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文檔簡介

基本求導公式導數的四則運算法則復合函數的求導法復習[f((x))]=f(u)(x)=f((x))(x)前面我們學習了函數的各種求導法。顯然y=x2的導數是y=2x，而y=2x這個函數仍然可導，(2x)=2.定義2.2對于函數y=f(x)，若其導數y=f

(x)可導，則稱y=f

(x)的導數[f

(x)]為函數y=f(x)的二階導數，記作：y或f

(x)或或y(2)。即：y=(y)，f

(x)=[f

(x)]。同樣地，若函數y=f(x)可導，且其導數y=f

(x)仍然可導，即[f

(x)]存在，則稱[f(x)]為函數y=f(x)的二階導數。§2.4高階導數類似地，若函數y=f(x)的二階導數y仍可導，則稱y的導數為y=f(x)的三階導數，記作：y(3)，即y(3)=(y)。依此類推，若函數y=f(x)的n1階導數y(n1)可導，則稱y(n1)的導數為y=f(x)的n階導數，記作：y(n)，即y(n)=[y(n1)]。二階及二階以上的導數稱為高階導數。例3求下列函數的n階導數：（1）y=sinx;（2）y=xn.(1)解:一般地,類似可證:

（2）y=(xn)=nx

n1y=(nxn1)=n(n1)xn2y=[n(n1)xn2]=n(n1)(n2)xn3于是，可知y

(n)=n(n1)(n2)1=n！練習：1.求下列函數的二階導數（1）y=exlnx（2）y=x2e-2x（3）y=2.求y=e2x，(nN)的n階導數定義設函數y=f(x)在點x可導,自變量在點x的改變量為x，則乘積函數f(x)x稱為函數y=f(x)在點x的微分，記為dy.即dy=f(x)x這時，也稱函數y=f(x)在點x可微。對函數y=x，由于y=(x)=1，因而dy=dx=1x=x

于是，函數y=f(x)的微分，一般記為dy=f(x)dx即函數在點x的微分等于函數在點x的導數與自變量微分的乘積。改寫為導數又稱為微商。練習：函數y=f(x)可微的充分必要條件是函數y=f(x)可導。函數y=f(x)在點x0的微分記為dy|x=x0即dy|x=x0

=f

(x0)dx例1若y=f(x)=x2，求x=1,x=0.01時函數的改變量y與微分dy.解由上述條件，x=1,x=0.01，因此y=f(1+x)f(1)=(1+x)212=0.0201當x=1,x=0.01時，f(1)=(x2)|x=1=2x|x=1=2，于是dy

=f(1)

x=20.01=0.02設y=x2+x，求在x=1,x=0.1，x=0.01時函數改變量y與微分dy.定理二、微分計算dy=f(x)dx例2求下列函數的微分：解（1）由于所以（2）由于所以（3）由于所以小結3.函數微分的求法1.求導法則及其應用2.高階導數理解高階導數的概念，掌握二階導數的求法dy=f(x)

dxdy|x

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