2.3平向的量典精例全國高考卷Ⅰ，文1)已向量a滿足且a·，a與b的夾角為()A.

B.C.D.6432思解:查向量數量積的坐標運算和向量的有關概念以及向量垂直的條.∵cos〈a，〉

=，〉∈［，πa∴〈a〉

3

.答:綠通:向量與b的夾步驟：(1)計算·，|a|，|b|；(2)計算cos〈a，b(3)根據范圍確定夾角的大小.變訓1(2006廣廣州二若|2⊥a量b的角為)A.30°B.45°C.90°D.135°思解:a與b的角為θ，∵(a=0∴|-b·a·a=1.∴cos=答:

2=.又∵≤θ≤180°，θa||b|變訓2知a=(1，

)，

+1，

-1)，則a與b的角是多?思分:用向量數量積的坐標運算來求夾角的余弦.解設a與的夾角為θ，∵，

)，

+1，

-1)，∴ab=

3

+1+

3

(

3

-1)=4，|a|=2，|b|=2

.∴cos=

2=.又∵≤θ≤π，∴θ=，a與夾角是a||b|變訓3知與b都非零向量，且與7a-5b垂，a-4b與7a-2b直，求a與的夾角.思分:a與b的角余弦值，只要求出·b與a|、|b|可解∵(a+3b⊥(7，∴(a+3b)·(7a-5b)=0.∴7a+16a·=0.①

又∵(a-4b)⊥(7a-2b)，∴(a-4b)·(7a-2b)=0.∴7a-30a·b+8b=0.②①②46a·b=23b，有ab=

11=|b|22代入①式，得7|a|+8|b|-15|b|=0，故有=|b|，|a|=|b|.∴cos〈a，〉

a

1==.b|2又∵0°≤〈a〉≤180°，a〉=60°，即a與b的角為60°.變訓4已△ABC，，-20，試∠C.有位同學求解如下：解如圖2-3-5，

BC

|=a=5，

CA

|=b=8，圖2-3-5∴cos

|BC

=

201=-.52又∵0°≤∠C，∴∠C=120°.這位同學的解答正確嗎？如果你是他的數學老師，你會給他寫什么批語？思解:述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，由于

BC

與

CA

兩向量的起點并不同，故∠C≠〈

BC

，

CA

而是∠C+〈

BC

，

CA

〉=180°，則cos〈

BC

，

CA

〉

|BC

=

20=-.52又∵0°≤〈BC，〉≤180°BC，CA〉=120°.∴∠C=60°.答:位同學的解答不正確批是如果你再理解向量夾角的定義么你就成功了，請你再試試吧.例知向量、不共，且|2a+b|=|a+2b|求證：(a+b⊥(思分:查向量垂直的條件以及向量的數量.證明(a+b)與垂為明a+b)與的數量積為零，也可以利用向量線性運算的幾何義來證.證法一：∵|2a+b|=|a+2b|，∴(2a+b)=(a+2b).∴4a+4ab+b=a+4ab+4b.∴a=b

∴()·(a-b)=a-b=0.又與不共線a+b≠0，a-b≠0∴()⊥(證法二：如圖2-3-6所，在平行四邊形OCED中，OAOC、、、的中.

=a，OB

=b,A、B、、分別是則有2a+b=

OCOBOCCM

圖2-3-6，

，a+b=

12

OE

,a-b=

，∵|2a+b|=|a+2b|，OM|=||.∴△OMN是腰三角形.可證F是MN的點∴OE⊥BA.

⊥

NM

.∴

12

OEBA.∴(a+b⊥(a-b).綠通:明向量垂直的兩種方法應化歸思想化證這兩個向量的數量積為0.(2)應向量加減法的幾何意來證.變訓已向量、b均非零向量，且|，證：(a-b⊥(a+b).思分:化為證明向量(a-b)和的數量積為0；或應用向量加減法的幾何意來證明證法一：如圖2-3-7所，在平四邊形OACB中圖2-3-7設OA=b則

，

.∴|

|=|

|.∴四邊形OACB是形∴OC⊥BA.

