第四章剛體的定軸轉動實際物體都是有形狀、大小的。當需要研究物體的自身運動時，物體不能被看作質點。但很多情況下，可忽略物體在運動過程中的形變。剛體：物體內任意兩點間的距離在運動中保持不變。研究方法：視剛體為無窮多質點組成的質點系。每一質點的運動服從牛頓定律。而整個剛體的運動規律是所有質點運動規律的疊加。剛體的一般運動平動（可看作質點）轉動定軸轉動非定軸轉動（1）剛體的角動量、轉動慣量；（2）剛體的轉動定理及其應用；（3）剛體的角動量定理和角動量守恒定律；（4）力矩的功、轉動動能、剛體的動能定理。主要內容：§4-1剛體的運動定軸轉動：剛體上所有質點均繞一固定直線作圓周運動，該直線稱為轉軸。非定軸轉動：剛體上所有質點繞一直線作圓周運動，該軸也在空間運動.平動：剛體內任意兩點連線的方向在運動中保持不變。AA’A’’BB’B’’pvω本章主要討論剛體的定軸轉動。§4-2質心、質心運動定理在討論質點系的運動時，引入質心（或質心參照系）的概念，常可簡化計算。設質點系各質點質量m1、m2、…mi、…mn，它們的位矢r1、r2、…ri、…rn。則質心的位矢定義為：對質量連續分布的物體：或：xyzomiC為質點系總質量。其中：質心相對于質點系中各質點的位置是確定的，該位置不因坐標系的不同選擇而不同。例：質量均勻的細桿，坐標原點選在一端。CoxdxL/2xM,L例：質量均勻的細桿，坐標原點選在桿中央。CoxdxxM,L對質量分布均勻，形狀對稱的物體，質心就在其幾何中心。質心、重心是兩個不同的概念，但物體不太大時，質心和重心位置重合。當以質心為參照系時，質點系總動量為零。質心運動定理：由質點系的動量定理：可見：一個質點系質心的運動，就好象一個質點的運動。該質點的質量等于質點系的總質量，而該質點所受的力等于整個質點系所受外力之和。即：稱為質心運動定理。§4-3剛體的角動量、轉動慣量1、剛體定軸轉動的角量描述：角位移矢量：dt時間內位矢轉過的角度。方向沿轉軸角速度矢量：角位移的時間變化率。定軸轉動剛體上任一質元的線速度和角速度的關系為：p角加速度矢量：角速度的時間變化率。剛體定軸轉動時轉軸固定不動，所以各角量可用標量表示。剛體定軸轉動時，各質元角量均相同，但各質元線量均不同。角量與線量的關系：可見：研究剛體定軸轉動時用角量描述比用線量描述方便得多。2、剛體的角動量：剛體定軸轉動不能用動量進行描述，而要用角動量進行描述。定義：剛體上任一質元對轉軸的角動量：整個剛體對轉軸的角動量為：定義：剛體繞某定軸的轉動慣量：單位：kg·m2所以，剛體對某轉軸的角動量：p3、轉動慣量的計算：轉動慣量是剛體轉動時慣性大小的量度，它的大小取決于：(1)剛體質量；(2)質量的分布；(3)轉軸的位置。對質量連續分布的剛體：質量體分布時：質量面分布時：質量線分布時：應用以下兩個定理，往往可簡化轉動慣量的計算：(1)平行軸定理：(2)正交軸定理：設zc為通過剛體質心的轉軸，z為與zc平行的另一轉軸。兩轉軸相距d，則：其中：md2相當于質量全部集中于c時，對z軸的轉動慣量。剛體對通過質心轉軸的轉動慣量最小。薄板形剛體對板內兩正交軸的轉動慣量之和等于剛體對過兩軸交點并垂直于板面的轉軸的轉動慣量。Czzcdyozx例題4-1：求質量為M、長為l

的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：

（1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直；

（2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直；

（3）轉軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直。（1）棒上任取線元dx，其質量為dm。L、MxdxC該線元對轉軸的轉動慣量為：整根棒對轉軸的轉動慣量為：L、MxdxL、MhCzzc（2）當轉軸取在棒的一端時：（3）當轉軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直時：由平行軸定理：當h=L/2時，與(1)的情況相同，由上式：例題4-2：求密度均勻的圓盤對通過中心并與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。設圓盤的半徑為R，質量為M。在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環，環的面積為2rdr，環的質量為：轉動慣量：prdrM書P60,表4-1§4-4剛體的轉動定理外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。1、力矩：pfcosφdofsinφφ定義：外力相對于某固定軸的力矩為：力矩的大小：其中：稱為外力對轉軸的力臂。外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：力矩的大小：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：力矩的大小：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：其中：稱為外力對轉軸的力臂。力矩的大小：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：力矩的大小：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：力矩的大小：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：其中：稱為外力對轉軸的力臂。力矩的大小：外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內的分力。定義：外力相對于某固定軸的力矩為：力對物體的作用效應，除移動效應外，還有轉動效應。

