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文檔簡介
2023年高考數學模擬試卷
考生請注意:
1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。
2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的
位置上。
3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.已知(2-肛)(1門的展開式中的常數項為8,則實數團=()
X
A.2B.-2C.-3D.3
2.已知AM,BN分別為圓。:(》+1)2+丁=1與a:(x-2y+y2=4的直徑,則荏.旃的取值范圍為()
A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]
3.若。>0力>0,則“a+z?W4”是“曲早4”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
22_________
4.已知點P是雙曲線C:三一2r=1(。>0力>0,c=,?萬)上一點,若點尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積
ab
1i
為一。2,則雙曲線。的離心率為()
4
A.0B.斑C.A/3D.2
2
5.某程序框圖如圖所示,若輸出的S=12(),則判斷框內為()
開始
A.后>7?B.k>6?C.左>5?D.k>4?
6.如圖所示點尸是拋物線產=8》的焦點,點A、3分別在拋物線及圓工2+3;2一4%-12=0的實線部分上
運動,且A3總是平行于%軸,則AE48的周長的取值范圍是()
A.(6,10)B.(8,12)C.[6,8]D.[8,12]
x+y<4
上式的取值范圍是(
7.點P(x,y)為不等式組<yWx所表示的平面區域上的動點,則)
x—2
y>0
A.(―Q0,—2)+co)B.(―℃>,—l]U[U+°°)C.(―2,1)D.[―2,1]
8.記s“為數列{%}的前n項和數列{4}對任意的p,qeN*滿足=4+4+13.若4=-7,則當S“取最小值時,
”等于()
A.6B.7C.8D.9
9.一只螞蟻在邊長為4的正三角形區域內隨機爬行,則在離三個頂點距離都大于2的區域內的概率為()
A,6兀3省萬1
A.1-----B.—C.----D.—
6464
10.若函數“x)=-lnx+x+〃,在區間~,e上任取三個實數a,b,c均存在以/(a),/(Z?),/(c)為邊長的
三角形,則實數〃的取值范圍是()
A.B.-l,e-3)C.Q-L+oo]D.(e-3,+<?)
13
11.已知。=logi213/=,c=log1314,則a,4c的大小關系為()
A.a>b>cB.c>a>hC.h>c>aD.a>c>h
22
12.已知雙曲線與-方=l(a>03>0)的左、右頂點分別是A6,雙曲線的右焦點廠為(2,0),點P在過尸且垂
直于x軸的直線/上,當AA6P的外接圓面積達到最小時,點P恰好在雙曲線上,則該雙曲線的方程為()
22
二上=1
22
2
C.---y2=i
344
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
x-y+2..0,
13.已知實數羽丁滿約束條件<2x+y-5,,0,,則z=-x+3y的最大值為.
J..1,
x—y+1..0,
14.已知實數x,)‘滿足約束條件<3%一丁一3,,0,則2=2%+丁的最大值為.
J..0,
15.一個村子里一共有〃個人,其中一個人是謠言制造者,他編造了一條謠言并告訴了另一個人,這個人又把謠言告
訴了第三個人,如此等等.在每一次謠言傳播時,謠言的接受者都是在其余〃-1個村民中隨機挑選的,當謠言傳播
%(左.2)次之后,還沒有回到最初的造謠者的概率是.
16.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕
傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約
甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標識為的四張電影票放在編號分別為1,2,
3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進行猜測:
甲說:第1個盒子里放的是B,第3個盒子里放的是C
乙說:第2個盒子里放的是3,第3個盒子里放的是。
丙說:第4個盒子里放的是。,第2個盒子里放的是C
丁說:第4個盒子里放的是A,第3個盒子里放的是C
小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”
可以預測,第4個盒子里放的電影票為
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)在AABC中,角A、B、。所對的邊分別為b、c,且cos2C+3cosc-1=0.
(1)求角。的大小;
(2)若b=3a,AABC的面積為由sinAsin8,求sinA及c的值.
18.(12分)如圖,三棱錐P-ABC中,PA^PC,AB=BC,ZAPC=120\ZABC=90",AC=6PB.
