統計過程控制（SPC）與休哈特控制圖(二)第五章休哈特控制圖一、特控制圖的種類及其用途國標GB4091常規控制圖是針對休哈特控制圖的。根據該國標,常規休哈特控制圖如表常規的休哈特控制圖。表中計件值控制圖與計點值控制圖又統稱計數值控制圖。這些控制圖各有各的用途,應根據所控制質量指標的情況和數據性質分別加以選擇。常規的休哈特控制圖表中的二項分布和泊松分布是離散數據場合的兩種典型分布,它們超出.XMED一R控制圖與.XMED一R控制圖與x一R圖也很相似,只是用中位數圖(XMED圖)代替均值圖(x圖)。所謂中位數即指在一組按大小順序排列的數列中居中的數。例如,在以下數列中2、3、7、13、18,中位數為7。又如,在以下數列中2、3、7、9、13、18,共有偶數個數據。這時中位數規定為中間兩個數的均常規的休哈特控制圖數據數據分布控制圖簡記計量值正態分布均值-極差控制圖x一R控制圖均值-標準差控制圖x一R控制圖中位數-極差控制圖Xmed一R控制圖單值-移動極差控制圖x一Rs控制圖計件值二項分布不合格品率控制圖P控制圖不合格品數控制圖Pn控制圖計點值泊松分布單位缺陷數控制圖U控制圖缺陷數控制圖C控制圖現在簡單說明各個控制圖的用途:x一R控制圖。對于計量值數據而言,這是最常用最基本的控制圖。它用于控制對象為長度、重量、強度、純度、時間和生產量等計量值的場合。x控制圖主要用于觀察分布的均值的變化,R控制圖用于觀察分布的分散情況或變異度的變化,而x一R圖則將二者聯合運用,用于觀察分布的變化。x一s控制圖與x一R圖相似,只是用標準差圖(s圖)代替極差圖(R圖)而已。極差計算簡便,故R圖得到廣泛應用,但當樣本大小n>10或口,這時應用極差估計總體標準差。的效率減低,需要應用s圖來代替R圖。79值。在本例即2=8。由于中位數的計算比均值簡單,所以多用于現場需要把測定數據直接記入控制圖進行控制的場合,這時為了簡便,當然規定為奇數個數據。4.x一Rs控制圖。多用于下列場合:對每一個產品都進行檢驗,采用自動化檢查和測量的場合;取樣費時、昂貴的場合;以及如化工等過程,樣品均勻,多抽樣也無太大意義的場合。由于它不像前三種控制圖那樣能取得較多的信息,所以它判斷過程變化的靈敏度?要差一些。5.P控制圖。用于控制對象為不合格品率或合格品率等計數值質量指標的場合。這里需要注意的是,在根據多種檢查項目總合起來確定不合格品率的情況,當控制圖顯示異常后難以找出異常的原因。因此,使用p圖時應選擇重要的檢查項目作為判斷不合格品的依據。常見的不良率有不合格品率、廢品率、交貨延遲率、缺勤率,郵電、鐵道部門的各種差錯率等等。6.Pn控制圖。用于控制對象為不合格品數的場合。設n為樣本大小-戶為不合格品率,則t為不合格品個數。所以取pn作為不合格品數控制圖的簡記記號。由于計算不合格品率需進行除法,比較麻煩,所以在樣本大小相同的情況下,用此圖比校方便。7.c控制圖。用于控制一部機器,一個部件,一定的長度,一定的面積或任何一定的單位中所出現的缺陷數目。如布匹上的疵點數,鑄件上的砂眼數,機器設備的缺陷數或故障次數,傳票的誤記數,每頁印刷錯誤數,辦公室的差錯次數等等。8.u控制圖。當上述一定的單位,也即樣品的大小保持不變時可以應用c控制圖,而當樣品的大小變化時則應換算為平均每單位的缺陷數后再使用u控制圖。例如,在制造厚度為2mm的鋼板的生產過程中,一批樣品是2平方米的,下一批樣品是3平方米的。這時就都應換算為平均每平方米的缺陷數,然后再對它進行控制。二、應用控制圖需要考慮的一些問題應用控制圖需要考慮以下一些問題:控制圖用于何處?原則上講,對于任何過程,凡需要對質量進行控制管理的場合都可以應用控制圖。但這里還要求:對于所確定的控制對象一質量指標應能夠定量,這樣才能應用計量值控制圖。如果只有定性的描述而不能夠定量,那就只能應用計數值控制圖。所控制的過程必須具有重復性,即具有統計規律。對于只有一次性或少數幾次的過程顯然難于應用控制圖進行控制。如何選擇控制對象?在使用控制圖時應選擇能代表過程的主要質量指標作為控制對象。一個過程往往具有各種各樣的特性,需要選擇能夠真正代表過程情況的指標。例如,假定某產品在強度方面有問題,就應該選擇強度作為控制對象。在電動機裝配車間,如果對于電動機軸的尺寸要求很高,這就需要把機軸直徑作為我們的控制對象。在電路板沉銅缸就要選擇甲醛、Na0H、Cu2的濃度以及沉銅速率作為多指標統一進行控制。怎樣選擇控制圖?