/寵物銷售問題摘要本文從寵物店賣小狗的實際問題出發，提出兩種預定小狗的策略A和Ｂ。對于問題一，將策略Ａ和B從已知條件抽象成數學表達式,然后跟據這些式子用Matlab編程來模擬這兩種策略并比較了二者的優缺點。對于問題二,綜合問題一中策略A和B的優缺點,提出了較為折中的策略C,在追求利潤的同時考慮到成本。并通過Matlab編程實現了模型的驗證。關鍵詞:數學表達式抽象模擬Maｔｌab一問題描述：一家寵物店賣小狗。這家店每天需要在每只小狗身上花費1０元錢,因此寵物店不想在店里存儲太多的小狗。通過調查研究,在給定的天數ｘ內,所賣出的小狗的數量服從泊松分布(λ

=0.1）。寵物店每十天平均能賣出一只小狗，而每賣出一只小狗的利潤是20元。當一個顧客來到寵物店里時，如果店里沒有寵物賣,那么該顧客就會到別的寵物店去。如果寵物店預定小狗的話，則所預定的小狗需要到6天后才能到店里?，F在該寵物店正在考慮一種預定小狗的最好策略。策略A：每賣出一只小狗，寵物店就新預定一只。這個策略意味著每次店里只有一個小狗，因此寵物店就不會花費太多在小狗身上。策略Ｂ:寵物店每隔10天就預定一只新的小狗,該狗6天后到。使用這個策略后,如果顧客連續幾個星期沒有光顧寵物店，則寵物店必須花大量的錢在小狗上。問題:1、編寫程序，來模擬這兩種策略，并比較哪一種策略好。2、請提出第三種更好的策略，寫出數學證明，并用軟件模擬。二模型的假設和說明：假設一：顧客源是無窮的；假設二:寵物價格再高，也有顧客買下;假設三：模型以1天為單位時間,且模擬1000天內的情況;假設四：時間原點,寵物店有寵物。設:第i個小狗到店時刻（為時間原點);第ｉ個小狗賣出時刻;第k個顧客到達時刻（為時間原點)；第k－1個與第k個顧客到達的間隔時間(為時間原點到第1個顧客到達時刻的時間間隔）。三數學模型：問題一：編寫程序，來模擬這兩種策略,并比較哪一種策略好。策略Ａ模型由于每賣出一只寵物,寵物店就新預定一只，而預定的寵物需要到6天后才能到店里，可得（1.1。１）式(1.１.1）由題意可知，當顧客到達時刻該寵物店有寵物即能賣出，而若無寵物則未賣出，由此可得（1．1。2)式(1.1。２）因為,是第k個顧客到達時刻（為時間原點)，是第k—１個與第k個顧客到達的間隔時間，故又得(1.１。3）式(１.1.3）如示意圖圖1圖１∵每天所賣出的寵物的數量服從Ｐoｉｓｓon分布（λ=0。1），即∴賣出兩只寵物的間隔時間服從指數分布（λ=0.1),即，即服從指數分布（λ=0.1)寵物店100０天內養寵物的花費M為(1.１.4)寵物店１０00天后的凈利潤(除去養寵物的花費)Ｓ為(１．1。５）生成服從Ｐoｉｓson分布的隨機數,進行模擬1000內的情況.策略Ｂ模型由于寵物店每隔10天就預定一只新的寵物,該寵物6天后到，可得(１。2．1)式（1.2．1)參考策略Ａ的（1。1.2）式、(１．１。3)式、(1.１．4）式和（1.1．5)式原理，可列出（1．2.2)式、（１.2．3）式、（１．２.4）式和(1。2。5)式（１。2。２（1。2。3）(1。２.4（1．2．５如示意圖圖2圖2生成服從Poiｓson分布的隨機數，進行模擬1000內的情況。問題二:提出第三種更好的策略，并加以驗證。策略C:寵物店每隔6天就預定一只新的寵物,但最多只存放(養)2只寵物，若已經有２只，則不再預定新寵物，等到賣出一只寵物的那天再預定一只.策略C模型根據策略C可得（1．３.１）式（1。3。1）參考策略A的（1．1.2）式、(1。１．3）式、（1。1。4）式和(1。1.５)式原理，可列出（1.3.2）式、（1。