(1)求證:AC±PB;
(2)求直線AC與平面Q鉆所成角的正弦值.
19.(12分)已知函數/(x)=x'-alnx,aeR.
(1)若/(x)在x=l處取得極值,求。的值;
(2)求f(x)在區間[1,+8)上的最小值;
(3)在(1)的條件下,若必幻=尤2—/(無),求證:當I<x<e2時,恒有X<)<成立.
4一%(x)
x=2+cos0
20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線/的參數方程為<r-20(。為參數),以原點。為極點,
X軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為p=4s加e.
(I)求曲線c的普通方程;
(2)求曲線/和曲線C的公共點的極坐標.
21.(12分)已知ZVWC中,內角所對邊分別是a,"c,其中a=2,c=JL
(1)若角A為銳角,且sinC=X2,求sinB的值;
3
(2)設/(C)=GsinCcosC+3cos2C,求/(C)的取值范圍.
22.(10分)設函數/(x)=ax(2+cosx)-sinx,/'(x)是函數/(x)的導數.
(1)若a=l,證明/(x)在區間(一、卷]上沒有零點;
(2)在XG(0,+?>)上/(x)>0恒成立,求。的取值范圍.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.A
【解析】
先求(I-')'的展開式,再分類分析(2-皿)中用哪一項與相乘,將所有結果為常數的相加,即為
XX
(2-m%Xl-L)3展開式的常數項,從而求出”的值.
X
【詳解】
33rr
(I--)展開式的通項為Tr+I=C;-l-(--)=C;?(―1)*',
X'X
當(2-〃詞取2時,常數項為2xC;>=2,
當(2-〃")取一加時,常數項為一根xC;x(-?=3加
由題知2+3〃?=8,則加=2.
故選:A.
【點睛】
本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數問題,其中對(2一處)所取的項要進行分類討論,屬于基礎題.
2.A
【解析】
由題先畫出基本圖形,結合向量加法和點乘運算化簡可得
AB-MN=+(M,+Oz?]{QG-(AO;+。⑻]=9-國+,結合|眄+遜|的范圍即可求解
【詳解】
如圖,
福麗=(羽■+語'+3),(函'+甌'+可)=[曬'+(苑+3)]?[則'-(而"孽)]
=|雁阿+型]=9—|曬+型(其中|眄+型同2T,2+1]=[1,3],所以
ABWe[9-32,9-l2]=[0,8].
故選:A
【點睛】
本題考查向量的線性運算在幾何中的應用,數形結合思想,屬于中檔題
3.A
【解析】
本題根據基本不等式,結合選項,判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過特取。力的值,推出矛盾,確定必要
性不成立.題目有一定難度,注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.
【詳解】
當。>0,匕>0時,a+b>24ab,則當。+力44時,有2向Wa+bW4,解得"W4,充分性成立;當a=l,b=4
時,滿足"W4,但此時a+8=5>4,必要性不成立,綜上所述,“。+匕44”是“"44”的充分不必要條件.
【點睛】
易出現的錯誤有,一是基本不等式掌握不熟,導致判斷失誤;二是不能靈活的應用“賦值法”,通過特取〃力的值,從
假設情況下推出合理結果或矛盾結果.
4.A
【解析】
設點P的坐標為(加,〃),代入橢圓方程可得〃小2一。2〃2=。2/,然后分別求出點尸到兩條漸近線的距離,由距離之
積為32'并結合〃加-日\〃氏可得到“八。的齊次方程'進而可求出離心率的值.
【詳解】
設點P的坐標為。〃,〃),有零二1,得〃療一片/=a2b2.
a記
雙曲線的兩條漸近線方程為笈-毆=。和云+ay=O,則點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為
222222
\hm-an\\hm+an\^bm-an1a^
荷+“后+廣〃+必=F,
所以"=4c2,貝!)4/(,2—。2)=。4,即(片一2/)2=0,故。2—2。2=0,即e?=;=2,所以e=0.
C4v'a
故選:A.
【點睛】
本題考查雙曲線的離心率,構造。,4c的齊次方程是解決本題的關鍵,屬于中檔題.
