學九級數學下冊2721相似三角形的判定第3課時新版新人教版第1頁/共12頁兩角分別相等的兩個三角形相似【動手操作】

(1)同桌兩個人分別畫出△ABC，其中∠A=37°，∠B=65°.(2)分別測量AB，BC的長度(或測量AC，AB的長度)，判斷兩個三角形是否相似.

(3)根據操作、測量，猜想判定三角形相似的方法.(4)能證明你的猜想嗎?寫出已知、求證和證明過程.(5)用文字語言敘述你的結論，并用幾何語言表示.第2頁/共12頁兩角分別相等的兩個三角形相似.如圖所示，已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求證△ABC∽△A'B'C'.證明:如圖所示，在線段A'B'上截取A'D=AB，過點D作DE∥B'C'，交A'C'于點E，則可得△A'DE∽△A'B'C'.∵DE∥B'C'，∴∠A'DE=∠B'，又∠B=∠B'，∴∠B=∠A'DE，又∵∠A=∠A'，A'D=AB，∴△A'DE≌△ABC，∴△ABC∽△A'B'C'.【幾何語言】

如圖所示，∵∠B=∠B'，∠A=∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'.第3頁/共12頁一條直角邊和斜邊對應成比例的兩個三角形相似(1)證明直角三角形全等的方法有哪些?(SSS，SAS，ASA，AAS，HL)(2)證明直角三角形相似可以用哪些方法?(三邊成比例、兩邊成比例且夾角相等、兩角分別相等的兩個三角形相似)(3)類比直角三角形全等的判定方法，如果一條直角邊和斜邊分別成比例，兩個直角三角形相似嗎?

一條直角邊和斜邊對應成比例的兩個直角三角形相似.如圖所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°，.求證Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.由于三邊成比例的兩個三角形相似，而已知條件中有兩邊對應成比例，所以只需證明另一對直角邊也成比例即可.在直角三角形中三邊之間的關系滿足勾股定理，所以可設，用勾股定理分別求出BC，B'C'的值，求得，從而得證.證明:設，則AB=kA'B'，AC=kA'C'.∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.第4頁/共12頁(教材例2)如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長.解:∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°，又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，圖中共有哪幾對相似三角形?并選擇其中一對進行證明.〔解析〕

由CD⊥AB，得∠ADC=∠CDB=90°，所以圖中共有三個直角三角形，根據直角三角形的兩銳角互余，可得∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，由同角的余角相等，得∠B=∠ACD，∠A=∠BCD，根據兩角分別相等的兩個三角形相似易得△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.解:(1)△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.(2)答案不唯一.證明△ACD∽△ABC如下:∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，又∵∠ACB=∠ADC=90°∴△ACD∽△ABC.【歸納】直角三角形斜邊上的高把直角三角形分成的兩個直角三角形與原三角形相似.第5頁/共12頁[知識拓展]

(1)在有一組對應角相等的情況下，可以從兩個方面選擇突破口:尋找另一組對應角相等;尋找兩個三角形中夾這個已知角的兩條邊的比相等.(2)直角三角形斜邊上的高把直角三角形分成的兩個直角三角形與原三角形相似.(3)若兩個直角三角形滿足一個銳角相等或兩組直角邊成比例或斜邊和一條直角邊成比例，則這兩個直角三角形相似.1.相似三角形的判定定理3:兩角分別相等的兩個三角形相似.2.直角三角形相似的判定方法:一條直角邊和斜邊對應成比例的兩個直角三角形相似.一個銳角相等或兩邊對應成比例的兩個直角三角形相似.

課堂小結第6頁/共12頁檢測反饋1.如圖所示，已知∠C=∠E，則不一定能使△ABC∽△ADE的條件是(

)

A.∠BAD=∠CAE

B.∠B=∠D

C.

D.

解析:由題意得∠C=∠E，若添加∠BAD=∠CAE，則可得∠BAC=∠DAE，利用兩角法可判定△ABC∽△ADE，故A錯誤;若添加∠B=∠D，利用兩角法可判定△ABC∽△ADE，故B錯誤;若添加,利用兩邊及夾角法可判定△ABC∽△ADE，故C錯誤;若添加,不能判定△ABC∽△ADE.故選D.D第7頁/共12頁2.如圖所示，∠ADE=∠ACD=∠ABC，圖中相似三角形共有(

)

A.1對B.2對C.3對D.4對解析:∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共有4對.故選D.D第8頁/共12頁3.如圖所示，在△ABC中，D是AB邊上一點，連接CD.請你添加一個適當的條件，使△ADC∽△ACB，那么添加的條件是

.

解析:在△ABC和△ACD中，∠DAC=∠CAB，若要△ADC∽△ACB，需添加的條件為:①∠ADC=∠ACB;②∠ACD=∠B；③或AC2=AB·AD.故填AC2=AD·AB或∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB.AC2=AD·AB或∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB.第9頁/共12頁4.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，，求△ACD與△CBD的相似比.解:如圖所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，則△ACD∽△CBD，即CD2=AD·BD，令AD=2x，BD=3x(x>0)，∴CD2=6x2，∴CD=

∴△ACD與△CBD的相似比為第10頁/共12頁5.如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為3，點P為BC上一點，且BP=1，點D為AC邊上一點，若∠APD=60°，求CD的長.解:∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC