2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編（1）

一.解答題（共30小題）

3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

5?

(2)若點P在拋物線上，且S^AOP=4SBOC,芽

(3)如圖b,設(shè)點Q是線段AC上的一動點，

的最大值.

5.(2015?)如圖，OE的圓心E(3,0),半徑為5,OE與y軸相交于A、B兩點(點A在點B

6.(2015?荊門)如圖，在矩形0ABe中，0A=5,AB=4,點D為邊AB上一點,將3CD沿直

線CD折疊，使點B恰好落在邊0A上的點E處，分別以O(shè)C,0A所在的直線為G軸，y軸建立

平面直角坐標系.

(1)求0E的長及經(jīng)過O,D,C三點拋物線的解析式;

(2)一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點

出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當點P到達點

X

設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，DP=DQ;

(3)若點N在(1)中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否:

M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點空

7.(2015?盤錦)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=aG2+bG+3交G軸于A(-1,0)和

B(5,0)兩點，交y軸于點C,點D是線段0B上一動點，連接CD,將線段CD繞點D順時針

旋轉(zhuǎn)90。得到線段DE,過點E作直線l±G軸于H,過點C作CF_Ll于F.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,當點F恰好在拋物線上時，求線段0D的長；

8.(2015?益陽)已知拋物線Ei：y=G2經(jīng)過點A(l,m),以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B

(2,2),點A、B關(guān)于y軸的對稱點分別為點A',B'.

(1)求m的值及拋物線E2所表=,一%夕節(jié)的主*笠-

*A]

9.(2015?徐州)如圖,在平面直角坐標系中，點A(10,0),以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半

圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C,使BC=AB，過C作CD_LG軸于點D,交線段OB

于點E,已知CD=8,拋物線經(jīng)過0、E、A三點.

(1)zOBA=。.

(2)求拋物線的函數(shù)表達式.

(3)若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，以P、

則S取何值時，相應(yīng)的點P有且只有3個？

10.(2015?烏魯木齊)拋物線y=lG2-JG+2與G軸交于A,B兩點(OA<OB),與y軸交于

42

點C.

(1)求點人，B,C的坐標;

(2)點P從點0出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點。出發(fā)，以每

秒1個單位長度的速度向點C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒(0<t<2).

①過點E作G軸的平行線，與BC相交于點D(如圖所示)，當t為何值時，J_+工勺值最小，求

Yc口jrn

出這個最小值并寫出此時點E,P的坐標；

，使4EFP為直角;卜\//

②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F

寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

06—〉BX

11.(2015?佛山)如圖，一小球從斜坡。點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=-G2+4G

刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=-1G刻畫.

(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；

(2)小球的落點是A,求點A的坐標；V巾

(3)連接拋物線的最高點P與點0、A得WOA,求WOA的面積；I/個

△MOA的面積，〃\

(4)在0A上方的拋物線上存在一點M(M與P不重合),

行挎寫出點M的坐標.

"2-3>X

12.(2015?天水)在平面直角坐標系中，已知y=-夢+bG+c(b、C為常數(shù))的頂點為P,等

腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0,-1),點C的坐標為(4,3),直角頂點B在第四象

限.

(1)如圖，若拋物線經(jīng)過A、B兩點，求拋物線的解析式.

(2)平移(1)中的拋物線，使頂點P在直：1CU.

移后的拋物線與直線AC交于G軸上的同一,「/

(3)在(2)的情況下，若沿AC方向任意4o-R

的中點N,試探究NP+BQ是否存在最小值才弋

備用圖

近(G2-2G-3)(G<3)

13.(2015?常德)如圖，曲線yi拋物線的一部分，且表達式為：yi=

3

曲線y2與曲線yi關(guān)于直線G=3對稱.

(1)求A、B、C三點的坐標和曲線y2的表達式；

(2)過點D作CDIIG軸交曲線yi于點D,連接AD,在曲線y2上有一點M，使得四邊形ACDM

為箏形(如果一個四邊形的一條對角線被另一條對角線垂直平分，這產(chǎn)“F

點M的橫坐標;

(3)設(shè)直線CM與G軸交于點N,試問在線段MN下方的曲線y2J

的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

D-

x=3

14.(2015?自貢)如圖，已知拋物線y=aG2+bG+c(a/0)的對稱軸為直線G=-1,且拋物線

經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點，與G軸交于點B.

