2016年高中數學必修一導學案、講義word版教師版全冊

目錄

第一章集合與函數概念

i.i集合

閱讀與思考集合中元素的個數

1.2函數及其表示

閱讀與思考函數概念的發展歷程

1.3函數的基本性質

信息技術應用用計算機繪制函數圖象

小結

第二章基本初等函數（I）

2.1指數函數

信息技術應用借助信息技術探究指數函數的性質

2.2對數函數

閱讀與思考對數的發明

探究也發現互為反函數的兩個函數圖象之間的關系

2.3哥函數

小結

復習參考題

第三章函數的應用

3.1函數與方程

閱讀與思考中外歷史上的方程求解

信息技術應用借助信息技術方程的近似解

3.2函數模型及其應用

信息技術應用收集數據并建立函數模型

小結

復習參考題

1.1.1集合的含義與表示

第一課時集合的含義

mas集合的概念

［提出問題］

觀察下列實例：

(1)山東天成書業集團的所有員工；

(2)平面內到定點0的距離等于定長d的所有的點；

［x+1^3

(3)不等式組的整數解；

(4)方程x2—5x+6=0的實數根；

(5)某中學所有較胖的同學.

問題1：上述實例中的研究對象各是什么？

提示：員工、點、整數解、實數根、較胖的同學.

問題2：你能確定上述實例的研究對象嗎？

提示：(1)(2)(3)(4)的研究對象可以確定.

問題3：上述哪些實例的研究對象不能確定？為什么？

提示：(5)的研究對象不能確定，因為“較胖”這個標準不明確，故無法確定.

［導入新知］

元素與集合的概念

定義表示

元素一般地，我們把研究對象統稱為元素通常用小寫拉丁字母a,b,c,…表示

把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱

集合通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示

為集)

［化解疑難］

準確認識集合的含義

(1)集合的概念是一種描述性說明，因為集合是數學中最原始的、不加定義的概念，這與我們初中學

過的點、直線等概念一樣，都是用描述性語言表述的.

(2)集合含義中的“元素”所指的范圍非常廣泛，現實生活中我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到

的、想到的各種各樣的事物或一些抽象的符號等，都可以看作“對象”，即集合中的元素.

FTTW元素的特性及集合相等

［提出問題］

問題1:上述實例⑶組成的集合的元素是什么？

提示：2,3.

問題2：上述實例(4)組成的集合的元素是什么？

提不：2,3.

問題3：實例(3)與實例(4)組成的集合有什么關系？

提示：相等.

［導入新知］

1.集合相等

只要構成兩個集合的元素是二柱的，我們就稱這兩個集合相等.

2.集合元素的特性

集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

［化解疑難］

對集合中元素特性的理解

(1)確定性：是指作為一個集合的元素必須是明確的，不能確定的對象不能構成集合.也就是說，給

定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素是確定的.

(2)互異性：對于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集

合的一個元素.

(3)無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的.如1,2,3與3,2,1構成的集合是同一個

集合.

rrre元素與集合的關系及常用數集的記法

［提出問題］

某中學2013年高一年級20個班構成一集合.

問題1：高一(6)班、高一(16)班是這個集合的元素嗎？

提示：是這個集合的元素.

問題2：高二(3)班是這個集合中的元素嗎？為什么？

提示：不是.高一年級這個集合中沒有高二(3)班這個元素.

［導入新知］

1.元素與集合的關系

(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作aGA.

(2)如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A,記作巡.

2.常用的數集及其記法

常用的數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集

記法NN*或N+ZQR

［化解疑難］

1.對G和q的理解

(1)符號“G”“莊”刻畫的是元素與集合之間的關系.對于一個元素a與一個集合A而言，只有“a

GA”與“a陣A”這兩種結果.

(2)W和4具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如RWO是錯誤的.