力矩的大小也可以寫作：當有幾個外力同時作用于剛體時，合外力矩等于各外力力矩的矢量和：可見：只有垂直于位矢方向的分力fsinφ

才對剛體定軸轉動起作用。但對于作定軸轉動的剛體，合外力矩可用代數和表示：剛體所受合外力為零時，合外力矩不一定為零，反之亦然。當一個物體在靜態平衡時，合外力為零，對任何一點的合外力矩也是零。2、剛體的轉動定理：剛體中第i個質元對轉軸的角動量為：對時間求導：其中：為第i個質元所受的作用力；為fi對轉軸的力矩。對整個剛體：為所有質元所受外力矩和內力矩的矢量和：因為剛體內每一對內力的力矩均等值、反向，所以內力矩對定軸轉動剛體的運動無影響。設為剛體所受的合外力矩，則：剛體的轉動定理：剛體所受的合外力矩等于剛體對同一轉軸角動量的時間變化率。非相對論情況下，轉動慣量I為常量：所以，經典力學中剛體的轉動定理可表示為：當外力矩一定時，轉動慣量越大，則角加速度越小。說明轉動慣量I是剛體轉動慣性大小的量度。M類似于平動中的力F，I類似于平動中的質量m。轉動定理類似于平動中的牛頓第二定律。例題

4-5設

m1>m2，定滑輪可看作勻質圓盤，其質量為M而半徑為r

。繩的質量不計且與滑輪無相對滑動，滑輪軸的摩擦力不計。求：m1

、m2的加速度及繩中的張力。隔離滑輪及重物，畫受力分析圖。因繩的質量不計，所以：T1’=T1，T2’=T2。m1m2Mm2gMroβT’2T’1m1gT2T1aa解方程：若滑輪質量不計，即M=0，則：§4-5剛體的角動量定理和角動量守恒定律外力矩持續作用一段時間后，剛體的角速度才會改變。1、剛體的角動量定理：由轉動定理：式中稱為合外力矩在Δt=t2-t1內的沖量矩(N·m·s)。角動量定理：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在同一時間內角動量的增量。角動量定理對非剛體也成立，此時：2、角動量守恒定律：當物體所受合外力矩為零時，有：即：當物體所受合外力矩為零時，物體的角動量保持不變。角動量守恒的兩種情況：(1)

轉動慣量和角速度都不變；(2)

轉動慣量和角速度都改變，但兩者的乘積保持不變。例題

4-6質量為

M，半徑為R的轉臺，可繞垂直中心軸無摩擦地轉動，質量為m的人站在臺邊。開始時，人與轉臺都靜止。若人沿臺邊走動一周。求：轉臺和人相對地面各轉動了多少角度？設人對地角速度ω’

，轉臺對地角速度ω

，人對轉臺角速度ωrel

，則：ω’ω人與轉臺系統地角動量守恒：得：所以人對地轉過的角度：（設T為人沿轉臺走一周所需時間）轉臺對地轉過的角度：負號表示人與轉臺的轉動方向相反。§4-6剛體的動能定理1、力矩的功：剛體定軸轉動時，剛體內每一對質元間內力的合力矩為零，所以研究剛體定軸轉動時只需考慮外力矩的作用。poαdsdθ設剛體在外力作用下產生元位移ds，則外力對剛體所作的元功為：式中：為外力對轉軸的力矩。所以：當剛體在外力矩作用下由角位置θ0轉到θ時，外力矩作功：外力矩的功率為：可見：功率一定時，轉速越低則外力矩越大。2、剛體的轉動動能：剛體定軸轉動時，某質元mi的動能為：整個剛體的動能為：即：轉動動能是剛體轉動時動能的角量表示，而不是區別于平動動能的另一種形式的能量。3、剛體定軸轉動的動能定理：由轉動定理：得：即：合外力矩對定軸轉動剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量。4、剛體的重力勢能：hcCEp=0將剛體的全部質量集中于質心時，該質心所擁有的重力勢能，即為整個剛體的重力勢能。若轉軸通過質心，則剛體的重力勢能在剛體轉動時保持不變。勻變速直線運動勻變速轉動運動學牛頓第二定律轉動定律動量定理角動量定理動量守恒角動量守恒動能定理動能定理動力學質點直線運動（剛體平動）剛體定軸轉動勻變速直線運動勻變速轉動運動學牛頓第二定律轉動定律動量定理角動量定理動量守恒角動量守恒動能定理動能定理動力學質點直線運動（剛體平動）剛體定軸轉動

質量為

m，長為l的均勻細桿，可繞水平轉軸在豎直平面內無摩擦轉動。轉軸離桿一端l/3，設桿由水平位置自由轉下，求：(1)桿在水平位置時的角加速度；(2)桿在豎直位置時的角速度和角加速度；(4)桿在豎直位置時對轉軸的作用力。例題4-7oCθmgABl/3(1)重力的作用點在質心C。由轉動定理：得：(2)由機械能守恒：得：(4)由質心運動定理：oCωmgN所以：而桿對轉軸的作用力大小等于N，但方向向下。習題4-12一滑輪半徑R=0.10m，質量M=15kg，一細繩跨過滑輪，可帶動滑輪繞水平軸轉動，重物m1=50kg，m2=200kg。不考慮磨擦，求重物加速度和細繩的張力。RMm1m2隔離物體、畫出受力圖、分析運動情況。由牛頓第二定律和轉動定理列方程：解得：m2gm2T2T2T1T1RMaam1習題

4-16一磨輪半徑0.10m，質量25kg，以50r/s的轉速轉動.用工具以200N的正壓力作用在輪邊緣，使它在10s內停止轉動，求工具與磨輪之間的磨擦因數。