選擇控制圖主要考慮下列幾點:首先根據所控制質量指標的數據性質來進行品,如數據為連續值的應選擇x一R、x一s、XMED一Rs或x一Rs圖;數據為計件值的應選擇p或pn圖,數據為計點值的應選擇c或u圖。其次,要確定過程中的異常因素是全部加以控制(全控)還是部分加以控制(選控),若為全控應采用休哈特圖等;若為選控,應采用選控圖,參見第七章(一);若為單指標可選擇一元控制圖,若為多指標則須選擇多指標控制圖,參見第七章(二)。最后,還需要考慮其他要求,如檢出力大小,抽取樣品、取得數據的難易和是否經濟等等。例如要求檢出力大可采用成組數據的控制圖,如x一R圖。如何分析控制圖?如果在控制圖中點子未出界,同時點子的排列也是隨機的,則認為生產過程處于穩定狀態或控制狀態。,如果控制圖點子出界或界內點排列非隨機,就認為生產過程失控。對于應用控制圖的方法還不夠熟悉的工作人員來說,即使在控制圖點子出界的場合,也首先應該從下列幾方面進行檢查:樣品的取法是否隨機,數字的讀取是否正確,計算有無錯誤,描點有無差錯,然后再來調查生產過程方面的原因,經驗證明這點十分重要。對于點子出界或違反其他準則的處理。若點子出界或界內點排列非隨機,應執行第二章（五）的20個字,立即追查原因并采取措施防止它再次出現。應該強調指出,正是執行了第二章（五）的20個字,才能取得貫徹預防原則的作用。因此,若不執行這20個字,就不如不搞控制圖。對于過程而言,控制圖起著告警鈴的作用,控制圖點子出界就好比告警鈴響,告訴現在是應該進行查找原因、采取措施、防止再犯的時刻了。雖然有些控制圖,如x一R控制圖等,積累長期經驗后,根據x圖與R圖的點子出界情況,有時可以大致判斷出是屬于哪方面的異常因素造成的,但一般來說,控制圖只起告警鈴的作用,而不能告訴這種告警究竟是由什么異常因素造成的。要找出造成異常的原因,除去根據生產和管理方面的技術與經驗來解決外,應該強調指出,應用兩種質量診斷理論和兩種質量多元診斷理論來診斷的方法是十分重要的。有關內容參見第七章?？刂茍D的重新制定?？刂茍D是根據穩定狀態下的條件(人員、設備、原材料、工藝方法、環境,即4M1E)來制定的。如果上述條件變化,如操作人員更換或通過學習操作水平顯著提高,設備更新,采用新型原材料或其他原材料,改變工藝參數或采用新工藝,環境改變等,這時,控制圖也必須重新加以制定。由于控制圖是科學管理生產過程的重要依據，所以經過相當時間的使用后應重新抽取數據,進行計算,加以檢驗。8.控制圖的保管問題。控制圖的計算以及日常的記錄都應作為技術資料加以妥善保管。對于點子出界或界內點排列非隨機以及當時處理的情況都應予以記錄,因為這些都是以后出現異常時查找原因的重要參考資料。有了長期保存的記錄,便能對該過程的質量水平有清楚的了解,這對于今后在產品設計和制定規格方面是十分有用的。三、x-R(均值-極差)控制圖對于計量值數據,x一R(均值一極差)控制圖是最常用、最重要的控制圖,因為它具有下列優點:適用范圍廣。對于x圖而言,計量值數據x服從正態分布是經常出現的。若x非正態分布,則當樣本大小n≤4或5時,根據中心極限定理,知道x近似正態分布。對于R圖而言,通過在電子計算機上的統計模擬實驗證實,只要總體分布不是太不對稱的,R的分布沒有大的變化。這就從理論上說明了x一R圖適用的范圍廣泛。靈敏度高。x圖的統計量為均值x,反映在x上的偶然波動是隨機的,通過均值的平均作用,這種偶然波動得到一定程度的抵消;而反映在x上的異常波動往往是在同一個方向的,它不會通過均值的平均作用抵消。因此,正圖檢出異常的能力高。至于R圖的靈敏度則不如x圖高?，F在說明一下x一R圖的統計基礎,假定質量特性服從正態分布N(μ,σ2),且μ,σ均已知。若x1,x2,...,xn是大小為n的樣本,則樣本均值為x1x2...xn x= n 由于x服從正態分布N(μ,σ2/n),并且樣本均值落入下列兩個界限nσzσznμ-α/2χ=μ-α/2(5.3-1a)nσzσznμ+α/2χ=μ+α/2(5.3-1b)間的概率為1-α。因此若μ與σ已知,則式(5.3-1a)與式(5.3-1b)可分別作為樣本均值的控制圖的上下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3σ控制界限。當然,即使x的分布是非正態的,但由于中心極限定理,上述結果也近似成立。在實際工作中,μ與σ通常未知,這時就必須應用從穩態過程所取的預備樣本的數據對它們進行估計。預備樣本通常至少取25個(根據判穩準則(2),最好至少取35個預備樣本)。設取m個樣本,每個樣本包含n個觀測值。