(1)若直線y=mG+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸G=-l上找一點M，使點M到點A的距離與到

求出點M的坐標;

(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸G=-1上的一個動點，求使ABPC為直角4

15.(2015?涼山州)如圖，已知拋物線y=G2-(m+3)G+9的產(chǎn)占廠左仁出工業(yè)鼻%?旬灣9

函數(shù)y=G+3與拋物線交于A、B兩點，與G、y軸交于D、E兩點

(1)求m的值.

(2)求人、B兩點的坐標.

(3)點P(a,b)(-3<a<1)是拋物線上一點，當SAB的面積

b的值.

16.(2015?銅仁市)如圖，關(guān)于G的二次函數(shù)y=G2+bG+c的圖象與G軸交于點A(1,0)和

點B與y軸交于點C(0,3),拋物線的對稱軸與G軸交于點D.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)在y軸上是否存在一點P,使WBC為等腰三角形？若存在.請求出點P的坐標);

(3)有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動

與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點MK\liv

N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，AMNB面積最大，試求出最大I

17.(2015?資陽)已知直線y=AG+b(A/0)過點F(0,1),與拋物線y=1G2相交于B、C兩

點.

(1)如圖1,當點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式；

(2)在(1)的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D,

是否存在這樣的點M，使得以M、D、

的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,設(shè)B(m.n)(m<0),

連接FR、FS.試判斷WFS的形狀，為

18.(2015?蘇州)如圖,已知二次函數(shù)y=G2+(l-m)G-m(其中0<m<l)的圖象與G軸

交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,對稱軸為直線I.設(shè)P為對稱軸I上的點,

連接PA、PC,PA=PC

(1)NABC的度數(shù)為；

19.(2015?臨沂)在平面直角坐標系中，O為原點，直線y=-2G-1與y軸交于點A,與直線

y=-G交于點B,點B關(guān)于原點的對稱點為點C.

(1)求過A,B,C三點的拋物線的解析式；

(2)P為拋物線上一點，它關(guān)于原點的對稱點為Q.

20.(2015?巴中)如圖，在平面直角坐標系GOy中，二次函數(shù)y=aG2+bG-4(a/0)的圖象與

G軸交于A(-2,01C(8,0)兩點，與y軸交于點B,其對稱軸與G軸交于點D.

21.(2015?黔東南州)如圖，已知二次函數(shù)yi=-G2+啜+c的圖象與G軸的一個交點為A(4,

交于點C,直線y=G+4經(jīng)過A,C兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在AC上方的拋物線上有一動點P.

①如圖1,當點P運動到某位置時，以AP,A0為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線

上，求出此時點P的坐標；

②如圖2,過點0,P的直線y=AG交AC于點E,若PE:0E=3:8,求A的值.

23.(2015?眉山)如圖，已知拋物線y=aG2+bG+c的頂點D的坐標為(1,-微)，且與G軸交

于A、B兩點，與y軸交于C點，A點的坐標為(4,0).P點是拋物線上的一個動點，且橫坐標

為m.

(I)求拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式；

(2)若動點P滿足NPAO不大于45。，求P點的橫坐標m的取值范圍；

(3)當P點的橫坐標m<0時，過P點作y軸的垂線PQ,垂足為Q.問：J

zQPO=zBCO?若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

24.(2015?桂林)如圖，已知拋物線y=-尹+bG+c與坐標軸分別交于點A(0,8\B(8,0)

和點E,動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方

向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發(fā)，當動點D到達原點。時，點C、D停止運動.

三點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在y軸上是否存在點M，使^ACM為等腰三角形？若存在，請直田百山巡二:拄『曲出24

M的坐標；若不存在，請說明理由；4cx

(3)若點P(t,0)為線段AB上一動點(不與A,B重合)，過P作：、

側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S,試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式./°\時

26.（2015?重慶）如圖，拋物線y=-G2+2G+3與G軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊）,

與V軸交于點C,點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點E.

27.（2015.蘭州）已知二次函數(shù)y=aG2的圖象經(jīng)過點（2,1）.

