2l中國(guó)海洋大學(xué)試題答2l學(xué)第2學(xué)期

試題名：力與計(jì)物A

共

頁(yè)

第

1頁(yè)專業(yè)年：

學(xué)號(hào)

姓名

授課教名

楊愛(ài)玲

分?jǐn)?shù)一．

填空題共40分）．個(gè)同近獨(dú)立粒子構(gòu)成的熱力學(xué)系統(tǒng)，如果每個(gè)粒子的自度為，系統(tǒng)的自由度為（Nr統(tǒng)狀態(tài)可以用（2Nr）Г空間中的一個(gè)代表點(diǎn)表示。對(duì)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，如果系統(tǒng)所可能的微觀狀態(tài)數(shù)為則一微觀態(tài)出現(xiàn)的概率為（1/?統(tǒng)熵為（kln?

．玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的區(qū)別在于系統(tǒng)中的粒子是遵從（泡利不相容原理）原，其中費(fèi)米）系統(tǒng)的分布必須滿足0≤fs≤。．玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)在滿足（經(jīng)典限條件或e

-

α

或α>>1條件時(shí)，可以使用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。．

dUlllll

l

給出內(nèi)能變化的兩個(gè)原因，其中（

ll

）項(xiàng)描述傳熱

dl

l

）項(xiàng)描述做功。ll．粒子數(shù)守恒的玻色系統(tǒng)，溫度下降會(huì)使粒子的化學(xué)勢(shì)（升果溫度足夠低，則會(huì)發(fā)生（?！獝?ài)因斯坦凝聚時(shí)統(tǒng)的能量U＝0強(qiáng)＝0＝（000．已知粒子遵從經(jīng)典玻爾茲曼分布，其能量表達(dá)式

(p

x

2

p

y

2

z

2

)ax

2

，粒子的平均能量為2kT－b/4a．當(dāng)溫度（很低或粒子數(shù)密度（很）時(shí)玻色系統(tǒng)與費(fèi)米系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)會(huì)強(qiáng)。如果系統(tǒng)的分布函數(shù)為ρ，系統(tǒng)在量子態(tài)s的能量為，ρs

和表：系統(tǒng)的平均能量為（

E

s

E

s

能量漲落為（

s

(s

2

寫成

2E)

也得分

ss．與宏觀平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的是穩(wěn)定系綜，穩(wěn)定綜的分布函ρ具有特點(diǎn)（d/dt=0或時(shí)間無(wú)關(guān)等同樣的意思也得分時(shí)ρ也足s歸一化條件。二．計(jì)算證明題（每題10分共60分）．假定某種類型分子（設(shè)粒子可以分辨）的許可能為，，2，3而都是非簡(jiǎn)并的，如果系統(tǒng)含有6個(gè)子，問(wèn)：（）與總能量3相聯(lián)系的分布是什么樣的分布？分布需滿足的條件是什么？（）根據(jù)公式

N!al!lll

計(jì)算每種分布的微觀態(tài)數(shù)；（）確定各種分布的概率。解：能級(jí)：能量值：簡(jiǎn)并度：分布數(shù)：

ε，ε，ε，ε，12340，ω，2，，1，1，1，1，a,a,a,a,…1234

xyxy分布

l

要滿足的條件為：

Nlll

ll

E滿足上述條件的分布有：B：

lll

6!

6;6!各分布對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為：C

6!3!

20所有分布總的微觀態(tài)數(shù)為：

30各分布對(duì)應(yīng)的概率為：

//560.107;AA//56BB/56C2．表面活性物質(zhì)的子在液面（面積為A上做二維自由運(yùn)動(dòng)，可看作二維理想氣體，設(shè)粒子的質(zhì)量為m，總粒子數(shù)N。（）求單粒子的配分函數(shù)Z；1（）在平衡態(tài)，按玻爾茲曼分布率，寫出位在x到x＋，y到y(tǒng)＋dy內(nèi)動(dòng)量在p到dp，p到p＋內(nèi)的分子數(shù)dN；xxxyyy（）寫出分子按速度的分布；（）寫出分子按速率的分布。解單粒子的配分函數(shù)

z1

1h2

e

()

dp(2h2

mkT)（）

dN

)