樣本大小n主要取決于合理分組的結構,抽樣與檢查的費用,參數估計的效率等因素,n通常取為4,5或6。令所取的m個樣本的均值分別為x,x,...,x,則過程的μ的 1 2 m最佳估計量μ為總均值x,即μ=x=（x+x+…+x）/m(5.3-2) 1 2 m于是x可作為x圖的中心線。為了建立控制界限,需要估計過程的標準差σ可以根據m個樣本的極差或標準差來進行估計。應用極差進行估計的優點是極差計算簡單,所以至今R圖的應用較s圖為廣?，F在討論極差法。設x1,x2,...,xn為一大小為n的樣本,則此樣本的極差R為最大觀測值xmax與最小觀測值xmin之差,即R=xmax-xmin(5.3-3)若樣本取自正態總體,可以證明樣本極差R與總體標準差σ有下列關系:令W=R/σ,可以證明E(W)=d2,為一與樣本大小n有關的常數,于是,σ的估計量為σ=E(R)/d2。令m個樣本的極差為R1,R2,...,Rm,則樣本平均極差為R1R2...Rm R= m (5.3-4)故σ的估計量為σ=E(R)/d2(5.3-5)若樣本大小n較小,則用極差法估計總體方差與用樣本方差去估計總體方差的效果是一樣的。但當n較大,如n>10或12,則由于極差沒有考慮樣本在xmax與xmin之間的觀測值的信息,故極差法的效率迅速降低。但在實際工作中,x一R圖一般取n=4，5或6,所以極差法是令人滿意的。若取μ的估計量為x，σ的估計量為E(R)/d2,則x圖的控制線為σ σAUCL=μ+3n≈x+3d2nR=x+2RCL=μ≈x(5.3-6)σ σALCL=μ-3n≈x-3d2nR=x-2R式中σA2=3d2n(5.3-7)為一與樣本大小n有關的常數,參見附錄Ⅴ計量值控制圖系數表。由上述,已知樣本極差R與過程標準差σ有關,因此可以通過R來控制過程的變異度,這就是Rμ圖。R圖的中心線即R=R。為了確定R圖的控制界限,需要對σR進行估計。若質量特性服從正態分布,令W=R/σ,可以證明σw=d3(d3為一與樣本大小n有關的常數),于是從R=Wσ知知σR=σwσ=d3σ。由于σ未知,故從式σ=E(R)/d2得σR的估計量為σ=d3R/d2(5.3-8)根據上述,得到R圖的控制線如下μR+3μR+3σR≈R+3R=R+3d3UCL=μμR/d2CL=R≈R=R/d2 μσμσ LCL=R-3R≈R-3R=R-3d3R/d2令D3=1-3d3/d2，D4=1+3d3/d2，則代入上式后，得R圖的控制線為DUCL= 4RCL=R(5.3-10)DLCL= 3R式中,系數D3、D4參見計量值控制圖系數表。現在我們通過例子說明建立x一R圖的步驟,其他控制圖的建立步驟也與此類似。例5.3-1廠方要求對汽車引擎活塞環的制造過程建立x一R控制圖進行控制。現取得25個樣本，每個樣本包含5個活塞環的直徑的觀測值，如活塞環直徑的數據表所示。解我們按下列步驟進行。步驟1:取預備數據。已取得預備數據如活塞環直徑的數據表所示。步驟2:計算樣本均值x。例如,對于第一個樣本,我們有74.03074.00274.01973.99274.008 x1= 5 =74.010其余類推。步驟3:計算樣本極差R。例如,對于第一個樣本,xmax=74.030,xmin=73.992,于是有R1=74.030-73.992=0.058其余類推?；钊h直徑的數據樣本序號樣本序號觀測值x1Ri174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022573.99274.00774.01573.98974.01574.0030.026674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012步驟4:計算樣本總均值x與平均樣本極差。由于i1=1850.024,i1=0.581,故125xi1850.024x=25i1= 25 =74.001R125R0.581=25i1=25=0.023步驟5:計算R圖與x圖的控制線。計算x一R圖應該從R圖開始,因為x圖的控制界限中包含R,所以若過程的變異度失控,則計算出來的這些控制界限就沒有多大意義。對于樣本大小n=5,從附錄V查得D3=0,D4=2.115,又從步驟4知R=0.023,于是代入式(5.3-10)后,得到R圖的控制線為DUCL= 4R=2.115(0.023)=0.049CL=R=0.023DLCL=3R=0(0.023)=0如x一R控制圖所示。