（1）求二次函數(shù)y=aG2的解析式；v

（2）一次函數(shù)y=mG+4的圖象與二次函數(shù)y=aG2白\\1/\/

①當m卷寸（圖①），求證：MOB為直角三角形；、成\/

②試判斷當mH望寸（圖②），MOB的形狀，并證明\y/

（3）根據(jù)第（2）問，說出一條你能得到的結(jié)論.（----yjo~~2

圖①圖②

28.（2015?丹東）如圖，已知二次函數(shù)y=aG2+.|G+c的圖象與y軸交于點A（0,4）,與G軸

交于點B、C,點C坐標為（8,0）,連接AB、AC.

（1）請直接寫出二次函數(shù)y=aG2+_|G+c的表達式；

（2）判斷3BC的開列犬,并說日用里中：

爸用圖

29.(2015?濰坊)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mG2-8mG+4m+2(m>0)與y軸

的交點為A,與G軸的交點分別為B(Gi,0),C(G2,0),且G2-Gi=4,直線ADllG軸，在

G軸上有一動點E(t,0)過點E作平行于v軸的直線I與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當0<t?8時，求MPC面積的最大值；\

(3)當t>2時，是否存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與AAOB相二

時t的值；若不存在，請說明理由.~o

30.(2015?珠海)如圖，折疊矩形OABC的一邊BC,使點C落在OA邊的點D處，已知折痕

BE=5代,且@=W,以O(shè)為原點，0A所在的直線為G軸建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物

0E3

線I：y=--1G2+1G+C經(jīng)過點E,且與AB邊相交于點F.

162

(1)求證:AABD-AQDE;

(2)若M是BE的中點，連接MF,求證：MF±BD;

(3)P是線段BC上一點，點Q在拋物線I上，且始終滿足PD±

使得PD=DQ?若能，求出所有符合條件的Q點坐標；若不能，il

2015年中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編(1)

參考答案與試題解析

一.解答題(共30小題)

1.(2016?貴陽模擬)在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,

0)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m,AAMB的面積為S.

求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-G上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、

Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標.

【考點】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【專題】壓軸題.

【分析】(1)先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點法求解函數(shù)解析式.

(2)設(shè)出M點的坐標，利用S=SAAOM+SOBM-S-AOB即可進行解答；

(3)當OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等鈿出方程求解

7

即可；當OB是對角線時，由圖可知點A與P應(yīng)該重合.

【解答】解：(1)設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：

y=aG2+bG+c(awO),

眸4),C(2,0)三點代入函數(shù)解析式得

16a-4b+c=0aq

解得I,

(c=-4D-l

Mg?懶解析式表甥x?+x-4；

(2)'.M點的橫坐標為m,且點M在這條拋物線上，

2

?1.M點的坐標為:(m,lro+m-4),

.,.S=SAAOM+SAOBM-SAAOB

=1X4X(-in2-m+4)+Ax4x(-m)-1x4x40

2222

=-m2-2m+8-2m-8

=-m2-4m,

=-(m+2)2+4,

-4<m<0,

當m=-2時，S有最大值為：S=-4+8=4.

答：m=-2時S有最大值S=4.

(33&P(G,2G2+G-4).

2

當OB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQIIOB,且PQ=OB,

--Q的橫坐標等于P的橫坐標，

又???直線的解析式為y=-G,

則Q(G,-G).

由PQ=OB，得|-G-(1G2+G-4)|=4,

解得G=0,-4,-2±2V5.

G=0不合題意，舍去.

如圖，當B0為對角線時知A與P應(yīng)該重合,0P=4.四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4,

Q橫坐標為4,代入y=-G得出Q為(4,-4).

由此可得Q(-4,4)或(-2+2代，2-2代)或(-2-2代，2+2收)或(4,-4).

【點評】本題考查了三點式求拋物線的方法，以及拋物線的性質(zhì)和最值的求解方法.

2.(2015?棗莊)如圖,直線y=G+2與拋物線y=aG2+bG+6(a#0)相交于A(』，至)和B(4,

m),點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC_LG軸于點D,交拋物線于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請

說明理由；

(3)求WAC為直角三角形時點P的坐標.

【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】幾何綜合題；壓軸題.

【分析】(1)已知B(4,m)在直線y=G+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐

標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.