⊥

，

即)⊥(證法二：，a-ba+b)=a-b=|a|-|b|=0.∵a均為零向量，∴a-b≠，a+b≠0.∴()⊥(例(2004湖高考，理如2-3-8，eq\o\ac(△,Rt)ABC中，知BC=a，長為2a的線段PQ以點為點，問

PQ

與

BC

的夾角θ取值時，

·

CQ

的值最大？并求出這個最大值圖2-3-8思分:小題主要考查向量的概念，平面向量的運算法則，考查運用向量及函數知識的能力.可以用基向量法和坐標系解.解一(基向量法)∵，AB·=0.∵AP，BPAPAB，AQ∴·=(AQAC)

，=

·

AQ

-

·

AC

-

·

AQ

+

·

AC=-a-

·

AC

·

=-a-

·(

AC

)=-a+

12

PQ·=-a+

12

PQ

·

=-a+acosθ.故當cos=1,即θ=0(PQ與方相時，·最大，其最大值為0.解二(坐標法)如圖2-3-9所示，以A為原點，ＡＢ所在直線為x軸立平面直角坐標系.

圖2-3-9設AB|=c，|AC|=b，則A(0，0)B(c0)，C(0b)且PQ|=2a,|BC|=a.設點P(x,y),則Q(-x,-y).∴

=(x-c,y),

CQ

=(-x,-y-b),BC

=(-c,b),

PQ

=(-2x,-2y),∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x+y)+cx-by.PA|=x+y,∴x+y=a.∵cos=

BCPQ||BC

=

cxa2

，∴cxcos.∴·CP

=-a+acosθ.故當cos=1,即θ=0(

PQ

與

BC

方向相同時，

BC

·

CQ

最大，其最大值為0.綠通:決向量問題的兩種方法基量法擇共線(最垂)的兩個向量為平面向量基底，其他向量均用基底表示，將問題轉化為向量的分解及其有關運算或其他問題；(2)坐標法：選擇互相垂直的兩個向量的基線為坐標軸，建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算解決向量的有關問題.變訓方形OABC的長為1，點E分別為AB、的中點，試求cos〈OD，OE〉的值.思分：優解法為坐標.解一(坐標法)如圖2-3-10所.圖2-3-10

以和OC分為x軸、y軸立平面直角坐標系，則有A(1，，C(0，，B(1，，∴OD

=(1，

11)，=(，，22故cos∠DOE=

OD|ODOE|

=

111225522

4=.5解二(基向量法)以OA

和OC

為基向量建立平面向量基.設

=a,

=b，則有|a|=|b|=1a,b〉=

2

，a∴

1ODOAOA+AB=OA+=a+b，2OEOC

+

1CB=OC+OAa+b.2∴|

OD

|=

(

)=b=2

，|OE=

()

2

=

2

2

=

52

，OD

·

OE

11=(a+b)(a+b)=aa·b22

=1.∴cos∠DOE=

ODOE|ODOE|

=

45

.問探問在角坐標系中位向量

旋轉90°向量

OB

的位置個量有何關系？這兩個向量的坐標之間有什么特殊聯系？這種聯系有什么作用？導:究方法：畫圖，結合圖形觀察，通過歸納、猜想、證明得到它們之間的關探:圖2-3-11所，在單位圓中，設OA=(a，)，，，圖2-3-11∵

⊥

，且|

|=|

|=1，

xy0,1∴有21x22-a整理得或yy-a即當

按逆時針方向旋轉90°時，

=(-a，a)，當OA

按順時針方向旋轉時，

=(a，-a).也就是把原向量的橫縱坐標交換，并在其中一個前添加負.這一結論可以證明三角函數的誘導公.例如：求證cos(α+90°)=-sinαsin(α+90°)=cosα.