2.常用數集關系網

正整數集1

自然數集N

整數集訃{0}

有理數集Q〈

實數集R4、負整數集

I分數集

I無理數集

鎖定考向，考題千變不離其宗

集合的基本概念

［例1］(1)下列各組對象：①接近于0的數的全體；②比較小的正整數的全體；③平面上到點a的

距離等于1的點的全體；④正三角形的全體；⑤^的近似值的全體.其中能構成集合的組數是()

A.2B.3

C.4D.5

(2)判斷下列說法是否正確，并說明理由.

①某個公司里所有的年輕人組成一個集合；

QC11

②由1,5,Q，5組成的集合有五個元素；

③由a,b,c組成的集合與由b,a,c組成的集合是同一個集合.

［解析］(1)“接近于0的數”“比較小的正整數”標準不明確，即元素不確定，所以①②不是集

合.同樣，“鏡的近似值”也不明確精確到什么程度，因此很難判定一個數，比如2是不是它的近似值,

所以⑤也不是一個集合.③④能構成集合.

［答案］A

(2)［解］①不正確.因為“年輕人”沒有確定的標準，對象不具有確定性，所以不能組成集合.

②不正確.由于,=［，由集合中元素的互異性知，這個集合是由1,I，吳三個元素組成

的.

③正確.集合中的元素相同，只是次序不同，所以它們仍表示同一個集合.

［類題通法］

判斷一組對象能否組成集合的標準及其關注點

(1)標準：判斷一組對象能否組成集合，關鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性,

就可以組成集合：否則，不能組成集合.

(2)關注點：利用集合的含義判斷一組對象能否組成一個集合，應注意集合中元素的特性，即確定性、

互異性和無序性.

［活學活用］

下列說法正確的是()

A.小明身高1.78m,則他應該是高個子的總體這一集合中的一個元素

B.所有大于0小于10的實數可以組成一個集合，該集合有9個元素

C.平面上到定直線的距離等于定長的所有點的集合是一條直線

D.任意改變一個集合中元素的順序，所得集合仍和原來的集合相等

解析：選DA中的高個子標準不能確定，因而不能構成集合；B中對象能構成集合，但元素有無窮

多個；C中對象構成的是兩條直線，D反映的是集合元素的無序性.

77^元素與集合的關系

［例2］(1)設集合A只含有一個元素a,則下列各式正確的是()

A.OGAB.a$A

C.a￡AD.a=A

(2)下列所給關系正確的個數是()

①nGR；②地至Q；③0GN-；④|-4|4N*

A.1B.2

C.3D.4

［解析］(1)由元素與集合的關系可知，aGA.

(2)①nGR顯然是正確的；②小是無理數，而Q表示有理數集，.?.4陣Q,正確；③N?表示不含0

的自然數集，.??OEM,③錯誤；④|-4|=4GN*,④錯誤，所以①②是正確的.

［答案］(DC(2)B

［類題通法］

判斷元素與集合間關系的方法

判斷一個對象是否為某個集合的元素，就是判斷這個對象是否具有這個集合的元素具有的共同特

征.如果一個對象是某個集合的元素，那么這個對象必具有這個集合的元素的共同特征.

［活學活用］

設不等式3—2x<0的解集為M,下列正確的是()

A.0GM.2GMB.0陣M,2CM

C.0GM,24MD.0陣M,2㈱

解析：選B從四個選項來看，本題是判斷。和2與集合M間的關系，因此只需判斷0和2是否是不

等式3-2x<0的解即可.當x=0時，3-2x=3>0,所以0不屬于M,即0琳；當x=2時，3-2x=-l<0,

所以2屬于M,即2GM.

g集合中元素的特性及應用

［例3］已知集合A中含有兩個元素a和￡,若1GA,求實數a的值.

［解］若1GA,則a=l或￡=1,BPa=±l.

當a=l時，a=a2,集合A有一個元素，

，aWl.

當a=-l時，

集合A含有兩個元素1,-1,符合互異性.

；?a=-1.