(2)要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差.可設(shè)出P點橫坐標，根據(jù)直線AB

和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關(guān)于PC與P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函

數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值.(3)當APAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點譏不同，有三

形，需要分類討論，分別求解.

【解答】解：(1)；B(4,m)在直線y=G+2上,

.-.m=4+2=6,/.B(4,6),-.A(1,i1B(4,6)在拋物線y=aG2+bG+6

2a4b+622_/

a=2>

，解得x

b=-8

6=16a+4b+6

.,拋物線的解析式為y=2G2-8G+6.

(2)設(shè)動點P的坐標為(n,n+2),貝(JC點的坐標為(n,2n2-8n+6),

.-.PC=(n+2)-(2n2-8n+6),=-2n2+9n-4,

=-2(n-2)2+坐，

48

■.PC>0，，當n=身寸，線段PC最大且為坐.

48

(3)?「△PAC為直角三角形，i)若點P為直角頂點，則NAPC=90°.

由題意易知，PClly軸，zAPC=45。，因此這種情形不存在;

ii)若點A為直角頂點，則NPAC=90°.

如答圖3-1,過點A(工，至)作AN_LG軸于點N,則0N=1，AN=^.

2222

過點A作AM_L直線AB,交G軸于點M,則由題意易知，MMN為等腰直角三角形,

,-.MN=AN=i,.-.0M=0N+MN=l+i=3,:.M(3,0)代

222

設(shè)直線AM的解析式為：y=AG+b,

則：2k+b=2,解得k=-1

b=3

3k+b=0

，直嫁AM的解析式為:y=-G+3①

又拋物線的解析式為：y=2G2-8G+6②

聯(lián)立①②式，解得：G=3或G可與點A重合，舍去)

“(3,0),即點C、M點重合.當G=3時，y=G+2=5,

.,.Pi(3,5);

iii)若點C為直角頂點,則NACP=90°.

?.y=2G2-8G+6=2(G-2)2-2,??拋物線的對稱軸為直線G=2.

如答圖3-2,作點A(工，至)關(guān)于對稱軸G=2的對稱點C,

22

貝U點C在拋物線上，且C(工，白).當G=Ifl寸，y=G+2=ll.

2222

.-P2(I，11).???點Pi(3,51P2(工，11)均在線段AB上，

2222

???綜上所述，WAC為直角三角形時，點P的坐標為(3,5)或(工，11).

22

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函

數(shù)圖象交點坐標的求法等知識.

3.(2015?酒泉)如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(l,0),C(5,0),其

對稱軸與G軸相交于點M.(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使APAB的周長最?。咳舸嬖?，請求出點P的坐標；

若不存在，請說明理由；

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使ANAC的面積最大？若存在,

請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題.

【分析】(1)拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(l,0),C(5,0),可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析

式為y=a(G-1)(G-5),代入A(0,4)即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；

(2)點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'的坐標為(6,4)，連接BA'交對稱軸于點P,連接AP,此時SAB

的周長最小，可求出直線BA，的解析式，即可得出點P的坐標.

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使ANAC面積最大.設(shè)N點的橫坐標為t,此時點

N(t,女2一組+4)(0<t<5),再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與^ACN的面積,

55

理由如下：???點A(0,4),拋物線的對稱軸是G=3,

???點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'的坐標為(6,4)

如圖1,連接BA'交對稱軸于點P,連接AP,此時MAB的周長最小.

設(shè)直線BA'的解析式為y=AG+b,

把AV%，)，B(1，0)代入得(*6k+b,

~lO=k+b

解得5,/.y=JG-4,

b155

??點P的橫星標為3,.-.y=4X3.4=8,

555

5

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使ANAC面積最大.

設(shè)N點的橫坐標為t,此時點N(t,殳2-罵+4)(o<t<5),

55

如圖2,過點N作NGlly軸交AC于G;作AD_LNG于D,

由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為：y=-￡+4,

5.

把G=t代入得：y=-當+4,貝(JG(t,-3+4),圖2

55

此時：NG=-Jt+4-(it2-駕+4)=-Jt2+4t,?.AD+CF=C0=5,

5555

2

.1.SAACN=SAANG+S，CGN=1ADXNG+1NGXCF=1NG?0C=1X(-Jt2+4t)x5=-2t+10t=-2(t

22225

-至)2+/，

22

??.當t=國寸，4AN面積的最大值為世，

22

由t=i，得:y=3.2^+4=-3,..N(i,-3).