事實上,LCL=D3R=(1一3d2/d3)R,當n=5,1-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114為負值,但R不可能為負,故此時LCL不存在。這里,LCL=0不過作為R的自然下界而已。當把25個預備樣本的極差描點在R圖中后,根據判斷穩態的準則(1)知過程的變異度處于控制狀態。于是可以建立x圖。對于樣本大小n=5,從附錄V查得A2=0.577,又從步驟4知x=74.001,R=0.023,于是σ σA代入式UCL=μ+3n≈x+3d2nR=x+2RCL=μ≈x σ σALCL=μ-3n≈x-3d2nR=x-2R后,得到x圖的控制線為AUCL=x+2R=74.001+0.577(0.023)=74.014CL=x=74.001ALCL=x-2R=74.001一0.577(0.023)=73.988如圖（x-R控制圖）所示。當把預備樣本的均值描點在x圖中后,根據判斷穩態的準則(1)知過程的均值處于穩態。由于x圖和R圖都處于統計穩態,且從該廠知過程也處于技術穩態,于是上述x-R圖可加以延長,作為控制用控制圖供日常管理之用。步驟步驟6:延長上述x一R圖的控制界限作控制用控制圖。為了進行日常管理,該廠又取了15個樣本,參見x一R圖的日常管理數據表。在計算出各個樣本的x與R后在x一R圖描點,如x一R圖用于日常管理圖所示。從圖中可見,x圖在第11個樣本后的幾個點子均出界,說明存在異常因素。事實上,從x圖上第9、第10個點子后的點子逐漸上升的趨勢已可看出這是由于過程均值逐漸增大的結果。現在對現在對x一R圖進行一些討論:情況x圖R圖情況x圖R圖判斷一告警未告警μ變化二未告警告警σ變化三告警告警σ變化,至于μ變化是否發生應視具體情況而定四未告警未告警正常一R圖的判斷是成立的,至于情況三,現在說明如下:對于正態分布總體N(μ,σ2),只有μ變化而σ不變,則在x圖將由于描點出界的概率增大而告警;但若只有σ變化,而μ不變,這時不僅R圖將由于描點出界的概率增大而告警,且x圖中描點出界的概率也增大,從而也會告警。所以在情況三,R圖告警可以判斷σ變化,而x圖同時告警則不能判斷μ一定發生變化,因為有可能是由于σ變化引起的,μ是否發生變化應視具體情況而定。2.2.容差圖。在x圖上的描點是樣本的平均值x而非樣本的各個測量值x,有時將樣本中的逐個x反映在規格界限的容差圖中是有用的,如圖（容插圖）所示。圖中的豎線表示該樣本中各個x值的范圍,規格界限為74.000±0.03。從圖（容插圖）可見,圖（x一R圖用于日常管理圖）連續4個點子出界并非是由于樣本的個別異常觀測值造成的,而是由于過程均值的偏移而造成的。我們求得從第9組到第15組樣本的總均值為74.015,若過程均值從原來的穩定值74.001偏移到此值,則將產生6.43%的不合格品。3.控制界限、規格界限與自然容差界限間的關系。x一R圖的控制界限與規格界限毫無關系完全是兩碼事。規格界限是由技術經濟要求所決定的,而控制界限則是由過程的以標準差σ度量的自然變異度,亦即過程的自然容差界限所決定的.兩者不可混為一談，如圖（控制界限、規格界限于自然容差界限）所示。應用x應用x一R的一些注意事項：4.(1)合理分組原則。在收集數據進行分組時要遵循休哈特的合理分組原則:1)組內差異僅由偶然波動(偶然因素)造成;2)組間差異主要由異常波動(異常因素)造成。下面作些說明。首先,若過程穩定,則在過程中只存在偶然波動(偶然因素),它由3σ方式中的σ所反映。如果確定σ值不僅有偶然波動而且還有異常波動,則σ值增大,也即上下控制界限的間隔加大。在極端情況下,若異常波動全部進入σ值的計算,則上下控制界限的間隔將大到使任何點都不會出界。從而控制圖就失去了控制的作用。因此,一個樣本組內各個樣品特性值的差異要求盡可能由偶然波動造成。這就要求同一個樣本組的各個樣品的取樣應在短時間內完成。其次,各個樣本組的統計量平均值也是有差異的。由于偶然波動始終存在,它必然會對此差異有影響,但這種影響是微小的。若過程異常,要求統計量平均值之間的差異主要由異常波動(異常因素)造成,這樣便于由控制圖檢出異常。這就要求在容易產生異常的場合增加抽樣頻率,反之,亦然。(2)經濟性。抽樣的費用不得高于所獲得的效益。(3)樣本大小n和抽樣頻率。若用x控制圖去檢出過程的較大偏移,例如2σ或更大的偏移,則可用較小的樣本(如n=4,5或6)即可將其檢出,若檢出較小的過程偏移,則需用較大的樣本,甚至需要n=15至25。當然,較小的樣本在抽樣時正好碰到過程偏移的可能性也小。