［類題通法］

關注元素的互異性

根據集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能取值，但要時刻關注集合中元素的三個特性，尤

其是互異性，解題后要注意進行檢驗.

［活學活用］

設A表示由a?+2a-3,2,3構成的集合，B表示由2,|a+31構成的集合，已知5GA,且5邨，求a

的值.

解：V5SA,/.a2+2a-3=5,解之得a=2或a=-4.

當a=2時,|a+3|=5,當a=-4時,|a+3|=l.

又..節邨,

修補短板，拉分題一分不丟

系列y

1.警惕集合元素的互異性

［典例］若集合A中有三個元素，x,x+1,1,集合B中也有三個元素x,x+x2,x2,且4=8,則實

數x的值為.

［解析］VA=B,

x+l=x2,x+l=x?+x,

或

l=x2+x

解得x=±l.經檢驗，x=l不適合集合元素的互異性，而X=-1適合.

/.X=—1.

［答案］一1

［易錯防范］

1.上面例題易由方程組求得x=±l后，忽視對求出的值進行檢驗，從而得出錯誤的結論.

2.當集合中元素含字母并要求對其求值時，求出的值一定要加以檢驗，看是否符合集合元素的互異

性.

［成功破障］

若集合A中含有三個元素a-3,2a-l,a2-4,且一3WA,則實數a的值為.

解析：(1)若a—3=—3,則a=0,此時A={-3,—1,—4),滿足題意.

(2)若2a—1=-3,則a=-1,此時A={-4,—3,—3},不滿足元素的互異性.

(3)若a?—4=-3,則2=±1.當a=l時，A={—2,1,—3),滿足題意；當a=-1時，由(2)知不

合題意.

綜上可知：a=0或a=l.

答案：0或1

自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

1.下列說法正確的是()

A.某班中年齡較小的同學能夠形成一個集合

B.由1,2,3和4，1,小組成的集合不相等

C.不超過20的非負數組成一個集合

D.方程(x—l)(x+1)2=0的所有解構成的集合中有3個元素

解析：選CA項中元素不確定.B項中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個

集合相等.D項中方程的解分別是%=1,xz=X3=-l.由互異性知，構成的集合含2個元素.

2.若以集合A的四個元素a、b、c、d為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是()

A.梯形B.平行四邊形

C.菱形D.矩形

解析：選A由于a、b、c、d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等.

3.下列說法中

①集合N與集合N+是同一個集合②集合N中的元素都是集合Z中的元素③集合Q中的元素都是

集合Z中的元素④集合Q中的元素都是集合R中的元素

其中正確的有.

解析：因為集合N+表示正整數集，N表示自然數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集,

所以①③中的說法不正確，②④中的說法正確.

答案：@@

4.設由2,4,6構成的集合為A,若實數aGA時，6-aGA,則a=.

解析：代入驗證，若a=2,則6—2=4GA,符合題意；若a=4,則6—4=2GA,符合題意；若a=

6,貝！|6—6=0生A,不符合題意，舍去，所以a=2或a=4.

答案：2或4

5.已知集合A中含有兩個元素x,y,集合B中含有兩個元素0,X2,若人=8,求實數x,y的值.

解：因為集合A,B相等，則x=0或y=0.

（1）當x=0時，x2=0,則8={0,0},不滿足集合中元素的互異性，故舍去.

（2）當y=0時，x=x2,解得x=0或x=l.由（1）知x=0應舍去.綜上知：x=Ly=0.

［課時達標檢測］

一、選擇題

1.下列判斷正確的個數為（）

（1）所有的等腰三角形構成一個集合.

（2）倒數等于它自身的實數構成一個集合.

（3）質數的全體構成一個集合.

（4）由2,3,4,3,6,2構成含有6個元素的集合.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C（1）正確，（2）若;=a,貝！|a?=l,.?.a=±L構成的集合為{1,一1},二（2）正確，（3）

也正確，任何一個質數都在此集合中，不是質數的都不在.（3）正確，（4）不正確，集合中的元素具有互異

性，構成的集合為{2,3,4,6},含4個元素，故選C.