5.C
【解析】
程序在運行過程中各變量值變化如下表:
KS是否繼續循環
循環前11
第一圈24是
第二圈311是
第三圈426是
第四圈557是
第五圈6120否
故退出循環的條件應為k>5?
本題選擇C選項.
點睛:使用循環結構尋數時,要明確數字的結構特征,決定循環的終止條件與數的結構特征的關系及循
環次數.尤其是統計數時,注意要統計的數的出現次數與循環次數的區別.
6.B
【解析】
根據拋物線方程求得焦點坐標和準線方程,結合定義表示出[4尸|;根據拋物線與圓的位置關系和特點,求得3點橫坐
標的取值范圍,即可由AE48的周長求得其范圍.
【詳解】
拋物線丁=8h則焦點以2,0),準線方程為%=-2,
根據拋物線定義可得|河|+2,
圓(x—2)2+y2=回圓心為(2,0),半徑為4,
點A、B分別在拋物線丁=8x及圓f+),2一4%-12=0的實線部分上運動,解得交點橫坐標為2.
點A、8分別在兩個曲線上,AB總是平行于x軸,因而兩點不能重合,不能在x軸上,則由圓心和半徑可知/e(2,6),
則A/鞏8的周長為|+|+忸月=*A+2+為3-七4+4=6+和,
所以6+/G(8,12),
故選:B.
【點睛】
本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質的簡單應用,圓的幾何性質應用,屬于中檔題.
7.B
【解析】
作出不等式對應的平面區域,利用線性規劃的知識,利用z的幾何意義即可得到結論.
【詳解】
x+y,4
不等式組,y,,x作出可行域如圖:A(4,o),6(2,2),0(0,0),
y..O
z=吟的幾何意義是動點P(x,y)到。(2,-2)的斜率,由圖象可知QA的斜率為1,。。的斜率為:-1,
x-2
則上量的取值范圍是:(-8,T]|JU,+°°)?
x-2
【點睛】
本題主要考查線性規劃的應用,根據目標函數的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵.
8.A
【解析】
先令p=l,q=l,找出出,4的關系,再令,=1,4=2,得到的關系,從而可求出囚,然后令P=〃,4=l,
可得4+/4=2,得出數列{q}為等差數列,得。,=〃2-12〃,可求出S〃取最小值?
【詳解】
解法一:由6=4+%+13=(4+13)+(24+13)=-7,所以勾=一11,由條件可得,對任意的
〃eN*,=4+q+13=%+2,所以{4}是等差數列,4=2〃-13,要使S,,最小,由解得?釉,
4+iNU22
貝!1〃=6.
解法二:由賦值法易求得4=-11,%=一9,4=一7「..,/=2〃-13總=〃2一12〃,可知當〃=6時,S,,取最小值.
故選:A
【點睛】
此題考查的是由數列的遞推式求數列的通項,采用了賦值法,屬于中檔題.
9.A
【解析】
求出滿足條件的正△鉆C的面積,再求出滿足條件的正AABC內的點到頂點A、B、C的距離均不小于2的圖形的
面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.
【詳解】
滿足條件的正A4BC如下圖所示:
其中正AABC的面積為So釜x4?=46,
滿足到正AABC的頂點A、B、C的距離均不小于2的圖形平面區域如圖中陰影部分所示,
陰影部分區域的面積為5==、乃x2?=2萬.
2
則使取到的點到三個頂點A、B、C的距離都大于2的概率是2=1-”=1-場.
4V36
故選:A.
【點睛】
本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.
10.D
【解析】
利用導數求得了(x)在區間%上的最大值和最小,根據三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得〃的取值
范圍.
【詳解】
1r_1
/(x)的定義域為(0,+紇),/(尤)=一一+1=——
XX
所以/(%)在(fl)
上遞減,在(l,e)上遞增,/(x)在x=l處取得極小值也即是最小值,/(l)=-lnl+l+〃=l+〃,
/^―j=-In—+—+//=—+1+/?,/(e)=-lne+e+〃=e-l+〃,
所以/(x)在區間Je上的最大值為/(e)=e-l+〃.
