二次根式化簡(jiǎn)的方法與技15二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的糖念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次眼式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法：①先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn)②二次根式的乘法可以參限多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式4a-4b=>[ab(4/>0,Z?>0)③對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫(xiě)成分式的形式，熱后通過(guò)分段有理化進(jìn)行運(yùn)算.④二次板式的加清法與多項(xiàng)式的加減法類做，即在化簡(jiǎn)的基硝上去括號(hào)與合并同類⑤運(yùn)算結(jié)果一般要化成量筒二次根式.化筒二次根式的常用技耳與方法所謂轉(zhuǎn)化：解教學(xué)題的常用策略。常言道：“兵無(wú)常勢(shì)，水無(wú)常形。”我力在解千變?nèi)f億的數(shù)學(xué)題時(shí)，常常思維受阻，怎么辦？運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，換個(gè)角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解題的施徑。二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)量要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本收念和運(yùn)算法妙外，還要掌握一些特殊的方法和技15,會(huì)收到事半功倍的效果，為分、合并是化簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)I要手段，因此我ri在化筒二次根式時(shí)應(yīng)想辦法把題目轉(zhuǎn)化為可以為分和和可以合并的同類根式。現(xiàn)舉惻說(shuō)明一些常見(jiàn)二次根式的轉(zhuǎn)化策略。一、四用公式法a-2y1ba+〃+〃一〃例1,計(jì)算&-屈 &+亞舄原式（3+2右）—（0+湍）~~ 1+V2-V3_（1+7^）2—仆（1+應(yīng)）― 1+V2-V3=1+V2三、正■設(shè)元化筒法。2屈例3:化簡(jiǎn)72+75+^分析：本例主要說(shuō)明it數(shù)字根式轉(zhuǎn)化成字母的代替效字化筒法，通過(guò)化簡(jiǎn)替代，便其變?yōu)楹?jiǎn)單的運(yùn)算，再運(yùn)用有理效四J8運(yùn)算法國(guó)的化簡(jiǎn)分式的方法化筒，倒如：J5=4,JS=c,J，=A，必=J6,正好與分子明合。對(duì)于分子，我f］發(fā)現(xiàn)/+〃=。2所以a2+b2-c2=Ot于是在分子上可加/+〃一。2=0,因此可能能使分子也有望化為含有4+/2+C因式的積，這樣便于為分化簡(jiǎn)。解：議a=（1,后=b*息=C,H2ab=2瓜且a2+b2-c2=0

_2aba+b+c2ab+a2+一a+b+c_(a+ —c2a+b+c(a+Z?+cX4+b—c)a+Z7+c=a+b—c=V2+V3-V5四、拆91變形法例4,計(jì)算W+2-76+>/5(x/5+y/b^Jb例4,計(jì)算分析：本倒通過(guò)分析仍然要想到，把分子化成與分母含有相同因式的分式。通過(guò)為分化簡(jiǎn)，如轉(zhuǎn)化成：4=1+:再化筒，便可知其答案。ababR：原式(?x/^+ )-t-(V6-+- )(V5-fV6X-x/6-fV7)V5+V6,V6+V7(V5+V6/V6+V7)(V5+76^76+V7)

11 I- -V5+V6V6+V7=V6-V5+V7-V6=V7-a/5五、整體倒數(shù)法。(a/5+ +1)倒5、計(jì)算、底+2后+1分析：本倒主要運(yùn)用了變倒數(shù)后，再運(yùn)用有關(guān)公式：4」+；，化簡(jiǎn)但還要abab(a/5+a/3)(a/3+1)(a/5+a/3)(a/3+1)V5+2V3+1解：SA=JJ_= 4+2/+1五一(Vs-hV3XV3-Hl)_ + (V^'+i)5 3+]J-_11-V3-+-1Vs-f-V3V3—1V5—V3= + 2 2一2所以A=2所以A=2V5-1公+12^借用整教ar處理法。+3及-26倒6、計(jì)算夜+再+、后分析：本用運(yùn)用很多方面的知識(shí)如：1=/+啦)(行一行)和.(〃一〃)x(a+b)=cr-b\然后再運(yùn)用乘法分配率，使分子與分母有相同因式，再為分化筒。解：原式_(遙+⑸遙-⑸+3上-26―V2+V3+V6二(6+行)(遙-⑸+鬧&-⑸―V2+V3+V6_(V3—V2)(V3—V2+V6)\13+-\^2,+yfG=V3-V2A.恒等變形整體代入結(jié)合法?7：Bflx=；("+括)，y=l(V7-V5),求下列各式的值。乙 乙(1)x2-xy+y2；⑵二十工)，x分析：本根運(yùn)用整伙代入｝Ux+y與xy的值分別求出來(lái)，再運(yùn)用整體代入法符x+y與刈代入例題中，但一定要拈府求多項(xiàng)式進(jìn)行恒等變形便通中含有x+y與xy的因式，如/一封+V=(x+ —30，熱后再到分化簡(jiǎn)。解：X=—(V7+>/5),y=—(y/l—yf5),所以：A+y=V7,Ay=^o乙ok—xy+y=(x+y)2—3王y=(V7)2-3xl工+工2V”工一+_(x+y)2—2ty(VT)2—2x；七、擇次收易法：倒8、己虬1=2+6,求三二t2的值。2x-7分析：本倒運(yùn)用了使題中2次屆項(xiàng)轉(zhuǎn)化成1次方的項(xiàng)再化簡(jiǎn)。如倒題中犯多項(xiàng)式V+4X-1轉(zhuǎn)化為4X-1,這樣進(jìn)行低次易運(yùn)算就容易了。解：由x=2+白，得..2=/。（x—2尸=3整理得：x2=4x-1e