因此,可以采用添加警戒限和其他判定界內點非隨機排列的原則,來提高控制圖檢出過程小偏移的能力,而不采用大樣本的作法。對于R圖,若采用小樣本則對于檢出過程標準差的偏移是不很靈敏的,但大樣本(n>10),用極差法估計標準差的效率將迅速降低。因此,對于n>10的樣本,應該采用s圖而不用R圖。在確定正圖和R圖的樣本大小時,x圖和R圖的操作特性曲線是有用的。至于抽樣頻率,實踐表明多傾向于采用小樣本、短間隔而不是大樣本、長間隔。（4）x圖和R圖檢出過程質量偏移的能力可由其操作特性曲線(簡稱OC曲線)來描述。1)x圖的檢定能力和OC曲線。假定過程標準差σ為常數,若過程均值由穩定狀態值μ0偏移到另K一值μ1,其中μ1=μ0+σ,則在偏移后第一個抽取的樣本未檢出此偏移的概率(即第Ⅱ類錯誤的概率)或β風險為Kβ=P{LCL≤x≤UCL|μ=μ1=μ0+σ}（5。3-11）由于x～N(μ,σ2/n),而x圖的上下控制界限分別為σUCL=μ0+3n,σnUCL=μ0-3n,n于是,可將式(5.3一11)寫成 UCL(μK) UCL(μK)0σβ=Φ[n/00σn/0σσμ3σ/n(μK)μ3σ/n(μK) 0 0 σ 0 0 σ=Φ[ σ/n ]-Φ[ σ/n ]=Φ(3-Kn)-Φ(-3-Kn)（5.3-12）式中,φ為標準正態累積分布函數,參見附錄I表A一1。根據式β=Φ(3-Kn)-Φ(-3-Kn)可作出x圖的OC曲線如μ變化而σ一定時x圖的OC曲線圖所示。從圖中可見,當n一定時,β值隨K的增加而減少;而當K一定時,β值隨n的增加也減少。當樣本大小n<4,5或6時,x圖由偏移后第一個樣本就檢出過程的小偏移并不有效。例如,若偏移為1.0σ,n=5,則由此圖可查得β近似等于0.75,于是此偏移由第一個樣本檢出的概率僅僅為1一β=1一0.75=0.25;此偏移由第二個樣本檢出的概率為βK1β(1一β)=0.75(1一0.75)=0.19;...;此偏移由第K個樣本檢出的概率為 (1一β)。一般,為檢出此偏移的期望樣本個數為,KβK1(1一β)=β11（5.3-13）由此,在本例有/由此,在本例有/1（1一β）=1/0.25=4,即若n=5,在x圖檢出1.0σ的偏移的期望樣本個數為4個。以上討論是當總體標準差σ一定而均值μ變化時x圖的OC曲線。若μ值一定而σ變化,不妨設標準差由σ偏移到σ=K1σ,則與式(5.3-12)類似地可得出β風險為nnK//300σσμμnnK//3100σσμμ K K=Φ(3/1)-Φ(-3/1)（5.3-14）表5.3一4是根據式(5.3一14)計算得到的β值。由此表可知,x圖不僅對μ的變化具有檢定能力,而且對σ的變化也具有檢定能力,也就是說,即使當μ保持不變而σ變化時也會在x圖上反映出來,這與x一R圖的判斷表一致。此外,當μ不變而σ變化時,β值與樣本大小n無關(見式(5.3-14))。表5.3一4μ一定σ變化時x圖的β值KK111.522.5345β0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514另外，還可以討論均值μ及標準差σ同時變化時x圖的第Ⅱ類錯誤概率β值，這里只給出的計算公式及當n=4時的β值(見表μ及σ同時變化時x圖的β值(n=4)) 3Kn 3Kn K1 K1β=Φ[ 1 ]-Φ[ 1 ](5.3-15)根據上表中數據可畫出如μ及σ同時變化時x圖的OC曲線所示的一系列OC曲線。由圖中可見,當σ增大,即K1值變大時,曲線的傾斜率變得平緩;而K1值較小時x圖的β值隨K值增大而激減,亦即x圖檢出過程均值偏移的概率激增,即x圖的靈敏度增加。上述討論說明x上述討論說明x圖采用小樣本是合理的。雖然小樣本的β風險較大，但由于我們周期地抽取樣本并檢驗和在x圖上描點,所以非?？赡茉诔槿『侠淼臉颖緜€數后就可檢出過程的偏移。此外,還可采取增添警戒限和界內點非隨機排列的判定準則來提高x圖檢出過程偏移的能力。R圖的檢定能力和OC曲線。為了構造R圖的僅OC曲線需要用到W=R/σ的分布。設σK過程標準差從處于穩定狀態的σ偏移到1=1σ(>σ),則R圖的OC曲線(見圖3.5.3-7)給出了此偏移未被第一個樣本檢出的概率,即β值。從圖3.5.3-7圖中曲線可見,當樣本大小n增加時,β值減小,R圖的檢定能力提高,這點同x圖的情況相同。但有一點是不同的,即x圖對σ的變化有一定的檢定能力,但R圖對μ的變化卻沒有檢定能力,也即若σ不變而μ變化,不能在R圖上反映出來。另外,當采用小樣本時,例如n=4,5或6時,R圖對檢出過程的偏移不是很有效。