2552

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)

合思想的靈活應(yīng)用.

4.(2015?阜新)如圖，拋物線y=-G2+bG+c交G軸于點A(-3,0)和點B,交y軸于點C

(0,3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點P在拋物線上，且SAAOP=4SBOC,求點P的坐標；

(3)如圖b,設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ_LG軸，交拋物線于點D,求線段DQ長度

的最大值.

【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題.

【分析】(1)把點A、C的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得

系數(shù)的值；

(2)設(shè)P點坐標為(G,-G2-2G+3),根據(jù)S-AOP=4S-BOC列出關(guān)于G的方程，解方程求出G

的值，進而得到點P的坐標；(3)先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=G+3，再設(shè)Q點

坐標為(G,G+3),則D點坐標為(G,G2+2G-3),然后用含G的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值.

【解答】解：(1)把A(-3,0),50,3)代入丫=-62坪3+。得：、

｛蓑…叫丁Ho

故該拋物線的解析式為：y=-G2-2G+3./\/IZ\

(2)由(1)知，該拋物線的解析式4--------d-y—>JV一

為丫=-62-26+3,則易得8(1,0).圖a圖b

,.■SAAOP=4SABOC,

.-lx3x|-G2-2G+3|=4xlxlx3.

整理，得(G+l)2=0或G2+2G-7=0,

解得G=-3.或G=-l±2&.

則符合條件的點P的坐標為：(-1,4)或(-1+2&,-4)或(-1-2&,-4);

(3)設(shè)直線AC的解析式為y=AG+t，將A(-3,0),C(0,3)代入，

得，-3k+t=0,解得任=1.即直線AC的解析式為y=G+3.

[t=3It=3

設(shè)Q點坐標為(G,G+3),(-3SGS0),則D點坐標為(G,-G2-2G+3),

QD=(-G2-2G+3)-(G+3)=-G2-3G=-(G+*2+§,

24

???當G=-身寸，QD有最大值國.

24

【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、

線段長度問題.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想.

5.(2015?濟寧)如圖，OE的圓心E(3,0),半徑為5,OE與y軸相交于A、B兩點(點A在

點B的上方)，與G軸的正半軸交于點C,直線I的解析式為y=饗+4,與G軸相交于點D,以

4

點C為頂點的拋物線過點B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線I與。E的位置關(guān)系,并說明理由；

(3)動點P在拋物線上，當點P到直線I的距離最小時.求出點P的坐標及最小距離.

【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題.

【分析】(1)連接AE,由已知得：AE=CE=5,0E=3,利用勾股定理求出0A的長，結(jié)合垂徑定

理求出0C的長，從而得到C點坐標，進而得到拋物線的解析式；

(2)求出點D的坐標為(-/，0),^AAOE-ADOA,求出NDAE=90°,判斷出直線I與。E

3

相切與A.

(3泣點P作直線I的垂線段PQ,垂足為Q過點P作直線PM垂直于G軸，交直線I于點M.設(shè)

M(m3m+4),P(m,--Lm2+m-4)彳導(dǎo)到PM=Wm+4-(-J^m2+m-4)=J^m2-Am+8=A

41641616416

(m-2)2+思，根據(jù)WQM的三個內(nèi)角固定不變，得到PC，最小二PM最小?sinNQMP=PM最小

4

.sinzAEO=Ilx4=31,從而得到最小距離.