dxdydph

NdxdydpdpxyZ21（）將）代入2對(duì)積，得分子按速度的分布為

(v

2kT

)e

(v2)dvdvxx（）有）可得分子按速的分布為：

(

)e

2

vdvN()kT

2kT

vdv．定域系含有N個(gè)獨(dú)立粒子，每個(gè)粒子有兩個(gè)非簡(jiǎn)并能ε＝－，ε＝，其ε120

0

大于零且為外參量y函數(shù)。求：（1溫度為T時(shí)于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之比，說(shuō)明在極端高溫和極端低溫時(shí)粒子數(shù)的特點(diǎn)；（2系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容量（3極端高溫和極端低溫系統(tǒng)的熵。解）粒子的配分函數(shù)為：

1

l

l

110處于基態(tài)的粒子數(shù)為：NN1處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為：;溫度為T時(shí)于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子之為：

N2Ne1

ekTe極端高溫時(shí)：ε《kT，0

N2N1

即于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)基相同；極端低溫時(shí)：ε》kT，0

N2N1

即子幾乎全部處于基態(tài)。（2系統(tǒng)的內(nèi)能：

1ln(

0

ee

熱容量：

)()kTkT

1

ee

)

Slnlnln（3極端高溫時(shí)系統(tǒng)的熵極端低溫時(shí)系統(tǒng)的熵S=0．對(duì)弱簡(jiǎn)并的非相對(duì)論費(fèi)米氣體，求：（1粒子數(shù)分布的零級(jí)近f與一級(jí)修正Δf；01（2證明：與零級(jí)近似相，粒子數(shù)的相對(duì)修正量和內(nèi)能的相對(duì)修量均正比于

。解：費(fèi)米氣體分布函數(shù)為：

f

1

（1

f

11

f0

，

1

（2

(

)d

d

(D

e

f

e

．金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數(shù)密n（1簡(jiǎn)述：＝0K時(shí)子氣體分布的特，并說(shuō)明此時(shí)化學(xué)μ的意義；0f

T=0K

（2）明T＝0K時(shí)子的平能量

0

35

0

，簡(jiǎn)并壓強(qiáng)

2pn5

0

；（3）似計(jì)算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容比。

μ0

ε

（1）表＝0K時(shí)子最能量。電子從ε＝0的級(jí)開(kāi)始，先占據(jù)低能級(jí)，然后占據(jù)高能級(jí)，遵0

120fD)ddCV200000ff3V從泡120fD)ddCV200000ff3Vf1(<f=0>)0032dUd30015N12d002UU2232p335111（（（f時(shí):222T>0K時(shí)只有在μ附近kT量級(jí)范圍內(nèi)的電子可躍到高能級(jí)，對(duì)C有獻(xiàn)，設(shè)這部分電子的數(shù)為N，則Veff

N

eff

N

kT

。每一電子對(duì)C的獻(xiàn)為3kT/2,則屬中自由電子對(duì)Cv的獻(xiàn)V

C

33kTNkkT3NkkT3NkkN()()()22kT2ff晶格的熱容量為Cv＝3Nk，

CT0(:10C2Tf

4

5

)UU0．固體的熱運(yùn)動(dòng)可以視為3N個(gè)立正振動(dòng)，每個(gè)振動(dòng)具有各自的簡(jiǎn)正頻ωi，內(nèi)能的表式為：

i

e

i

，式中的求和遍及所有的振動(dòng)模式，實(shí)際計(jì)算時(shí)需要知道固體振動(dòng)的頻譜（1寫出愛(ài)因斯坦模型中用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并以簡(jiǎn)單說(shuō)明；（2用愛(ài)因斯坦模型求高下固體的熱容量；（3用德拜模型證明低溫固體的熱容量正比于T。解）愛(ài)因斯坦模型：N分子的振動(dòng)簡(jiǎn)化為同率（ω）的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，每個(gè)振的能級(jí)為

1n)2

；德拜模型：N個(gè)子振動(dòng)簡(jiǎn)化為個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)，每個(gè)振子的頻不同，且有上限，D

d

Bd

.(2)愛(ài)斯坦模:ll3N3NU

n)

2

;V

e)N