2.若aWR,但a輒則a可以是（）

A.3.14B.-5

C.1D.yfi

解析：選D由題意知a是實數但不是有理數，故a應為無理數.

3.下列各組中集合P與Q,表示同一個集合的是（）

A.P是由元素1,小,冗構成的集合，Q是由元素n,1,I一構成的集合

B.P是由￡構成的集合，Q是由3.14159構成的集合

C.P是由2,3構成的集合，Q是由有序數對⑵3）構成的集合

D.P是滿足不等式一IWx^l的自然數構成的集合，Q是方程犬=1的解集

解析：選A由于A中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個集合，而B、C、D中元素不相同,

所以P與Q不能表示同一個集合.故選A.

4.下列四個說法中正確的個數是（）

①集合N中的最小數為1；

②若aCN,則一a陣N；

③若aGN,bGN,則a+b的最小值為2；

④所有小的正數組成一個集合；

⑤冗GQ；

⑥0陣N；

⑦-3GZ；

⑧7施.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選C①錯，因為N中最小數是0；②錯，因為OWN,而一OGN；③錯，當a=Lb=0時，a

+b=l；④錯，小的正數是不確定的；⑤錯，因為n不是有理數；⑥錯，因為0是自然數；⑦正確，因

為一3是整數；⑧正確，因為南是實數.

5.由實數一a,a,|a|,，/所組成的集合最多含有（）個元素.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B當a=0時，這四個數都是0,所組成的集合只有一個元素0.當aWO時，聲=|a|=

a,a>0,

小所以一定與a或一a中的一個一致.故組成的集合中有兩個元素，故選B.

—a,a<0,

二、填空題

6.方程x?—2x—3=0的解集與集合A相等，若集合A中的元素是a,b,則a+b=.

解析：???方程xZ—2x—3=0的解集與集合A相等，

...a,b是方程x?—2x—3=0的兩個根，

.*.a+b=2.

答案：2

7.已知集合A是由偶數組成的，集合B是由奇數組成的，若aGA,bSB,貝！Ja+bA,

abA_（填e或時.

解析：Ya是偶數，b是奇數，

.??a+b是奇數，ab是偶數，

故a+b陣A,abGA.

答案：陣6

8.若集合A是不等式x-a>0的解集，且24A,則實數a的取值范圍是.

解析：V2^A,二2一aWO,即a22.

答案：a22

三、解答題

9.設集合A中含有三個元素3,x,X2-2X.

（1）求實數x應滿足的條件；

（2）若一2GA,求實數x.

解：（1）由集合中元素的互異性可知，x#3,且xWx?-2x,x2—2x^3.

解之得x#—1且xWO,且xW3.

(2)V-2GA,.,二一？或X2-2X=-2.

由于X2—2x=(x—I)2—1^—1,

1+a

10.數集M滿足條件：若aGM,則GM（aW±l且aWO）.若3GM,則在M中還有三個元素是什

1—a

么？

.1+3

解—M，???百=一2弱,

1

.1±可印,

1,1-O

1+2

31

4=『尸

_1

1-

33

1

1+-

±2

3GM

X-.1

I-

X-2

.,.在M中還有元素-2,—T,T.

O/

第二課時集合的表示

層析教材，新知無師自通

FFira列舉法

［提出問題］

觀察下列集合：

（1）中國古代四大發明組成的集合；

（2）20的所有正因數組成的集合.

問題1：上述兩個集合中的元素能一一列舉出來嗎？

提示：能.（1）中的元素為造紙術、印刷術、指南針、火藥，（2）中的元素為：1,2,4,5,10,20.

問題2：如何表示上述兩個集合？

提示：用列舉法表示.