455

【解答】解：(1)如圖1,連接AE,由已知得：AE=CE=5D

在RfAOE中，由勾股定理得，0A=｛杷2_QE2=^52_32

-,OC±AB，二由垂徑定理得，0B=0A=4,

OC=OE+CE=3+5=8,

.?.A(0,4),B(0,-4),C(8,0),

圖i

,?拋物線的定點為C?設(shè)拋物線的解析式為y=a(G-8)21

將點B的坐標代入上解析的式，得64a=-4,故a=-工，

16

??.y=-」(G-8)2,

16

.?.y=-工G2+G-4為所求拋物線的解析式，

16解得]

(2)在直線1的解析式丫=饗+4中，令y=0,得%+4=0

44

.?點D的坐標為(-西，0),當G=0時，y=4,

3

.,點A在直線I上，在RfAOE和Rt^DOA中，

--0E=30A=3.0E=0A

'OA41OD'OA0Dz

■.zAOE=zDOA=90°,

.-.AAOE-^DOA,.?.zAEO=zDAO,

?.zAEO+zEAO=90°,

.-.zDAO+zEAO=90°,即NDAE=90。，因此，直線I與。E相切與A.

(3)如圖2,過點P作直線I的垂線段PQ,垂足為Q,過點P作直線PM垂直于G軸，交直線

I于點M.

設(shè)M(mHm+4)Rm，--Lm2+m-4)則PM=2m+4-(-Axn2+m-4-2m+8=。

41641616416

(m-2)2+31,

4

當m=2時，PM取得最小值思，此時，P(2,-i),

44

對于WQM,???PM^G軸,.-.zQMP=zDAO=zAEO,

又NPQM=90°,.?.△PQM的三個內(nèi)角固定不變，

「?在動點P運動的過程中，SQM的三邊的比例關(guān)系不變，

???當PM取得最小值時，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小?sir)NQMP=PM最小?sinNAEO=lx全昱,

455

.??當拋物線上的動點P的坐標為(2,-金)時，點P到直線I的距離最小，其最小距離為昱.

45

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及勾股定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、切線的判定

和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識，在解答(3)時要注意點P、點M坐標的設(shè)法，以便利用二次函

數(shù)的最值求解.

6.(2015?荊門)如圖,在矩形OABC中，OA=5,AB=4，點D為邊AB上一點,將-BCD沿直

線CD折疊，使點B恰好落在邊OA上的點E處，分別以O(shè)C,OA所在的直線為G軸，y軸建立

平面直角坐標系.

(1)求OE的長及經(jīng)過O,D,C三點拋物線的解析式；

(2)一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從E點

出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當點P到達點B時，兩點同時停止運動，

設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，DP=DQ;

(3)若點N在(1)中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N,使

M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題.

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可求得CE、CO,在RfCOE中，由勾股定理可求得0E,設(shè)AD=m,

在RfADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D點坐標，結(jié)合C、0兩點，利用待定系數(shù)法

可求得拋物線解析式；

(2)用t表示出CP、BP的長，可證明3BP*DEQ,可得至IJBP=EQ,可求得t的值；

(3)可設(shè)出N點坐標，分三種情況①EN為對角線，②EM為對角線，③EC為對角線，根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)可求得對角線的交點橫坐標，從而可求得M點的橫坐標，再代入拋物線解析式可求

得M點的坐標.

【解答】解：(1).?.CE=CB=5,CO=AB=4,

.,.在Rt^COE中,0E=-cg2=_42=3,

設(shè)AD=m,則DE=BD=4-m,-.0E=3,，AE=5-3=2,

在RfADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4-m)2,解得m=A,

2

.-.D(-1,-5),VC(-4,0),0(0,0),

???設(shè)過。、D、C三點的拋物線為丫=26(G+4),

「?-5=-鳥(-至+4),解得a必，

223

???拋物線解析式為y=^G(G+4)=42+四；

333

(2)vCP=2t,.\BP=5-2t,在RbDBP和RNDEQ中,

[DP=DQ,「.RfDBP合RtADEQ(HL),，BP=EQ,.-.5-2t=t,

lBD=ED

?,4-?—L—5—?f

3

(3)?.拋物線的對稱為直線G=-2，，設(shè)N(-2,n),

又由題意可知C(-4,0),E(0,-3),設(shè)M(m,y),

①當EN為對角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時，

則線段EN的中點橫坐標為0+（-2）=-1,線段CM中點橫坐標為"（一外,

22

'.EN,CM互相平分，（-G=-1,解得m=2,又M點在拋物線上，

2

.??y=Wx22+〃x2=16,..M（2,16）;

33

②當EM為對角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時，

則線段EM的中點橫坐標為皿，線段CN中點橫坐標為,（.2）+（-4）=.3,

22

???EN,CM互相平分，,8=-3,解得m=-6,又點在拋物線上，.。=當（-6）2+/x（-

233

6）=16,

.-.M（-6,16）;

③當CE為對角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時，

則M為拋物線的頂點，即M（-2,-甘）.

