求函數值域的十種方法一．直接法（察看法）：對于一些比較簡單的函數，其值域可經過察看獲得。例1．求函數yx1的值域。【分析】∵x0，∴x11，∴函數yx1的值域為[1,)。【練習】．求以下函數的值域：①y3x2(1x1)；②f(x)24x；③yx；yx121，x1,0,1,2。x1【參照答案】①[1,5]；②[2,)；③(,1)U(1,)；{1,0,3}。二．配方法：合用于二次函數及能經過換元法等轉變為二次函數的題型。形如F(x)af2(x)bf(x)c的函數的值域問題，均可使用配方法。例2．求函數yx24x2（x[1,1]）的值域。【分析】yx24x2(x2)26。∵1x1，∴3x21，∴1(x2)29，∴3(x2)265，∴3y5。∴函數yx24x2（x[1,1]）的值域為[3,5]。例3．求函數y2x24x(x0,4)的值域。【分析】本題中含有二次函數可利用配方法求解，為便于計算不如設：f(x)x24x(f(x)0)配方得：f(x)(x2)24(x0,4)利用二次函數的有關知識得f(x)0,4，從而得出：y0,2。說明：在求解值域(最值)時，碰到分式、根式、對數式等種類時要注意函數自己定義域的限制，本題為：f(x)0。例4．若x2y4,x0,y0，試求lgxlgy的最大值。【剖析與解】本題可當作第一象限內動點P(x,y)在直線x2y4上滑動時函數lgxlgylgxy的最大值。利用兩點(4,0)，(0,2)確立一條直線，作出圖象易得：x(0,4),y(0,2),而lgxlgylgxylg[y(42y)]lg[2(y1)22]，y=1時，lgxlgy取最大值lg2。【練習】2．求以下函數的最大值、最小值與值域：①yx24x1；②yx24x1,x[3,4]；③yx24x1,x[0,1]；④yx24x1,x[0,5]；yx22x4，x[1,4]；yx22x3。x4【參照答案】①[3,)；②[2,1]；③[2,1]；④[3,6]；[6,73]；[0,2]4三．反函數法：反函數的定義域就是原函數的值域，利用反函數與原函數的關系，求原函數的值域。合用種類：分子、分母只含有一次項的函數(即有理分式一次型)，也可用于其余易反解出自變量的函數種類。例5．求函數y2x的值域。x1x，從而便于求出反函數。剖析與解：因為本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出2x反解得xy(,2)U(2,)。y，故函數的值域為x12y【練習】1．求函數y2x33x的值域。22．求函數yaxb，c0,xd的值域。cxdc【參照答案】1．(,2)U(2,)；(,a)U(a,)。33cc四．分別變量法：合用種類1：分子、分母是一次函數的有理函數，可用分別常數法，此類問題一般也能夠利用反函數法。例6：求函數y1x的值域。2x5解：∵1x1(2x5)717，y2222x52x522x57，∴y1，∴函數y1x的值域為{y|y1}。∵22x5022x52合用種類2：分式且分子、分母中有相像的項，經過該方法可將原函數轉變為為ykf(x)(k為常數)的形式。例7：求函數yx2x的值域。x2x1剖析與解：察看分子、分母中均含有x2x項，可利用分別變量法；則有x2xx2x11113。yx1xx1(x12x22)42不如令：f(x)(x1)23,g(x)1(f(x)0)從而f(x)3,。24f(x)4注意：在本題中若出現應清除f(x)0，因為f(x)作為分母.因此g(x)0,4故y1,1。33另解：察看知道本題中分子較為簡單，可令tx2x111xt的值域，從而可獲得y，求出的值域。【練習】1．求函數y2x22x3的值域。x2x110]【參照答案】1．(2,3五、換元法：對于分析式中含有根式或許函數分析式較復雜的這種函數，能夠考慮經過換元的方法將原函數轉變為簡單的熟習的基本函數。其題型特點是函數分析式含有根式或三角函數公式模型，當根式里是一次式時，用代數換元；當根式里是二次式時，用三角換元。例8：求函數y2x12x的值域。解：令t12x（t0），則x1t2t2t1(t125，∴y)。224∵當t1x3ymax5y2x12x的值域為(5]。2，即時，4，無最小值。∴函數,84例9：求函數yx21(x1)2的值域。解：因1(x1)20，即(x1)21。故可令x1cos,[0,]，∴ycos11cos2sincos12sin()1。4∵0,52)1，02sin()1124，sin(44244故所求函數的值域為[0,12]。例10.求函數yx3x的值域。x42x21解：原函數可變形為：y12x1x221x21x2可令X=tan，則有2xsin2,1x2cos21x21x2當k時，ymax1248當k時，y128min4而此時tan存心義。故所求函數的值域為1,144例11.求函數y(sinx1)(cosx1)，x,的值域。122解：y(sinx1)(cosx1)令sinxcosxt，則sinxcosx1(t21)2由tsinxcosx2sin(x)4且x12,2可得：2t22∴當t2時，ymax32，當t2時，y322242故所求函數的值域為32,32。422例12.求函數yx45x2的值域。解：由5x20，可得|x|5故可令x5cos,[0,]0當時，ymax4104當時，ymin45故所求函數的值域為：[45,410]六、鑒別式法：把函數轉變成對于x的二次方程F(x,y)0；經過方程有實數根，鑒別式0，從而求得原函數的值域，形如ya1x2b1xc1（a1、a2不一樣時為零）的函數的值域，常用此方法求a2x2b2xc2解。例13：求函數yx2x3的值域。x2x12解：由yxx3變形得(y1)x2(y1)xy30，x2x1當y1時，此方程無解；當y1時，∵xR，∴(y1)24(y1)(y3)0，解得111，又y1，∴1y11y33∴函數yx2x3的值域為{y|1y11}x2x13七、函數的單一性法：確立函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單一性，求出函數的值域。