［導入新知］

列舉法

把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

［化解疑難］

使用列舉法表示集合的四個注意點

(1)元素間用“，”分隔開，其一般形式為{a”a2,a?};

(2)元素不重復，滿足元素的互異性；

(3)元素無順序，滿足元素的無序性；

(4)對于含有有限個元素且個數較少的集合，采取該方法較合適；若元素個數較多或有無限個且集合

中的元素呈現一定的規律，在不會產生誤解的情況下，也可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略

號表示.

相中-箱描述法

［提出問題］

觀察下列集合：

(1)不等式x—2》3的解集；

(2)函數y=x?-l的圖象上的所有點.

問題1：這兩個集合能用列舉法表示嗎？

提示：不能.

問題2：如何表示這兩個集合？

提示：利用描述法.

［導入新知］

描述法

(1)定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

(2)具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

［化解疑難］

1.描述法表示集合的條件

對于元素個數不確定且元素間無明顯規律的集合，不能將它們一一列舉出來，可以將集合中元素的共

同特征描述出來，即采用描述法.

2.描述法的一般形式

它的一般形式為{xGA|p(x)},其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范圍；p(x)則

是表示這個集合中元素的共同特征，其中“|”將代表元素與其特征分隔開來.

一般來說集合元素x的取值范圍A需寫明確，但若從上下文的關系看，xGA是明確的，則xGA可以

省略，只寫元素X.

鎖定考向，考題千變不離其宗

用列舉法表示集合

［例1］若集合A={(1,2),(3,4)},則集合A中元素的個數是()

A.1B.2

C.3D.4

(2)用列舉法表示下列集合.

①不大于10的非負偶數組成的集合；

②方程x2=x的所有實數解組成的集合；

③直線y=2x+l與y軸的交點所組成的集合；

x+y=L

④方程組，的解.

1x—y=-1

(1)［解析］集合A={(1,2),(3,4)}中有兩個元素(1,2)和(3,4).

［答案］B

(2)［解］①因為不大于10是指小于或等于10,非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負

偶數集是{0,2,4,6,8,10).

②方程x2=x的解是x=0或x=l,所以方程的解組成的集合為{0,1}.

③將x=0代入y=2x+L得y=L即交點是(0,1),故兩直線的交點組成的集合是{(0,1)}.

x+y=Lx=0,

④解方程組，得

x—y=-1,y=i-

...用列舉法表示方程組f+'―i的解集為{(0,1)}.

x-y=-1

［類題通法］

用列舉法表示集合的步驟

(1)求出集合的元素；

(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；

(3)用花括號括起來.

［活學活用］

已知集合人={-2,-1,0,1,2,3},對任意aGA,有|a|GB,且B中只有4個元素，求集合B.

解：對任意aGA,有|a|GB.

因為集合人={-2,-1,0,1,2,3},

由一1?—2,0,1,2,3GA?知0,1,2,3GB.

又因為B中只有4個元素，

所以B={0,1,2,3}.

用描述法表示集合

［例2］⑴用符號“G”或“陣”填空：

①人二{x|x?—x=0},則1A,—1A；

②(1,2)｛(x,y)|y=x+l｝.

(2)用描述法表示下列集合：

①正偶數集；

②被3除余2的正整數的集合；

③平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合.

(1)［解析］①將1代入方程成立，將一1代入方程不成立，故leA,-WA.

②將x=l,y=2代入y=x+l成立，故填G.

［答案］①C陣②e

(2)［解］①偶數可用式子x=2n,nGZ表示，但此題要求為正偶數，故限定nGN*,所以正偶數集可

表示為｛x|x=2n,nGN,｝.

②設被3除余2的數為x,則x=3n+2,nGZ,但元素為正整數，故x=3n+2,nGN,所以被3除

余2的正整數集合可表示為｛x|x=3n+2,n￡N｝.

③坐標軸上的點(x,y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0,即xy=0,故坐標軸上的點的集合可

表示為｛(x,y)|xy=0｝.