3。3）式、（1。3．4)式和（１。3.5）式（1.3．２（1。3．3）（1．2.4(1．２。5如示意圖圖3圖３生成服從Pｏiｓsoｎ分布的隨機數，進行模擬100０內的情況。四模型求解:經過思考,我選用maｔlaｂ軟件,因為ｍatlａｂ軟件具有較大的實用性，且方便操作。Maｔlaｂ模擬程序原理如下策略Ａ的優點為：喂養寵物的成本花費較少;缺點為：賣出的寵物較少,盈利也隨之減少.策略B的優點為:錯過的顧客較少,寵物店存貨豐富；缺點為:喂養寵物的成本花費很大。綜合以上優缺點，參考上述兩個營銷思維,我們想出了較為折中的策略C,在追求利潤的同時考慮到成本。五結果分析與總結：問題一結果分析：模擬結果如下表利潤S（元）策略A222０策略B2820表1單從利潤分析，策略B利潤較大。問題二結果分析模擬結果如下表養寵物花費M(元)1000天時剩余寵物數（只）利潤S（元）平均每賣1只寵物的花費（元）策略Ａ75960２2201０2.6５策略B44３０462820471。３2策略C1650０129４01６8。３7表２很明顯，策略C在利潤上最大，且喂養寵物的成本較為合理，綜合都方面因素,策略C較好。六參考文獻：【1】堵秀鳳．數學實驗.科學出版社，２009【2】李大潛。中國大學生數學建模競賽．高等教育出版社，2０08七附錄：模擬指數分布程序＞〉i=1；ｋ=1；＞>d=exｐrnｄ(10，［1,1２0])；>〉d=ｒounｄ(d）;>〉c（ｋ）=d(k）;>>fork＝2:１20c（ｋ）=c（ｋ-１)+d(ｋ）;ｅｎd圖4指數分布生成圖策略A的模擬程序：>〉a（i)=０；ｂ(i）=d（1)；〉＞k=１;i＝i＋1;>>fork=1：１20a(i）＝b（i—1）＋6；wｈｉlｅa(ｉ)〉c（k）k＝k+１;ｅndb(i）=c（k);ｉ＝i+1；end>>i＝1;>＞Ｍ（i）=12*（b(i）－a（i）)；>＞i=ｉ＋1;>＞while（a(i)〈10０0&b（i)<１0００）M(i)=１2＊（ｂ(i）－a(i)）+M（i-1）;ｉ＝i+1;enｄ＞〉ａ(i-1)ａns=9９5>>b（i—1)ans=99８>>ａ(i)aｎs=1０03〉〉M（nuｍｅl(M））aｎs=7５96〉〉S1=３0*(i-1）S１=222０策略B的模擬程序：〉〉a(i）=0；b(i）=d(１）;>＞ｋ=1；i=ｉ+1；〉＞a(ｉ）=15;>〉ｗhｉlei<=120wｈｉｌｅc（k)<ａ(i)k=k+1；eｎdb(i）=c(ｋ）；ｋ＝k+1；ａ（ｉ＋1）＝a（i)＋10；i＝i+1;eｎd〉〉i=1;〉>N（i）＝1２＊(b(i)－a(i));>〉i=ｉ＋１；>>while(a(i)〈100０＆b（i）＜１000）N(i）=12*（b（i)-a(i））+N(i－１）;ｉ=ｉ+１;enｄ>>a（ｉ－1)ans=935〉＞b(i—１)ans=９9８＞＞a（ｉ）ａｎs=945＞>b(i）ans=１001＞〉N(i－１）ans＝４430４〉〉S2＝30＊（i-1）S２=28２0策略C的模擬程序：〉＞a(1)＝0;ａ(2)＝10；〉〉b(1)=d（1）；〉〉i=2;k＝2;〉〉whｉlek<=１20ifa（i)〈＝b（ｉ—1)a(ｉ+１）=b(i－1）+５;elｓeａ（i+1）=a(i）+5；enｄwhｉlｅｃ（k）＜ａ（i）ｋ=k+1;eｎdｂ（i）=c（k）;ｉ＝ｉ+1;k＝k＋1;end〉〉i=1；〉〉O(i）=12*（ｂ（i)-ａ(i)）；〉〉i=i+1；>＞ｗhile（a（i）<１0０0＆ｂ（i）<100０)O（i）=