絕密★啟用前2020年普通高等學校招生全國統一考試·全國Ⅱ卷文科數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則 ()A. B. C. D.2. ()A. B. C. D.3.如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為，，…，.設.若且，則稱，，為原位大三和弦；若且，則稱,,為原位小三和弦.用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為 ()A.5B.8C.10D.154.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作，已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者 ()A.10名 B.18名 C.24名 D.32名5.已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是 ()A. B. C. D.6.記為等比數列的前項和.若，，則 ()A. B. C. D.7.執行右面的程序框圖，若輸入的，，則輸出的為 ()A.2B.3C.4 D.58.若過點的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為()A. B. C. D.9.設為坐標原點，直線與雙曲線：（）的兩條漸近線分別交于，兩點.若的面積為8，則的焦距的最小值為 ()A.4 B.8 C.16 D.3210.設函數，則 ()A.是奇函數，且在單調遞增B.是奇函數，且在單調遞減C.是偶函數，且在單調遞增D.是偶函數，且在單調遞減11.已知是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球的球面上，若球的表面積為，則到平面的距離為 ()A. B. C.1 D.12.若，則 ()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則________.14.記為等差數列的前項和，若，，則________.15.若，滿足約束條件則的最大值是________.16.設有下列四個命題：：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.：過空間中任意三點有且僅有一個平面.：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.：若，，則.則下述命題中所有真命題的序號是________.① ② ③ ④三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17.(12分)的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，證明：是直角三角形.18.（12分）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加.為調查該地區某種野生動物的數量，將其分為面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據，其中和分別表示第個樣區的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數量，并計算得.（1）求該地區這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數）；（2）求樣本的相關系數（精確到0.01）；（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關系數，.19.（12分）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，的中心與的頂點重合.過且與軸垂直的直線交于兩點，交于兩點，且.（1）求的離心率；（2）若的四個頂點到的準線距離之和為12，求與的標準方程.20.（12分）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側面是矩形，，分別為，的中點，為上一點.過和的平面交于，交于.（1）證明：，且；（2）設為的中心.若，平面，且，求四棱錐的體積.21.（12分）已知函數.（1）若，求的取值范圍；（2）設，討論函數的單調性.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應的題號方框涂黑.按所涂題號進行評分，不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.22.[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）已知曲線，的參數方程分別為（1）將，的參數方程化為普通方程；（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.設，的交點為，求圓心在極軸上，且經過極點和的圓的極坐標方程.23.[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.2020年普通高等學校招生全國統一考試·全國Ⅱ卷文科數學答案解析一、選擇題1．【答案】D【解析】解絕對值不等式化簡集合的表示，再根據集合交集的定義進行求解即可.因為，，所以.故選：D.【考點】絕對值不等式的解法，集合交集的定義2．【答案】A【解析】根據指數冪的運算性質，結合復數的乘方運算性質進行求解即可.故選：A.【考點】復數的乘方運算性質3．【答案】C【解析】根據原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足，從開始，利用列舉法即可解出．根據題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個數之和為10．故選：C．【考點】列舉法的應用4．【答案】B【解析】算出第二天訂單數，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數即可.由題意，第二天新增訂單數為，故需要志愿者名.故選：B【考點】函數模型的簡單應用5．【答案】D【解析】根據平面向量數量積的定義、運算性質，結合兩平面向量垂直數量積為零這一性質逐一判斷即可.由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.【考點】平面向量數量積的定義和運算性質，兩平面向量數量積為零則這兩個平面向量互相垂直6．【答案】B【解析】根據等比數列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數列的通項公式和前項和公式進行求解即可.設等比數列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【考點】等比數列的通項公式的基本量計算，等比數列前項和公式的應用7．