［類題通法］

利用描述法表示集合應關注五點

(1)寫清楚該集合代表元素的符號.例如，集合｛xGR|x<l｝不能寫成｛x<l｝.

(2)所有描述的內容都要寫在花括號內.例如，｛xGZ|x=2k｝,kGZ,這種表達方式就不符合要求，

需將kGZ也寫進花括號內，即｛xGZ|x=2k,kez).

(3)不能出現未被說明的字母.

(4)在通常情況下，集合中豎線左側元素的所屬范圍為實數集時可以省略不寫.例如，方程Y—2x+l

=0的實數解集可表示為｛XGR|X2-2X+1=0｝,也可寫成｛x|X2-2X+1=0｝.

(5)在不引起混淆的情況下，可省去豎線及代表元素，如｛直角三角形｝，｛自然數｝等.

［活學活用］

下列三個集合：

①A=｛x|y=x2+l｝；

②B=｛y|y=x2+l｝；

@C=｛(x,y)|y=x2+l｝.

(1)它們是不是相同的集合？

(2)它們各自的含義分別是什么？

解：(1)由于三個集合的代表元素互不相同，故它們是互不相同的集合.

(2)集合A=｛x|y=x?+1｝的代表元素是x,且xGR,所以｛x|y=x?+l｝=R,即A=R；集合B=｛y|y

=x?+l｝的代表元素是y,滿足條件y=x?+l的y的取值范圍是y》L所以｛y|y=x?+l｝=｛y|y'l｝.

集合C=｛(x,丫)|丫=*2+1｝的代表元素是6,y),是滿足y=/+l的數對.可以認為集合C是坐標

平面內滿足y=x?+l的點(x,y)構成的集合，其實就是拋物線y=x?+l的圖象.

集合表示的應用

［例3］(1)集合A={L-3,5,一7,9,…}用描述法可表示為()

A.{x|x=2n±l,nGN}

B.{x|x=(—l)n(2n—1),n￡N}

C.{x|x=(—l)n(2n+l),n￡N}

D.{x|x=(-l)n-1(2n+l),n￡N}

6

(2)設集合B=JxGN函qGN■.

①試判斷元素1,2與集合B的關系；

②用列舉法表示集合B.

(1)［解析］觀察規律，其絕對值為奇數排列，且正負相間，且第一個為正數，故應選C.

［答案］C

⑵［解］①當x=l時，搭■uZGN.

乙I1

當x=2時，忌=羯所以1GB,24B.

乙I乙乙

6

②.而GN,*6M，2+*只能取2,3,6.

:.x只能取0,1,4./.B={0,1,4).

［類題通法］

判斷元素與集合間關系的方法

(1)用列舉法給出的集合，判斷元素與集合的關系時，觀察即得元素與集合的關系.

例如，集合A={1,9,12},則OEA,9GA.

(2)用描述法給出的集合，判斷元素與集合的關系時就比較復雜.此時，首先明確該集合中元素的一

般符號是什么，是實數？是方程？……，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法

判斷所給元素是否滿足集合中元素的特征，即可確定所給元素與集合的關系.

［活學活用］

定義集合A,B的一種運算：A*B={x|x=xi+x2,其中xiGA,x2GB},若A={1,2,3},B={1,2},試

用列舉法表示出集合A*B.

解：當X1=1時，X2可以取1或2,則Xi+xz=2或3；

當xi=2時，X2可以取1或2,則XI+X2=3或4；

當xi=3時，X2可以取1或2,則xi+xz=4或5.

.?**8=憶3,4,5}.

修補短板，拉分題一分不丟

例髓系列/

［典例］集合A={x|axZ+2x+l=0,aGR}中只有一個元素，求a的取值范圍.

［解］當a=0時，原方程變為2x+l=0,

此時X=一符合題意；

當a#0時，方程ax?+2x+l=0為一元二次方程，

△=4-4a=0,即a=L原方程的解為x=-1,符合題意.