要使在區間Je上任取三個實數。,b,c均存在以/(〃),_/e),/(c)為邊長的三角形,
則需/(a)+/S)>/(c)恒成立,且/(1)>0,
也即[/(aH/e)].〉/?a,也即當a=b=l、c=e時,2/⑴>/(e)成立,
即2(l+〃)>e-l+〃,且/(1)>0,解得〃>e—3.所以〃的取值范圍是(e—3,+x)).
故選:D
【點睛】
本小題主要考查利用導數研究函數的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.
11.D
【解析】
由指數函數的圖像與性質易得b最小,利用作差法,結合對數換底公式及基本不等式的性質即可比較。和c的大小關
系,進而得解.
【詳解】
13
根據指數函數的圖像與性質可知0</,=["]過<1,
113J
由對數函數的圖像與性質可知Q=logi213>l,c=log1314>l,所以人最小;
而由對數換底公式化簡可得a-c=log1213-log1314
Igl3_lgl4
lgl2lgl3
Ig213-lgl2-lgl4
Igl2-lgl3
|(lgl2+lgl4)
由基本不等式可知]gl2Jgl4V,代入上式可得
,lg213--(Igl2+lgl4)
Ig213-lgl2.lgl4〉。12'L
Igl2-lgl3Igl2-lgl3
(]\
lg213--lgl68
【2J
Igl2-lgl3
Igl3+-lgl68-Igl3--lgl68
2,<2;
Igl2-lgl3
(lg13+lgV168)-(lgl3-lgVi68)
Igl2-lgl30
所以a>c,
綜上可知a>c>〃,
故選:D.
【點睛】
本題考查了指數式與對數式的化簡變形,對數換底公式及基本不等式的簡單應用,作差法比較大小,屬于中檔題.
12.A
【解析】
點P的坐標為(2,加)(加>0),tanZAPB=tan(ZAPF-ZBPF),展開利用均值不等式得到最值,將點代入雙曲線
計算得到答案.
【詳解】
不妨設點尸的坐標為(2,“)(根>0),由于|AB|為定值,由正弦定理可知當sinNAPB取得最大值時,AAP8的外接
圓面積取得最小值,也等價于tanNAPB取得最大值,
因為tan=—,tanZBPF^-^-,
mm
2+Q2—a
2a
所以tanZAPB=tan(ZAPF-ZBPF)=—勺----七一
r乙ICt乙L4b2
1+---------m-\---
mmm
當且僅當機=L(根>0),即當〃2=匕時,等號成立,
m
此時NA/歸最大,此時的外接圓面積取最小值,
22
點P的坐標為(2,6),代入「一與=1可得。=&,匕=后=7=夜.
ab~
r22
所以雙曲線的方程為二-2v-=1.
22
故選:A
【點睛】
本題考查了求雙曲線方程,意在考查學生的計算能力和應用能力.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.8
【解析】
畫出可行域和目標函數,根據平移計算得到答案.
【詳解】
x—y+2..0,
根據約束條件2x+y-5,,0,,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.
y-1,
7
又目標函數z=-x+3y,g表示直線x-3y+z=0在y軸上的截距,
由圖可知當x—3),+z=0經過點P(l,3)時截距最大,故二的最大值為8.
故答案為:8.
【點睛】
本題考查了線性規劃問題,畫出圖像是解題的關鍵.
14.1
【解析】
作出約束條件表示的可行域,轉化目標函數z=2x+y為y=-2x+z,當目標函數經過點(2,3)時,直線的截距最大,
取得最大值,即得解.
【詳解】
作出約束條件表示的可行域
是以A(2,3),B(-1,()),C(1,0),為頂點的三角形及其內部,
轉化目標函數z=2x+y為y=-2x+z
當目標函數經過點(2,3)時,直線的截距最大
此時z=2x2+3=7取得最大值1.
故答案為:1
【點睛】
本題考查了線性規劃問題,考查了學生轉化劃歸,數形結合,數學運算能力,屬于基礎題.
【解析】
利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.
