一、圖形的1、借助于“邊、角”計算的分例 （1）已知ABC中，A90,B67.5，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形（2）已知ABCCB的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求ABC與C之間的關系。C①B①B（2）設

y，

xBAC于DDBCC①若C是頂角，如圖③，則ADB90CBDCDB1(180x)901 AA180xy 1 此時只能有AABD，即180xyy(90 x) 23x4y540，即ABC與CDB3DB3ABC135 4②若C是底角，則有兩種情況 第一種情況：如圖④，當DBDC時，則DBCx ABD中ADB2xABDyxABAD，得2xyxy3x，即有關系

3C ABBD，得180xy2x

3xy180CBC即ABC1803CⅢ、由ADBD，得180xyyx，此時y90 即

90，C為小于45°的任意銳角 BDBCBDCxADB180x90此時只能有ADBD 從而AABD1CC，這與題設C是最小 2當CBDBC【說明】本題是通過特定的分割推導角之間的特殊關系例 如圖（1），在ABC和DEF中，AD90，ABDE3,AC2DF4AD在這兩個三角形中各作一條輔助線，使ABC分割成的兩個三角形與AD 【觀察與思考】對于（1），只需算

解：（1）不相似。RtBAC中A90,AB3,AC4；RtEDF中D90DE3DF2AB1,AC

2。AB

AC，RtBACRtEDF具體操作：作BAMEBCM；作NDEBEFN由作法和已知條件可知

DENA

BFNDENDE

FND

90NDEC90B,FDNC

AMCFNDFEF【說明】本題是從構造等角出發構造相似三角形，這一方法被普遍采用 32：1的長方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可打開鋪平再折第二次），使得

（甲

（乙 【說明】由本題的解法可以看出：要得到面積相等的圖形，一可以構造“全等圖形”，二可以由面積出發例4 4

2222【說明】在本題，恰當地運用了基本圖形的軸對稱性質和中心對稱性質例 作OE//AC，交CDEAE即為一條“好線”。（如圖AEAFEAMAFEAME BCB 【觀察與思考】對于（1），只需證明對于（2）AE解：（1）證明：OBD

SEAC即可，而這由OE//

SABOSAODSCOBSCOD AHFNES四邊形ABCO2S四邊ABCD AHFNEOE//AC

SEAC1S四邊形1

S四邊形ABCO2S四邊形ABCD,AE（2）AFEH//AFABH。如圖（2`），FHEH//AF,

SFHE1

S四邊形

2S四邊形ABCD【說明】在本題，主要借助了“等底等高的三角形面積相等”，這是對圖形進行“等面積變形”的重要而常用。二、將原圖形剪拼成新例1 （中點 （中點 【觀察與思考】圖B中的兩部分可拼成IIII平行四邊I【說明】思可借助圖形的“平移”、“旋轉”，以及它們的結合例 且點C與

【觀察與思考】已知的兩個正方形邊長之比為1：2，不妨設它們的邊長a和2aa2和4a2 比為1：3，則它們的面積比就是1：9，即分別為1a2和9a2 角形的面積都為1a2，這樣就有以下的解2ADMBDM將原圖裁割，并將ADMM180°至DEM，則得到等EADBCMADBCADBCMADBC【說明】因為剪拼前后保持面積不變，所以許多剪拼問題的思考解決都可如本題以面積作為過渡的橋梁例 割線并在正方形網格圖（1）中用實線畫出拼接成的新正方形。 5同學的做法是設新正方形的邊長為x(x0)依題意割補前后圖形的面積相等有x25解得x 5請你參考同學的做法，解決如下問題畫出分割線，并在圖（5）的正方形網格圖（1）中用實線畫出拼接成的新正方形。9292

【說明】本題進一步說明，剪拼型的圖形操作問題，常以面積做為解法思考的依據例 AE

2bAD操作示當2ba時，如圖（1）BAGBGbFG和CG，裁掉FAG和CGB并分別拼接到FEH和CHDFGCH。E思考E在操作后發現：該剪拼方法就是先將FAG繞點F逆時針旋 90°到FEHEHADCH，由DHBG，故CHDCGB，從而又可將CGBC90°到CHD邊形FGCH（如圖（1），過點F作FMAE于點M（圖略），利 SAS公理可判斷

CHD

HCGCFG

(2b

FHC90DFGCH是正方形 DFD B(2b

C

(a2b

C

(ba)實踐探正方形FGCH的面積 ；（用含a,b的式子表示 通過探究后發現：當ba時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大而不斷上移。當ba時，如圖（5）的圖形能否剪能一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理【觀察與思考】在所給的圖形中（1），（2），（3），（4），（5），均有正方ABCDa，等腰直角FAE的斜邊邊區長為2bA面積分別是a2和b2。由它們剪拼成的新正方形的面積應為a2b2aa2

，以此特征去設計剪拼即可。（ba 解：實踐探究（1）a2b2（2）剪拼方法如圖（2`）~圖（4`）圖（2`）~圖（3`）BG就有CG2CB2BG2a2b2

b聯想拓展 能：剪拼方法如圖（5`）（圖中BGDHb）DD GG

DDAD DHDHG C 都是面積為b2的等腰直角三角形和面積為a2的正方形剪拼成一個大正方形，大正方形邊長例5 藍天希望學校正準備建一個多教室，計劃做長120cm，寬30cm的長條形桌面，現只有長80cm，寬45cm的木板，請你為該校設計不同的拼接方案，使拼起來的桌面符合要求。（只要求畫出裁剪，拼接圖形，【觀察與思桌面面積為120303600cm280453600cm2考慮截下兩塊1540 練習1、（1）已知：如圖（1），在ABCABACA36BD平分ABCAC于點D。ABD與DBC都是等腰三角形。A DCB在證明了該命題后，發現：下列兩個等腰三角形如圖（2）、（3）也具有這種特性。請你在圖（2），接著又發現：直角三角形和一些非等腰三角形也具有這樣的特性，如：直角三角形斜邊上的中線可把， mnnm 34A 4ABCD 5、如圖446、在ABCEF一刀剪切后，用得到的AEFEBCFEBCP，剪（1）在ABC（2）在ABC（3）在ABC在ABCABAC中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要確定剪切線，其操作過程（EFP（法）是 EFP（ 明△CBE等腰三角形；再將圖①中