故當a=0或a=l時，原方程只有一個解，此時A中只有一個元素.

［多維探究］

解答上面例題時，a=0這種情況極易被忽視，對于方程“ax2+2x+l=0”有兩種情況：一是a=0,

即它是一元一次方程；二是aWO,即它是一元二次方程，也只有在這種情況下，才能用判別式△來解決

問題.

求解集合與方程問題時，要注意相關問題的求解，如：

(1)在本例條件下，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.

解：A中至多含有一個元素，即A中有一個元素或沒有元素.

當A中只有一個元素時，由本例可知，a=0或1.

當A中沒有元素時，A=4—4a<0,即a>l.

故當A中至多有一個元素時，a的取值范圍為a=0或a》L

(2)在本例條件下，若A中至少有一個元素，求a的取值范圍.

解：A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素.

由例題可知，當a=0或a=l時，A中有一個元素；

當A中有兩個元素時，△=4—4a>0,即a<l.

...A中至少有一個元素時，a的取值范圍為a<l.

⑶若3GA,則a為何值？

解：VISA,...a+2+l=0,即a=-3.

(4)是否存在實數a,使人={1},若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

解：VA={1},AieA,.?.a+2+l=0,即a=-3.

又當a=-3時，由-3X2+2X+1=0,得X=-J或X=1,

即方程axZ+2x+l=0存在兩個根一J和1,此時A={—；,1},與人={1}矛盾.

故不存在實數a,使人={1}.

應自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

1.方程久一』的解集是()

A.(—5,4)B.(5,-4)

C.{(—5,4)}D.{(5,-4)}

x+y=l,x=5,

解析：選D解方程組得故解集為｛(5,-4)｝,選D.

X2—y2=9,,y=-4

2.下列四個集合中，不同于另外三個的是()

A.｛y|y=2｝B.｛x=2｝

C.｛2｝D.｛x|x2—4x+4=0｝

解析：選B集合｛x=2｝表示的是由一個等式組成的集合，其它選項所表示的集合都是含有一個元素

2.

3.給出下列說法：

①直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為｛(x,y)|xy>0｝;

②方程亞三+|y+2|=0的解集為｛2,-2｝；

③集合｛(x,y)|y=l-x｝與｛x|y=l-x｝是相等的.

其中正確的是(填寫正確說法的序號).

解析：直角坐標平面內，第一、三象限的點的橫、縱坐標是同號的，且集合中的代表元素為點(x,y),

故①正確；

方程，￡3+1y+21=0等價于,/即一;解為有序實數對(2,—2),解集為｛(2,

y+2=0,［y=-2,

x2

-2)｝或｛(x,y)|一°),故②不正確；

y=—2

集合｛(X,y)|y=l-x｝的代表元素是(x,y),集合｛x|y=l-x｝的代表元素是x,前者是有序實數對,

后者是實數，因此這兩個集合不相等，故③不正確.

答案：①

4.若A=｛-2,2,3,4｝,B=｛x|x=t\tGA｝,用列舉法表示集合B為.

解析：由題意可知集合B是由A中元素的平方構成的，故8=｛4,9,16｝.

答案：｛4,9,16｝

5.用適當的方法表示下列集合：

(1)一年中有31天的月份的全體；

(2)大于一3.5小于12.8的整數的全體；

(3)梯形的全體構成的集合；

(4)所有能被3整除的數的集合；

(5)方程6-1)&-2)=0的解集；

(6)不等式2x-l>5的解集.

解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12).

(3){x|x是梯形}或{梯形}.

(4){x|x=3n,nGZ}.

⑸{1,2}.

(6){x12x_1>5}.