這時可采用前述增加控制圖靈敏度的措施。若樣本大小n>10或12時,一般應采用s圖來代替R圖。x一R圖的檢定能力。分析了x圖和R圖的檢定能力,現在來分析x圖和R圖同時使用時的總檢定能力。在樣本大小n較小時,x一R圖未能檢出過程偏移的概率等于它們個別未能檢出過程偏移的概率的乘積。設βx為x圖未能檢出偏移的概率,βR為R圖未能檢出偏移的概率βR為x一R圖未能檢出偏移的概率,則有βT=βx·βR例如,當n=4時,可以算得x一R圖的命值如表所示。對于不同的n可能算出不同的βT值。由表x一R圖的β值（n=4）中數據可見,同時應用x圖和R圖的檢定能力比單獨使用x圖或R圖的檢定能力大。四、x-s(均值-標準差)控制圖若樣本大小n較大,例如n>10或12,這時用極差法估計過程標準差的效率較低。最好在x—R中用s圖代替R圖。若σ2為一概率分布的未知方差,則樣本方差s1n(xx)2 2n1 i = i1為σ2的無偏估計量,但樣本標準差s并非是σ的無偏估計量。若樣本取自正態總體,可以證明σ1c2 cs=σ4,這里4為一與樣本大小n有關的常數。 c c現在,我們考慮。已知的情況,由于E(s)=4σ,故s圖中的中心線為4σ,于是s圖的控制線為 c 1c2UCL=4σ+3σ4cCL=4σ（5.4-1） c 1c2LCL=4σ-3σ4定義Bc1c25=4-34（5.4-2）Bc1c26=4+34（5.4-3）則代如上式后，得到已知的圖的控制線為BUCL=6σcCL=4σ（5.4-4）BLCL=5σ式中,系數B5、B6可自附錄V表A一5查得。c若σ未知,則必須根據以往的數據進行估計。從E(s)=4σ,有σ=s/C4,這里1msis=mi1（5.4-5）于是得到。未知情況的s圖的控制線為sc4c24c4c241csc21CL=s（5.4-6）UCL=s-34 4定義1 B c1c23=1-344（5.4-7）1 B c1c24=1+344（5.4-8）由此得到σ未知情況的s圖的控制線為BUCL=4sCL=sBLCL=3s式中,系數B3、B4可從附錄V查得。在應用x-s圖時,相應的正圖的控制界限也需要應用s/C4來估計σ，于是這時x圖的控制線為3sUCL=x+c4nCL=x3sLCL=x-c4n令3Acn3=4 則x圖的控制線可寫成AUCL=x+3sCL=xALCL=x-3s式中，系數A3可從附錄Ⅴ查得。五、Xmed-R(中位數-極差)控制圖Xmed-R圖與x-R圖相似,只不過用Xmed(中位數)圖代替x圖而已。若樣本取自正態總體,x為樣本中位數,m個樣本的樣本平均中位數為1mΧmedix=mi1 m可以證明E(x)=μ。σx=3σ/n。這里,m3為一與樣本大小n有關的常數。于是μ=xmed,由此得σ已知情況的x圖的控制線為mUCL=χmed+33σ/nCL=χmedmLCL=χmed-33σ/nm式中,系數3可從附錄V查得。若σ未知,則需應用估計量R/d2。代人上式后,得σ未知情況的Xmed圖的控制線為mmAUCL=χmed+33Rσ/d2n=χmed+3 2RCL=χmedmmALCL=χmed-33Rσ/d2n=χmed-3 2Rm當n=5,從附錄V可查得3=1.198,所以Xmed圖的控制界限間隔要比x圖的約寬20%,從而Xmed圖檢出過程偏移的能力也要比x圖減低不少。六、x-Rs(單值-移動極差)控制圖現在樣本大小為1,所以對過程標準差σ的估計要通過相鄰兩個樣本間的移動極差Rs來進行。x設從過程抽取的樣本為i,i=1,2,...,n,則移動極差定義為xxRsi=|i一t1|,i=1,2,...,n-1而平均移動極差為R1n1Rsi=n1i1 siπ 2 4πσ2σR若樣本取自正在總體,可以證明E(Rs)=πσ,Rs=π,于是σ=2s。對于σ已知的情況,x圖的控制線為UCL=x+3σCL=xUCL=x-3σ而Rs圖的控制線為 2 42σUCL=πσ+3 π=3.69σ2CL=πσ 2 42σLCL=πσ-3 π=0式中LCL為負值,但Rs不可能為負,故取LCL=0作為Rs的自然下界。對于σ未知的情況,x圖的控制線為 πR Rπ UCL=x+32 s=x+2.66sCL=x πR RπLCL=x=25i1 =25=67.036-32 sx=25i1 =25=67.036而Rs圖的控制線為 4 π 2σ R RUCL=x+3 π(2)s=3.27sRCL=s 4 π 2σ R RLCL=x-3 π(2)s=-3.27s式中LCL為負值,但Rs不可能為負,故取LCL=0作為Rs的自然下界。