【詳解】
第1次傳播,謠言一定不會回到最初的人;
從第2次傳播開始,每1次謠言傳播,第一個制造謠言的人被選中的概率都是」一
n-1
沒有被選中的概率是1-—
n-\
攵-1次傳播是相互獨立的,故為
〃-
故答案為:
〃一1J
【點睛】
本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,屬于基礎題.
16.A或D
【解析】
分別假設每一個人一半是對的,然后分別進行驗證即可.
【詳解】
解:假設甲說:第1個盒子里面放的是8是對的,
則乙說:第3個盒子里面放的是。是對的,
丙說:第2個盒子里面放的是C是對的,
丁說:第4個盒子里面放的是A是對的,
由此可知第4個盒子里面放的是A;
假設甲說:第3個盒子里面放的是C是對的,
則丙說:第4個盒子里面放的是。是對的,
乙說:第2個盒子里面放的是B是對的,
丁說:第3個盒子里面放的是。是對的,
由此可知第4個盒子里面放的是。.
故第4個盒子里面放的電影票為。或A.
故答案為:A或。
【點睛】
本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結能力,屬于中檔題.
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)C=芻(2)sinA=^^-;C=A/J
314
【解析】
(1)由cos2C=2cos2C—I代入COS2C+3cosc-1=0中計算即可;
(2)由余弦定理可得c=J7a,所以sinA=T,sinC,由5%席=gabsinC=GsinAsin8,變形即可得到答案.
【詳解】
(1)因為cos2C+3cosc-1=0,可得:2cos+3cosc-2=0,
cosC=—,或cosC=-2(舍),V0<C<,
2
:.c=-.
3
(2)由余弦定理c2=4+從一2abcosC=3a2+2a2=7a2,
得c=V7a
所以sinC=J7sinA,
在.,l.「后
nXsinA——^,SinC-----,
V714
X5AASC-^absinC=>/3sinAsinB,Z.C=~
所以,———==4,
sinAsin8(sinCj
所以c=V3.
【點睛】
本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學生的運算求解能力,是一道容易題.
18.(1)證明見詳解;(2)與
【解析】
(1)取AC中點。,根據AC_LPO,AC_LBO,利用線面垂直的判定定理,可得AC_L平面。P8,最后可得結果.
(2)利用建系,假設AC長度,可得衣,以及平面R鉆的一個法向量,然后利用向量的夾角公式,可得結果.
【詳解】
(1)取AC中點。,連接。P,OB,如圖
由%=PC,AB=BC
所以AC,PO,AC,BO
由POCl30=0,PO,80u平面OPB
所以AC_L平面OPB,又PBu平面OPB
所以ACLBB
(2)假設AC=3,
由NAPC=120°,ZABC=90\AC=y^PB.
斫以PB=?OB=>,OP=是
22
則尸§2=O82+Op2,所以OP工OB
又OPLAC,ACcO8=O,AC,OBu平面ABC
所以產。,平面ABC,所以POLO8,PO1OC
又03J_0C,故建立空間直角坐標系。-孫z,如圖
/
Afo,-1,Ol,Cl0,p0l,Bl13,0,0l,P0,0,
22
^C=(0,3,0)MB=[|,|,0pP3名
。5力
設平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z)
33c
—x+—y=0
n-AB=Q22
則__=>
而?AP=036n
,22
令z=K,所以3=(1,-1,0)
n-AC
則直線AC與平面從8所成角的正弦值為
nllACl5
【點睛】
本題考查線面垂直、線線垂直的應用,還考查線面角,學會使用建系的方法來解決立體幾何問題,將幾何問題代數化,
化繁為簡,屬中檔題.
19.(1)2;(2)----In—;(3)證明見解析
222
【解析】
(1)先求出函數的定義域和導數,由已知函數/(x)在x=l處取得極值,得到尸(1)=0,即可求解。的值;
(2)由(1)得/(乃=2%一@=江二^,定義域為(0,+8),分aMO,0<aW2和a>2三種情況討論,分別求得
xx
函數的最小值,即可得到結論;
4+人(尤)2Y—22Y—2
(3)由//(%)=/—/(),得到h(x)=21nx,把x<.,只需證Inx>-----,構造新函數0(x)=Inx-------,
%4-/?(x)x+1x+1
利用導數求得函數的單調性與最值,即可求解.