【答案】C【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，即可求得答案.由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出的值.模擬程序的運行過程第1次循環，，為否第2次循環，，為否第3次循環，，為否第4次循環，，為是退出循環輸出.故選：C.【考點】求循環框圖的輸出值8．【答案】B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【考點】圓心到直線距離的計算9．【答案】B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據的面積為，可得值，根據，結合均值不等式，即可求得答案.雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設為在第一象限，在第四象限聯立，解得故聯立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【考點】求雙曲線焦距的最值問題10．【答案】A【解析】根據函數的解析式可知函數的定義域為，利用定義可得出函數為奇函數，再根據函數的單調性法則，即可解出．因為函數定義域為，其關于原點對稱，而，所以函數為奇函數．又因為函數在上單調遞增，在上單調遞增，而在上單調遞減，在上單調遞減，所以函數在上單調遞增，在上單調遞增．故選：A．【考點】利用函數的解析式研究函數的性質11．【答案】C【解析】根據球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質可知所求距離.設球的半徑為，則，解得：.設外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.【考點】球的相關問題的求解12．【答案】A【解析】將不等式變為，根據的單調性知，以此去判斷各個選項中真數與的大小關系，進而得到結果.由得：，令，為上的增函數，為上的減函數，為上的增函數，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【考點】對數式的大小的判斷問題二、填空題13．【答案】【解析】直接利用余弦的二倍角公式進行運算求解即可..故答案為：.【考點】余弦的二倍角公式的應用14．【答案】25【解析】因為是等差數列，根據已知條件，求出公差，根據等差數列前項和，即可求得答案.是等差數列，且，設等差數列的公差根據等差數列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據等差數列前項和公式：可得：.故答案為：.【考點】求等差數列的前項和15．【答案】8【解析】在平面直角坐標系內畫出不等式組表示的平面區域，然后平移直線，在平面區域內找到一點使得直線在縱軸上的截距最大，求出點的坐標代入目標函數中即可.不等式組表示的平面區域為下圖所示：平移直線，當直線經過點時，直線在縱軸上的截距最大，此時點的坐標是方程組的解，解得：，因此的最大值為：.故答案為：.【考點】線性規劃的應用，數形結合思想16．【答案】①③④【解析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復合命題的真假可得出結論.對于命題，可設與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點在平面內，同理，與的交點也在平面內，所以，，即，命題真命題；對于命題，若三點共線，則過這三個點的平面有無數個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：①③④.【考點】空間中線面關系有關命題真假的判斷三、解答題17．【答案】（1）（2）因為，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【解析】（1）根據誘導公式和同角三角函數平方關系，可化為，即可解出；因為，所以，即，解得，又，所以；（2）根據余弦定理可得，將代入可找到關系，再根據勾股定理或正弦定理即可證出．因為，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【考點】誘導公式和平方關系的應用18．【答案】（1）（2）（3）由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數據的代表性，應采用分層抽樣先將植物覆蓋面積按優中差分成三層，在各層內按比例抽取樣本，在每層內用簡單隨機抽樣法抽取樣本即可.【解析】（1）利用野生動物數量的估計值等于樣區野生動物平均數乘以地塊數，代入數據即可；樣區野生動物平均數為，地塊數為200，該地區這種野生動物的估計值為；（2）利用公式計算即可；樣本的相關系數為（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數據的代表性，應采用分層抽樣.由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數據的代表性，應采用分層抽樣先將植物覆蓋面積按優中差分成三層，在各層內按比例抽取樣本，在每層內用簡單隨機抽樣法抽取樣本即可.【考點】平均數的估計值、相關系數的計算，抽樣方法的選取19．【答案】（1）（2）：，：.【解析】（1）根據題意求出的方程，結合橢圓和拋物線的對稱性不妨設在第一象限，運用代入法求出點的縱坐標，根據，結合橢圓離心率的公式進行求解即可；解：（1）因為橢圓的右焦點坐標為：，所以拋物線的方程為，其中.不妨設在第一象限，因為橢圓的方程為：，所以當時，有，因此的縱坐標分別為，；又因為拋物線的方程為，所以當時，有，所以的縱坐標分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）可以得到橢圓的標準方程，確定橢圓的四個頂點坐標，再確定拋物線的準線方程，最后結合已知進行求解即可；由（1）知，，故，所以的四個頂點坐標分別為，，，，的準線為.由已知得，即.所以的標準方程為，的標準方程為.【考點】橢圓的離心率，橢圓和拋物線的標準方程，橢圓的四個頂點的坐標，拋物線的準線方程20．【答案】（1）分別為，的中點，又在等邊中，為中點，則又側面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）24【解析】（1）由分別為，的中點，，根據條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；分別為，的中點，又在等邊中，為中點，則又側面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）根據已知條件求得和到的距離，根據椎體體積公式，即可求得.過作垂線，交點為，畫出圖形，如圖平面平面，平面平面又為的中心.故：，則，平面平面，平面平面，平面平面又在等邊中即由（1）知，四邊形為梯形四邊形的面積為：，為到的距離，.【考點】證明線線平行和面面垂直，求四棱錐的體積21．【答案】（1）；（2）在區間和上單調遞減，沒有遞增