3

綜上可知，存在滿足條件的點M,其坐標為（2,16）或（?6,16）或（-2,-1§）.

3

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的

性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識點.在（1）中求得D點坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得全等,

得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意分類討論思想的應(yīng)用.本題考查知識點較多，綜

合性較強，難度適中.

7.（2015?盤錦）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=aG2+bG+3交G軸于A（-1,0）和

B（5,0）兩點，交y軸于點C,點D是線段OB上一動點,連接CD,將線段CD繞點D順時針

旋轉(zhuǎn)90。得到線段DE,過點E作直線l±G軸于H,過點C作CF_Ll于F.

（1）求拋物線解析式；（2）如圖2,當點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長;

（3）在（2）的條件下：①連接DF,求tanzFDE的值；

②試探究在直線I上，是否存在點G，使NEDG=45。？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存

在，請說明理由.【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題.

【分析X1利用待定系數(shù)法求得即可12根據(jù)C的縱坐標求得F的坐標然后通過AOCD*HDE,

得出DH=OC=3,即可求得OD的長；（3）①先確定C、D、E、F四點共圓，根據(jù)圓周角定理求

得NECF=NEDF,由于tariNECF=歿=2=L即可求得tanzFDE=L②連接CE,得出ACDE是等

CF422

C

腰直角三角形，得出NCED=45。，過D點作DGillCE,交直線I于Gi,過D點作DG2±CE,交

直線I于G2,貝(UEDGi=45。，NEDG2=45。，求得直線CE的解析式為y=-1G+3,即可設(shè)出直

線DGi的解析式為y=-lG+m,直線DG2的解析式為y=2G+n,把D的坐標代入即可求得m、

n,從而求得解析式，進而求得G的坐標.

【解答】解：(1)如留?.拋物線y=aG2+bG+3交G軸于A(-1,0)和B(5,0)兩點,

a=———

Ja-b+3=0，解得：??拋物線解析式為y=_M+絲G+3；

125a+5b+3=0b1255

4殍荏拋物線上,C(0,3),/.F的縱坐標為3,

(2)如圖2,?.點F

把y=3代入y=-&2+烏+3得，3=-饗2+烏+3；

5555

解得G=0或G=4,,-.F(4,3),.-.0H=4,

?.zCDE=90°,.-.zODC+zEDH=90°,/.zOCD=zEDH,

在AOCD和AHDE中,

，Z0CD=ZEDH

<ZC0D=ZDHE=90°,...△OCD^AHDE(AAS),.-.DH=OC=3,

!洗?殳-3=1;

(3)①如圖3,連接CE,??-AOCD^HDE,

.-.HE=OD=1,-.BF=OC=3,.-.EF=3-1=2,

?.zCDE=zCFE=90°,/.C,D、E、F四點共圓,

.-.zECF=zEDF,在RT△CEF中,-.CF=OH=4,

.,.tanzECF=^=2=1,.-.tanzFDE=l;

CF422

②如圖4,連接CE,?.CD=DE,zCDE=90°,

，NCED=45。，過D點作DGillCE,交直線I于Gi,過D點作DG2±CE,

交直線I于G2,則NEDGI=45°,ZEDG2=45°

?.EH=1,0H=4,.'.E(4,1),-.C(0,3),

???直線CE的解析式為y=-_1G+3,設(shè)直線DGi的解析式為y=-_1G+m,4

?.D(l,0),.-.0=-Ixl+m,解得m=3,二直線DGi的解析式為y=-lG+l,/沖

…,22JS

設(shè)直線DG2的解析式為y=2G+n-D(l,0),，0=2xl+n,解得n=-2,/I個5

04

???直線DG2的解析式為y=2G-2,

當G=4時，y=2x4-2=6,

??.G2(4,6);

綜上，在直線I上，是否存在點G,使NEDG=45。，點G的坐標為(4,-心)或(4,6).

2

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式,

三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

8.(2015溢陽)已知拋物線Ei：y=G2經(jīng)過點A(l,m),以