【詳解】
(1)由/(x)=x2-ainx,定義域為(0,+℃),貝!|f(x)=2%-色,
x
因為函數/(%)=x2-a\nx^x^\處取得極值,
所以/'(1)=0,即2-。=0,解得。=2,
經檢驗,滿足題意,所以a=2.
⑵由⑴得/(%)=2%-q=至二色,定義域為(0,+8),
XX
當時,有r(x)>o,在區間上單調遞增,最小值為/a)=i,
當0<aK2時,由/'(幻=()得》=正,且0<正41,
22
當無w時,ra)<o,“X)單調遞減
當xe,+8時,f'(X)>0,八幻單調遞增;
7
所以/(%)在區間[1,4W)上單調遞增,最小值為/(1)=1,
當a>2時,則正
>1,當xe時,f'(x)<0,7")單調遞減;
2
當時,/'(x)>0,f(x)單調遞增;
所以/(X)在X=處取得最小值f-1m],
綜上可得:
當aW2時,/(X)在區間[1,+8)上的最小值為1,
當。>2時,f(x)在區間[1,+8)上的最小值為⑷也色.
222
(3)由/z(x)=x2_/(x)得/z(x)=21nx,
當l<x<e2時,0<lnx<2,則力(x)<4,
欲證只需證*一心)]<4+〃⑸,即證g)>煞'即
、幾,、?2X-2"“,/,、12(x+l)—(2尤—2)(x-1)2
設奴x)=Inx------,則。(x)=--------;---”----=—~~2
x+1x(x+1)'x(x+l)~
當l<x<e2時,0(x)>O,,。(幻在區間Re?)上單調遞增,
2r-2
???當lvx</時,。(尤)>。⑴=0,即Inx------>0,
x+1
4+/z(x),4+/z(x)
故"(廠而'即當I"-?時,恒有、<匚何成立.
【點睛】
本題主要考查導數在函數中的綜合應用,以及不等式的證明,著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能
力與計算能力,對于此類問題,通常要構造新函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不
等式,從而求出參數的取值范圍;也可分離變量,構造新函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.
20.(1)x2+(y—2)~=4(2)(2-^3,—)?
【解析】
(1)利用極坐標和直角坐標的轉化公式x=pcos0,y=psin。求解.
(2)先把兩個方程均化為普通方程,求解公共點的直角坐標,然后化為極坐標即可.
【詳解】
(1)?.?曲線C的極坐標方程為。=4sin。,
...=4「sin。,則[2+y2=4y,
即x2+(y-2)2=4.
x=c2+cos2a-02cos~2—a+l1
2
(2)\,
y=6+26cos2—=G(2COS?—+1)
I22
:.y=>/3x,x>1
聯立f+(y—2)2=4可得f+3f=4Gx,
x=0(舍)或x=g,
公共點(百,3),化為極坐標(26,1).
【點睛】
本題主要考查極坐標和直角坐標的轉化及交點的求解,熟記極坐標和直角坐標的轉化公式是求解的關鍵,交點問題一
般是統一一種坐標形式求解后再進行轉化,側重考查數學運算的核心素養.
21.(1)2返+屏;(2)佶,。+6.
9122」
【解析】
(1)由正弦定理直接可求sinA,然后運用兩角和的正弦公式算出sin3;
(2)化簡/(C)=6sin(2C+f]+],由余弦定理得cosC=,:”「廠+匕),利用基本不等式求出
I3J22ab4\b)
cosC>-,確定角C范圍,進而求出/(C)的取值范圍.
2
【詳解】
(1)由正弦定理,得:=
sinAsinC
.4tzsinC2
sinA=--------=—
c3
z.sinC<sinA,且A為銳角
「瓜人也
cosC=——,cosA=——
33
276+715
/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=
9
八、f(「\V3.1+COS2Crr(1.63
(2)A(C)=—sin2c+3x---
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