高中數學立體幾何專題訓練

1、（2017?山東）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內部）以AB邊所在直線

為旋轉軸旋轉120。得到的，G是命的中點.（I）設P是a上的一點，且AP1BE,求NCBP

的大小；（H）當AB=3,AD=2時，求二面角E-AG-C的大小.

2、（2017?浙江）如圖，已知四棱錐P-ABCD,4PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC〃

AD,CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.（I）證明：CE〃平面PAB；

（ID求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

3、（2017?江蘇）如圖，在平行六面體ABCD-A|B]C|D|中，AAJ平面ABCD,且AB=AD=2,AA,=

L

V$,ZBAD=120°.（I）求異面直線A|B與AC|所成角的余弦值；（H）求二面角B-A1D-A的

正弦值.

4、(2017?北京卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD，平面ABCD,

點M在線段PB上，PD〃平面MAC,PA=PD=后，AB=4.(1)求證：M為PB的中點；

(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

5、(2017?新課標I卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃CD,且NBAP=NCDP=90。.

⑴證明：平面PAB_L平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC,/APD=90。，求二面角A-PB-C的

余弦值.

6.在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓。的直徑，EF是上底面圓。，的直徑，FB是圓臺的一條母

線.(I)已知G,H分別為EC,FB的中點，求證：GH〃平面ABC；

(II)已知EF=FB='AC=2GAB=BC.求二面角F-3C-A的余弦值.

2

7(本小題滿分12分)如圖，菱形的對角線AC與8。交于點O,AB=5,AC=6,點E,F

分別在4。，CD上，AE=CF=^,EF交8。于點H.將沿EF折到AO'E尸的位置0。=布.

(I)證明：O'H_L平面ABC￡＞；

(II)求二面角8-O'A-C的正弦值.

D'

8.(15年山東理科)如圖，在三棱臺OEF—ABC中，AB=20E,G,〃分別為AC,8c的中點.

(I)求證：80//平面FG”；

(H)若CPJ?平面ABC,AB1BC,CF=DE,ABAC=45°,

求平面尸G”與平面ACF。所成角(銳角)的大小.

9.(15年陜西理科)如圖1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,NBAD=工，AB=BC=1,

2

AD=2,E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將AABE沿BE折起到AA|BE的位置.

(I)證明：CD_L平面AQC；

(II)若平面A|BEJ_平面BCDE,求平面A|BC與平面AQD夾角的余弦值.

10、(2017?天津)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,/BAC=90。.點D,E,N分別為

棱PA,PC,BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4,AB=2.

(I)求證：MN〃平面BDE；(II)求二面角C-EM-N的正弦值；

(III)已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為亞，求線段AH的長.

21

B

11.(15年天津理科)如圖，在四棱柱ABCD-A,BCR中，側棱

底面A8C0,ABJ.AC.AB=1,AC=A4,=2,AO=CO=后，且點M和N分別為

4c和"D的中點.⑴求證：MN口平面ABCD；(II)求二面角D「AC-⑸的正弦值;

(HI)設E為棱44上的點，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為！，求線段的長

12.(15北京理科)如圖，在四棱錐A-EFC3中，△4EF為等邊三角形，平面AEFL平面E/C3,

EF//BC,BC=4,EF=2a,NEBC=NFCB=60°,。為EF的中點.

(I)求證：A01BE;(II)求二面角尸-AE-B的余弦值；

(III)若BE_L平面AOC,求a的值.

13、(2017?新課標1【)如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,

1

AB=BC=2AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點.(I)證明：直線CE〃平面PAB；

(II)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45。，求二面角M-AB-D的余弦值.

14、(2017?新課標Ill)如圖，四面體ABCD中，ZXABC是正三角形，4ACD是直角三角形，ZABD=

ZCBD,AB=BD.(I)證明：平面ACDL平面ABC；

(11)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角

D-AE-C的余弦值.

15(本小題14分)如圖，在四棱錐產一ABC。中，平面平面ABC。，PA1PD,PA=PD,

ABLAD,AB=1,AD=2,AC=CD=^

(1)求證：POJ?平面PAB；(2)求直線PB與平面PC￡)所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM//平面PC。？若存在，求處的值；若不存在，說明

AP

理由.

16.(2014?四川高考理科)三棱錐A-8CO及其側視圖、俯視圖如圖所示.設M,N分別為線

段AO,A3的中點，P為線段上的點，且MN工NP.

(1)證明：P為線段6c的中點；

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

17.（2014?陜西高考理科）四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過棱AB的中點E作平行于AD,BC的平面

分別交四面體的棱BD,DC,CA于點F,G,H.（1）證明:四邊形EFG11是矩形.（2）求直線AB與平面EFGI1

夾角0的正弦值.

18.（15年江蘇）如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PA，平面ABCQ,且四邊形ABCD為直