例在煉鋼過程中,對于某種化學成分需要進行控制。在生產穩定時已測得25組數據,如表所示。由于該化學成分的化驗需要很長的時間,試制定x一Rs控制圖對其加以控制。解按下列步驟進行:步驟1:預備數據的取得。已給定樣本大小為1的數據25組,如表3.5.6-1所示。步驟2:計算均值x。從表3.5.6-1中第(2)欄數據得到125Χi1675.91這就是x圖的中心線。步驟3:計算移動極差Rs。根據式(3.5.6-1),算得Rs1=|67.00一67.05|=0.05其余見表中第(3)欄。步驟4：計算平均移動極查Rs。根據表3.5.6-1中第(3)欄數據得到124Rsi2.92Rs=24i1 =24=0.12步驟5:計算x-Rs圖的控制線。先考慮Rs圖,由于總體的σ未知,將上述Rs=0.123代人式(3.5.6-6)后,得到Rs圖的控制線為UCL=3.27Rs=3.27×0.123=0.402≈0.40CL=Rs=0.123≈0.12LCL=0LCL=0如圖所示。將24個Rs值描點在此圖中,然后根據判穩準則(1)判斷過程的變異度處于控制狀態?，F在開始計算x圖的控制線,將x=67.036與Rs=0.123代入式(3.5.6-5)后,得到IUCL=Rs+2.66Rs=67.036+2.66×0.123=67363≈67.36CL=x=67.036≈67.04LCL=x-2.66Rs=67.036-2.66×0.123=66.7092≈66.71如圖所示。將25個x值描點在此圖中,然后根據判穩準則(1)判斷過程的均值也處控制狀態。于是,在技術問滿足后,可以延長x一Rs圖的控制線作為控制用控制圖進行日常管理。再說明一下x控制圖的控制界限與規格之間的關系。這里,與x控制圖情況不同,如果x圖的控制界限在規格界限之內,產品質量就保證滿足規格的要求。否則如果控制界限在規格界限之外,產品質量就不能保證滿足規格的要求,這時應改進工藝或放寬規格要求。七、p{不合格晶率)控制圖p圖的統計基礎為二項分布。當控制圖的控制對象為不合格品率時,過程處于穩定狀態是指任何單位產品不合格品的概率為一常數P且所生產的各個單位產品都是獨立的。這時,所生產的每一單位產品都是具有參數P的二項隨機變量的一個實現。設我們取一個包含n個單位產品的隨機樣本,其中不合格單位產品數為D,則D服從參數為n和P的二項分布即CxPx(1P)nxP{D=x}=n ,x=0,1,...,n從2.3.5節知道隨機變量p的均值和方差分別為nP與nP（1-P）。樣本不合格品率p定義為樣本不合格品數D與樣本大小n的比值,即p=D/n從2.3.5節知道隨機變量p的均值和方差分別為μp=Pσ2p=P(1-P)/n這里,與正態分布情況不同μp的與是不獨立的,故只需一張控制圖即p圖對過程進行控制。若過程不合格品率P已知,則從式(3.3.2-1)可知p圖的控制線為P(1P)/nUCL=P+3CL=PP(1P)/nLCL=P-3若不合格品率P未知,這時須根據以往的數據對其進行估計。通常至少取25個預備樣本。設每個樣本的樣本大小為ni,第i個樣本中的不合格品數為Di,則其樣本不合格品率為pi=Di/ni(i=1,2,...,m)式中,m為樣本個數,而樣本平均不合格品率為mm Di nip=i1 /i1 p可作為不合格頻率P的估計量。于是P未知的情況的p圖的控制為 p p(1p)/niUCL=+3 pCL=LCL=LCL=p-3nipp/)1(例某半導體器件廠2月份某種產品的數據如表3.5.7-1中的第(2)、(3)欄所示。作p控制圖對其進行控制。解我們按下列步驟進行:步驟1:預備數據的取得。已給定數據如上表所示。步驟2:計算樣本不合格品率。表3.5.7-1中第(2)、(3)欄數據,算得第一個樣本的不合格品率為p1=2/85=0.024其余類推。p步驟3:計算。從表3.5.7-1末行可得2828 Di nip=i1 /i1 p步驟4:計算p圖的控制線。將=0.0389代入式(3.5.7一8)得到p圖的控制線為0.0389(10.0389)/niUCL=0.0389+3CL=0.0389LCL=p-30.0389(10.0389)/ni由于本例各個樣本的樣本大小n不相等,所以必須對各個樣本分別求出其控制界限。如對于第一個樣本,在式(3.5.7一9)中代入n1=85后,得到UCL=0.0389+0.58/85=0.102CL=0.0389LCL=0.0389一0.58/85=一0.024這里,LCL取負值,由于p不可能為負,故令LCL=0作為p1的自然下界。