隱函數(shù)及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)三.參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)四.相關(guān)變化一、隱函數(shù)的一個二元方程Fx,y0可以確定一個一元函數(shù)yyx或xxy，并稱其為隱函數(shù)如：x2exy0，lnxeyy2我們已經(jīng)研究了顯函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù) 如果方F(xy0確定了隱函數(shù)yf(x),如何求y=fdy的導(dǎo) dx問題隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)數(shù)？在方Fx,y)=0yx的函yy(x)或?qū)y的函xx(y),用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程F(x,y)=0的兩邊求導(dǎo)數(shù).例1求由方程xyexey0所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy, 解方程兩邊對x求導(dǎo)

注意將y視為x的函數(shù)y=y(x)yx

ex

eydy解得dy yx

由原方程知x y xe ex

dx

xe

y例2設(shè)曲線C的方程為x3y33 求過C點3點 )的切線方程 并證明曲線C在該點的2線通過原點解方程兩邊對x求導(dǎo) 3

3y2y3y3

3

yyx2y22 2所求切線方程為y3(x3 即xy32法線方程為y3x

即y 顯然通過原點例3求方y(tǒng)1xey確定的隱函yyx)的二階導(dǎo)y.方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù),yey

xey

解得y

exe

e 將上式的兩端再對x求導(dǎo),并注yyxyyx得yeyyeyyxey xeyy

e代入上式 并解出y可2

e2y3y3.32y例 設(shè)x4xyy4 求y在點(0,1)處的值解方程兩邊對x

yyx4

yxy4y3y 將方程(1)兩邊再對x求導(dǎo)12x22yxy12y2(y)24y3y 將x0,y1代入(1)

yx0

14將x0,y

1代入(2)4

1 例5設(shè)方程x2x3yy4確定了xx( 求dx程x2x3yy4兩邊同時y求導(dǎo)數(shù),2x

3

2

14

.dx 14y3 2x3x2.二、對數(shù)求導(dǎo)觀察函

(x1)3xy (x4)2ex

yxsinx

然后利用隱函數(shù)的求 對數(shù)求導(dǎo)多個函數(shù)相乘和冪指函數(shù)u(x)v(x)的情形y例

(x3x(x4)3x

解等式兩邊取對數(shù)lnyln(x1)1ln(x1)2ln(x4)3上式兩邊對x求導(dǎo)y

x 3(x xy

(x1)3x1

(x4)2e x 3(x x例7y

ee1 sin e

1xsinx12

1 解 x

2

e2xx

sin8 將上式兩邊取對數(shù),lny11lnx1lnsinx,2x 由隱函數(shù)求導(dǎo)法,將上式兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù),1y 11coty故y

2 4ee1xsin

12 4

cotx冪指函數(shù)求導(dǎo)f(x)u(x)v(x) (u(x)1lnfx)vxlnux)兩邊對x求導(dǎo)得fxv(x)lnu(x)v(x)u(f( u(fx

u(x)f(xf(x)v(x)lnu(x)v(x)u(x)f(x)u(x)v(x)v(x)lnu(x)v(x)u(x) yu(x)v(x) (u(x) yu(x)v(x)ev(x)lnu(x u(x)yev(x)lnu(x)v(x)lnu(x)v(x) u(x) u(x) yu(x)v(x)v(x)lnu(x)v(x) u(x) 例 設(shè)yxsinx(x0),求解 等式兩邊取對數(shù)得lnysinxln上式兩邊對x求導(dǎo)1ycosxlnxsinx yy(cosxlnxsinx1xxsinx(cosxlnxsinxx解2：yesinxlnyesinxlnx(sinxlnesinxlnx(cosxlnxsinx1xxsinx(cosxlnxsinxx例9設(shè)方程xyyx確定函yyx解等式兩端取對數(shù) ylnxxln兩邊對x求導(dǎo)

ylnxylnyx yyxlnyyxylnxx解由xyyx eylnxexlny兩邊對x求導(dǎo)eylnxylnxexlnyxlnyeylnx

ylnx

exln

lnyx

y

y

xlnyy

xylnxx三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)xx(t若參數(shù)方程yy(t)y與間的函數(shù)關(guān)稱此函數(shù)為參數(shù)式函數(shù)xyt2

t2

tx2 2y2

2

y 2問題:消 或無法消參如何求導(dǎo)設(shè)函數(shù)xx(t yy(t)可導(dǎo) x(t)0，且xxt存在可導(dǎo)的反函數(shù)ttx，則dy存在dyyt xt 記由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則dydydtdy y(t

x(t

dydt

xt且

ytxt

yt0xt

其中

tx0x

x xa(tsint 例10求擺線ya(1cost

在t

處的切線方程2 dy

asin sin

aacos 1cos

t2

1.2t時,xa(1),y2所求切線方程

yaxa(2

即yxa(22 例11不計空氣的阻力,以初速度v0 發(fā)射角彈,其運動方程為

xv0tcos1yvtsin

gt2 求 彈在時刻t0的運動方向 彈在時刻t0的速度大解(1)在t0時刻的運動方向即軌跡在t0時刻的切方向,可由切線的斜率來反映dy

12

v0singt (v0tcos)

t

v0singt0v0 彈在t0時刻沿 y軸方向的分速度

t

(v0tcos

ttv00y1

vy

t

(v0tsin

gt22

t v0sin在t0時刻彈速度的大小 v

v22vgtsing2t2 例12設(shè)函yyx)由ysintcos2

所確定,

x0解將第一式中的x視為t的函數(shù)xx(t),問題歸求參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩式分別對t求導(dǎo)第一式按隱函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行有有yt

xetcosxtsinxxtcost2costsin當(dāng)x0時,由xettcosx,得t,得xe,y

yex若xx(t),yy(t)二階可導(dǎo),d2y dy(t)dtd

y(t) dtx(t) dt

x(t) y(t)x(t)y(t)x(t)x2(t

x(td2y

d3 d2 即

)

xt

dt(dx2)

xtxacos3例

求由方

yasin3

表示的函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)解dyyt xt

3asin2tcos3acos2t(sint

tand2y

(dy

ddy

ddy dx2

dt

dx

dt

dx

xt(tant) xt

sec2t

3acos2tsinsec4.xarctan例14yyx)由參數(shù)方程yln(1t2)確定,參數(shù)式函數(shù)求導(dǎo)法則,dyyt1t

t xt 1td2y

dydtddy

dx

dt

dx

xt

11t

21t2

d

t

dd2dx2 四、相關(guān)變化設(shè)xx(t)yy(t)都是可導(dǎo)函數(shù),而變量xy之間存在某種關(guān)系 從而它們的變化率dxdy之間也存在一定關(guān)系 這樣兩個相互依賴變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率例15球從離開觀察員500米處離地面鉛直上升,其速率為140米秒.當(dāng)氣球高度為500米時,解設(shè)氣球上升t秒后,其高度為h,觀察員視的仰角為,則已知dh，求d tan

1

上式兩邊對t求導(dǎo)得sec2

140米/秒 當(dāng)h