3x2—2x+5=3(4x—l)—2x+5=10(2+73)+2=22+10。2x-7=2(2+V3)-7=2V3-3所以原式_22—―2V3—374-V3=42+ 3二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法.公式法ab一/，十一十2ab一/，十一十2而【例1】計(jì)算①瓜*行;【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便..觀察特征法

2?+--3企【例2】計(jì)算：2+廢-森【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，級(jí)要進(jìn)行兩次分號(hào)有理化，計(jì)算相當(dāng)麻短，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)司乘以后，蘇得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下:【解】原式2+茂-逐一【解】原式2+茂-逐一73［?3］先下列各式的分母有理伍n-、b 、/.+1+2/x—1（1）〔而一加），@_&）；（2），兀+1+以-1（無(wú)>1）【方法導(dǎo)引】①式分母中有兩個(gè)因式，哥它有理化要乘以兩個(gè)有理化因或那樣分子符有三個(gè)因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即將分子，這僦啟示我力可以用如下解法：=（聲一，同：卜歷-次）=1+1盛卡廄石+府= + =b盛卡廄石+府= + =b-ca-b二Kt+7一TT7-一7.歷+一一?而~b[a-b)[a-c)b-c【方法導(dǎo)引】②式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn).但是，不難發(fā)現(xiàn)②式分子中反與的系數(shù)若為“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：…—i/El_【解】②原式、1+行彳=1a.; 7x-i（7x-i-7x-i）（Vi+1+Va- +1-six-1）=1+

=1+3,運(yùn)用配方法[?4]]簡(jiǎn),3一2、年【解】原式=72-272+1=7(a/2)2-2x72x1+12【解】原式=萩-1丫=72-1【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開(kāi)方后必系是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“1一，5”Jb-反+16+Jb-反+16+存【倒5】化筒[解](斤薦+?+府1二6一.國(guó)+246-席)(6十席卜6十735=12+2讀-35=舊.J6一席+J6+*=./14??【解后評(píng)注】對(duì)于這類共匏根#一痣與"心的有關(guān)呵%一般用平方法，可以進(jìn)行化簡(jiǎn).恒等變形公式法[?6]化簡(jiǎn)[?6]化簡(jiǎn)[42.+#-在，+(招一、巨+,而y【方法導(dǎo)弓I】若直接展開(kāi)，計(jì)算數(shù)案，如利用公式("“+("-')2=2公"),H便運(yùn)算筒伍【解】原式=國(guó)+/一⑹卜居-伊?=2上門(mén)j+(72=2x(3+8-473)=22-8后.常值換元法［例7】化簡(jiǎn)。9%乂1999乂2000乂2001+1[解]令1998=%小原式=^la[a+I)[a+2)[a+3)+1原式=i/(“2+ +5+2)+]= +3°丫+zQ"+3」)+1=^[a1+3a+1)2=>+%+1=1998?+3x1998+1=3997999.裂頂法111A1［倒8］化簡(jiǎn)1+應(yīng)短4、月正』J? 祗0441。。【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式=卜口-1）+1回-何+A+（,頌一屈）+（阿］阿）=鬧-1=10-1=9【例9】化筒2+2幣+際4+2岳+振曲+M［2+、/7）（713+^/10^+713）【方法導(dǎo)弓I】這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母招十分繁鎖，但我f］不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和，于是IS有如下簡(jiǎn)解：_（＞"）+（?呵\#+而）"+何［解］原式（行+凱0）2+"） .厄+J10；（4+V13）= -十 + + 77+a/IO2+近a/13+TW4十、厄氏一幣幣-2岳-排4-713= + 4- + 3 3 3 3斤+/-2+而一加+4-、間=|.枸造對(duì)偶式法?+2+J爐-4+2+J/—4, 十? I［倒］0】化筒與十2一J笳-4雙十2十-4【解】構(gòu)造對(duì)解式，于是沒(méi)?=?+2+a/?2-4i=?+2-Jr2-4

9則。+方=24+4,q&=4h+8,ab=2［*b)abC3+b)］ca'b=一十一= =' -2= 2原式方q a8ah2=h+2-2=h.由里向外，9層化筒J199邸997M6J1995X1993+1十1十1十1［解］..71995x1993+1=7(1994+1)(1994-1)+1J1994?=1994而71996x1994+1=J(1995+1)(1995—1)+1=后臥=199571997x1995+1=J0996+1)(1996-1)+1=依婚=1996,后才J1998%1996+1=J(1997+1)(1997-1)+1 ］997【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化筒問(wèn)題，應(yīng)采用由里向外，由同郵到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理..由右到左，逐源化簡(jiǎn)【例11】化簡(jiǎn)《2+道■也十也十用?,2+^2+