其余各個樣本以此類推,參見圖3.5.7一1。為了判斷過程是否處于穩定狀態,將各個樣本的不合格品率描點在圖3.5.7一1中。由于第27個樣本的點子出界,所以過程失控,需要執行第二章（五）的20個字,找出異常因素并采取措施保證它不再出現。然后重復步驟1～4,直到過程穩定為止,這時p圖可作為控制用控制圖供日常管理使用。現在,對p圖進行一些討論:1．本大小n的確定。若過程不合格品率P很小,則必須選擇樣本大小n充分大才能使得樣本中至少包含1個不合格品的概率很大。否則,若P很小而n又不大,p圖的控制界限將使得樣本中只要出現1個不合格品就會點子出界從而顯示過程失控。如設P=0.01,n=8,則上控制界為UCL=P+3P(1P)/n=0.01+(0.01)(0.09)/8=0.1155如果現在樣本中有一個不合格品,則樣本不合格品率p=1/8=0.1250,它在p圖中的描點出界。事實上,由于P>0,總會出現一些不合格品,所以只憑出現一個不合格品就判斷過程失控是不合理的。為了避免這種情況,可以選擇充分大的n使得樣本中至少包含1個不合格品的概率不小于某個數值r。通常,取nP在1到5的范圍內,即取1/P<n<5/P式中,P為過程的不合格品率,可由p估計。1.要求下控制界限為正。在例3.5.7一1中,我們已經看到第一個樣本的LCL為負。要求LCL為正,則應有LCL=P-KP(1P)/n＞0即要求1Pn＞PK2設P=0.01,K=3,若要求LCL為正,則10.01n＞0.0132p圖上點子超出下控制界限。在戶圖上點子超出LCL,表明過程不合格品率異常低,這是好現象,應認真總結經驗。但這時必須注意是否有下列可能:(1)由于質量檢驗人員缺乏經驗而漏檢;(2)檢驗儀表有問題;(3)數據不真實。各組樣本的樣本大小不等時的p圖。這時控制界限成凹凸狀,如圖3.5.7一1所示,作圖很不方便。令元為各組樣本大小的平均值,若n的變化在元±元/2范圍內,則可用下列近似方法計算p圖的控制線:UCL=p-3p(1p)/npCL=LCL=p+3p(1p)/n1mni式中,n=mi1。注意,應用此法,當點子十分接近控制界限時仍需要按式(357一8)重新計算精確的控制界限,以判斷點子是否出界。本教材第六章提出的通用控制圖解決了這一問題。應用p(通T用不合格品率)控制圖代替戶圖,作圖既方便,同時判斷又精確。當樣本大小n不等時,控制界限成凹凸狀。這時應用3.4.4節判斷異常的準則中的界內點排列非隨機的各種模式進行判斷要特別小心,因為這時樣本不合格品率的描點距離中心線的相對位置與樣本大小n有關。設過程的P=0.20,現有連續兩個樣本,一個樣本的pi=0.24,ni=250，另一樣本的如pi+1=0.28,ni+1=50。表面上看來,pi=0.24的描點距離中心線要比pi+1=0.28的描點更近。實際上，如果以標準差為單位進行度量,則第i個樣本距離中心線的標準化的距離為piP 0.240.20 P(1P)/n 0.20(0.80)/250di= = =1.58而第i+1個樣本距離中心線的標準化的距離為 p(i1)P 0.280.20 P(1P)/n 0.20(0.80)/50di= = =1.41即實際上第i+1個描點比第i個描點距離中心線更近。在通用圖上,所有點子都是經過標準變換的,所以在圖上識別各種界內點排列非隨機的模式要比p圖方便、精確。八、pn(不合格晶數)控制圖若過程處于穩定狀態,過程的不合格品率為P,則在包含n個樣品的一個隨機樣本中出現的不合格品數D服從二項分布。從2.3.5節知,隨機變量D的均值為nP,而方差為nP(1一P)。于是根據式(3.3.2一1),若考慮3σ控制界限,則已知n、P情況的pn圖的控制線為UCL=nP+3nP(1P)CL=nPLCL=nP-3nP(1P)若過程的不合格品率P未知,需用p進行估計,則將p代入式(3.5.8一1)后得如圖的控制線為UCL=np-3np(1p)CL=p p np(1p)LCL=n+3可見，在UCL、CL、LCL中都包含參數n。若各樣本的n不等,則UCL、CL、LCL三者都呈凹凸狀,作圖極其不便。因此,一般pn圖只用于各樣本的n相等的情況,若n不等,則需用pnT(通用不合格品數)圖(參見3.6節)。無論n相等或n不等,pnT圖均可應用,十分方便。九、c(缺陷數)控制圖一定檢查單位的產品的缺陷數通常服從泊松分布,即eλλτp（x）=x!(x=0,1,2,.,)式中，x為缺陷數，平均缺陷數λ（λ＞