例14：求函數yx12x的值域。解：∵當x增大時，12x隨x的增大而減少，12x隨x的增大而增大，∴函數yx12x在定義域(,1]上是增函數。211211∴y2，22∴函數yx12x的值域為(,1]。2例15.求函數yx1x1的值域。解：原函數可化為：y2x1x1令yx1,y2x1，明顯y1,y2在[1,]上為無上界的增函數1因此yy1y2在[1,]上也為無上界的增函數因此當x=1時，yyy有最小值2，原函數有最大值22122明顯y0，故原函數的值域為(0,2]合用種類2：用于求復合函數的值域或最值。（原理：同增異減）例16：求函數ylog1(4xx2)的值域。2剖析與解：因為函數自己是由一個對數函數（外層函數）和二次函數（內層函數）復合而成，故可令：t(x)x24x(t(x)0)配方得：t(x)(x2)24因此t(x)（0,4)由復合函數的單一性（同增異減）知：y[2,)。八、利用有界性：一般用于三角函數型，即利用sinx[1,1],cosx[1,1]等。例17：求函數ycosx的值域。sinx3解：由原函數式可得：ysinxcosx3y，可化為：即sinx(x)3yy21xR∴sinx(x)[1,1]即13y1y21解得：224y4故函數的值域為2,244注：該題還能夠使用數形聯合法。ycosx0，利用直線的斜率解題。cosxsinx3sinx3x12例18：求函數y的值域。解：由y12x解得2x1y，12x1y∵2x0，∴1y1y110，∴y∴函數y12x的值域為y(1,1)。12x九、圖像法（數形聯合法）：其題型是函數分析式擁有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這種題目若運用數形聯合法，常常會更為簡單，了如指掌，心曠神怡。例19：求函數y|x3||x5|的值域。y2x2(x3)解：∵y|x3||x5|8(3x5)，82x2(x5)-3o5x∴y|x3||x5|的圖像如下圖，由圖像知：函數y|x3||x5|的值域為[8,)例20.求函數y(x2)2(x8)2的值域。解：原函數可化簡得：y|x2||x8|上式能夠當作數軸上點P（x）到定點A（2），B(8)間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，y|x2||x8||AB|10當點P在線段AB的延伸線或反向延伸線上時，y|x2||x8||AB|10故所求函數的值域為：[10,]例21.求函數yx26x13x24x5的值域。解：原函數可變形為：上式可當作x軸上的點P(x,0)到兩定點A(3,2),B(2,1)的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，ymin|AB|(32)2(21)243，故所求函數的值域為[43,]例22.求函數yx26x13x24x5的值域。解：將函數變形為：y(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可當作定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B(2,1)到點P(x,0)的距離之差。即：y|AP||BP|由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P'，則組成ABP'，依據三角形兩邊之差小于第三邊，有||AP'||BP'|||AB|(32)2(22261)即：26y26（2）當點P恰巧為直線AB與x軸的交點時，有||AP||BP|||AB|26綜上所述，可知函數的值域為：(26,26]例23、：求函數3sinxy的值域.2cosx剖析與解：看到該函數的形式，我們可聯想到直線中已知兩點求直線的斜率的公式

y2y1，將x2x1原函數視為定點(2，3)到動點(cosx,sinx)的斜率，又知動點(cosx,sinx)知足單位圓的方程，從而問題就轉變為求點（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形察看易得的最值在直線和圓上點的連線和圓相切時獲得，從而解得：評論：本題從函數自己的形式下手，引入直線的斜率，聯合圖形，從而使問題獲得巧解。例24．求函數y1x1x的值域。剖析與解答：令u1x，v1x，則u0,v0，u2v22，uvy，原問題轉變為：當直線uvy與圓u2v22在直角坐標系uov的第一象限有公共點時，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當uvy經過點(0,2)時，ymin2；當直線與圓相切時，ymaxOD2OC222。因此：值域為2y2十：不等式法：利用基本不等式ab2ab,abc33abc(a,b,cR)，求函數的最值，其題型特點分析式是和式時要求積為定值，分析式是積時要乞降為定值，可是有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例25.求函數y(sinx1)2(cosx1)24的值域。sinxcosx解：原函數變形為：當且僅當tanxcotx即當xk時(kz)，等號建立4故原函數的值域為：[5,)例26.求函數y2sinxsin2x的值域。解：y4sinxsinxcosx當且僅當sin2x22sin2x，即當sin2x2時，等號建立。3由y264可得：8383279y9故原函數的值域為：83,839十一、多種方法綜合運用：例27.求函數yx2的值域。x3解：令tx2(t0)，則x3t21（1）當t0時，yt11，當且僅當t=1，即x1t21121時取等號，因此0yt2t2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數的值域為：注：先換元