snd、na1、sna1、d

例11等比數列{an}的公比q=，a8=1，求它的

2前8項和S8.解法1：由于a8=a1因此

q7，所以a71a87?7?2q182[1?()]8a1(1?q)82s8???2?1?25511?q1?2解法2：把原數列的第8項當作第一項，第1項

8項，

即順序顛倒，也得到一個等比數列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8項和

b88s1(1?q)1?28?1?q?1?2?255當作第例2求和

9?99?999???999??????99n9個9，99，999，??，不是等比數列，不但將它轉化為

10－1，100－1，1000－1，??，就可以解決了。

分析：數列能直接用公式求和，

解：

原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+?+(10n－1)

=(10+100+1000+??+10n)－n10(10?1)??n10?1n10n?(10?1)?n9例3已知數列{an}的前五項是

111111,2,3,4,5.392781243（1）寫出該數列的一個通項公式；（2）求該數列的前n項和sn分析：此數列的特征是{an?bn}兩部分構成，其中

{an}是整數部分，又是等差數列，{bn}是分數部分，

又是等比數列.所以此數列可以轉化為等差數列

和等比數列，所以此方法稱為“分組法求和〞

1解：（1）an?n?n，

（2）

3s13(2?111n?(1?)?32)?(3?33)?...(n?3n)?(1?2?3?...?n)?(13?11132?33?...3n)n(n?1)1?(1?3n?)2?1?3?n(n?1)3n?12?2?n(n?1)?3n?12例4某工廠去年1月份的產值為a元，月平均

增長率為p(p>0)，求這個工廠去年全年產值的總和。

解：該工廠去年2月份的產值為a(1+p)元，

3月，4月，??，的產值分別為a(1+p)2

元，a(1+p)3元，??，

所以12個月的產值組成一個等比數列，首項為a，公比為1+p，

a[1?(1?p)]S12?12答：該工廠去年全年的總產值為

1?(1?p)a[(1?p)12??1]pa[(1?p)12?1]元。

p例51234nSn???????n.求和：

248162分析：

n11??a??n???n設n2n，其中為等差數列，n?n?2?2?1為等比數列，公比為，利用錯位相減法求和.

21兩端同乘以，得

211111解：Sn?1??2?2?3?3?4?4???n?n22222，

1111111Sn?1?2?2?3?3?4?4?5???(n?1)?n?n?n?12222222兩式相減得于是Sn?2?111111nSn??2?3?4???n?n?1,222222212n?1n?n2.

解：（1）當把x軸上的區間[0,3]分成n等份時，各等

33份的長都是n，即各矩形的底都是n.顯然分點的

33?23?(n?1),,...,，從各分點作y軸的平nnn橫坐標分別是

行線與y=9-x2的圖象相交，交點的縱坐標分別

323?223?(n?1)2是9?(),9?(),...,9?[]，它們分別是相應矩形的

nnn3233?223[9?()]?,[9?()]?,...,nnnn高.這樣，各矩形的面積分別是

3?(n?1)23{9?[]}?.nn所以，程序中的AN表示第k個

矩形的面積，SUM表示前k個矩形面積的和.

（2）根據程序，當n=6時，5個矩形的面積的和就是輸入N=6時，SUM的最終一個輸出值，即SUM=15.736（這里確切到小數點后3位）.

當n=11時，10個矩形的面積的和就是輸入N=11時，SUM的最終一個輸出值，即SUM=16.736.

當n=16時，我們得到15個矩形的面積的和SUM=17.139.

思考與余味

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭〞，怎樣用學過的知識來說明它？

解：這句古語用現代文表達是：

一尺長的木棒，每天取它的一半，永遠也取不完.

11得到一個首項為a1=，公比q=的等比數列，22假使每天取出的木棒的長度排成一個數列，則

它的前n項和為

1?[1?(1nsn?22)]?1?(1)n1?122不管n取何值