［課時達標檢測］

一、選擇題

1.下列各組中的兩個集合M和N,表示同一集合的是()

A.M={n},N={3.14159}

B.M={2,3},N={(2,3)}

C.M={x|—xGN},N={1}

D.M={1,小,n},N={n,1,|一憫}

解析：選D選項A中兩個集合的元素互不相等，選項B中兩個集合一個是數集，一個是點集，選項

C中集合M={0,1},只有D是正確的.

2.已知x,y,z為非零實數，代數式合+占+白+鳳4的值所組成的集合是M,則下列判斷正

|x||y||z|xyz

確的是()

A.04MB.2￡M

C.-4鋤D.4GM

解析：選D當x,y,z都大于零時，代數式的值為4,所以4GM,故選D.

3.集合{xGN*|x—3<2}的另一種表示法是()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

解析：選BVx-3<2,xSN*,.-.x<5,xGN*,

Ax=1,2,3,4.故選B.

4.已知集合A={x|x=2m—1,mGZ},B={x|x=2n,nGZ},且xi、x2GA,X3GB,則下列判斷不正

確的是()

A.Xi,X2GAB.X2?X3GB

C.X1+X2WBD.X1+X2+X3WA

解析：選D集合A表示奇數集，B表示偶數集，

；.X1、X2是奇數，X3是偶數，

...Xi+Xz+X3應為偶數，即D是錯誤的.

5.設P={1,2,3,4},Q={4,5,6,7,8},定義P*Q={(a,b)|aeP,beQ,a#b},則P*Q中元素的個

數為()

A.4B.5

C.19D.20

解析：選C由題意知集合P*Q的元素為點，當a=l時，集合P*Q的元素為：(1,4),(1,5),(1,6),

(1,7),(1,8)共5個元素.同樣當a=2,3時集合P*Q的元素個數都為5個，當a=4時，集合P*Q中元素

為：(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)共4個.因此P*Q中元素的個數為19個，故選C.

二、填空題

6.設集合A={1,-2,a2-l},B={1,a2-3a,0},若A,B相等，則實數a=.

a2—1=0,

解析：由集合相等的概念得2cc解得a=l.

答案：1

7.已知集合A={x|2x+a>0},且WA,則實數a的取值范圍是.

解析：VH{x|2x+a>0},

...2Xl+aW0,即aW-2.

答案：aW—2

8.已知一5G{xlx?-ax—5=0},則集合{x|x?—4x—a=0}中所有元素之和為.

解析：由-5G{x|x?—ax—5=0}得(一5產一aX(―5)—5=0,所以a=-4,所以解4x+4=0}

={2},所以集合中所有元素之和為2.

答案：2

三、解答題

9.已知集合M={-2,3x?+3x—4,x2+x—4},若2GM,求x.

解：當3x?+3x—4=2時，即x?+x—2=0,則x=—2或x=l.經檢驗，x=—2,x=l均不合題意.當

x?+x—4=2時，即x'+x—6=0,則x=-3或2.經檢驗，x=—3或x=2均合題意.

.,.x=-3或x=2.

6

10.(1)已知集合從=々￡用不晝2},求M；

6

(2)已知集合C={rGZ|xGN},求C.

解：(1)VxGN,備GZ,1.1+x應為6的正約數.

；.l+x=l,2,3,6,即x=0,1,2,5.

,,.M={0,1,2,5}.

(2)VT^-SZ,且XGN,

1+x

???l+x應為6的正約數,

，l+x=l,2,3,6,此時品分別為6,3,2,1,

AC={6,3,2,1).

1.1.2集合間的基本關系

層析教材，新知無師自通

子集

［提出問題］

具有北京市東城區戶口的人組成集合A,具有北京市戶口的人組成集合B.

問題1：A中元素與集合B有關系嗎？

提示：有關系，A中每一個元素都屬于B.

問題2：集合A與集合B有什么關系？

提示：集合B包含集合A.

［導入新知］

子集的概念

一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的

定義

元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集

記法與讀法記作里B(或照圓,讀作“A含于B”(或“B包含A”)

或.

圖示