第五章狀態反饋和狀態觀測器狀態反饋及極點配置系統的鎮定問題狀態觀測器帶有觀測器的狀態反饋系統2023/3/141第一節狀態反饋及極點配置狀態反饋與輸出反饋狀態反饋極點配置條件和算法狀態反饋閉環系統的能控性和能觀測性2023/3/142將系統每一個狀態變量乘以相應的反饋系數饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統的控制輸入。一、狀態反饋反饋的兩種基本形式：狀態反饋（1種）、輸出反饋（2種）原受控系統：線性反饋規律：2023/3/143原受控系統：二、輸出到參考輸入的反饋（又稱為輸出反饋）將系統輸出量乘以相應的反饋系數饋送到參考輸人，其和作為受控系統的控制輸入。（同古典控制，不作過多說明）輸出反饋控制規律：輸出反饋系統狀態空間描述為：2023/3/145輸出反饋增益矩陣：閉環傳遞函數矩陣為：結論3：由于反饋引自系統輸出，所以輸出反饋不影響系統的可觀測性。結論1：當HC＝K時，輸出到參考輸入的反饋與狀態反饋等價。即對于任意的輸出反饋系統，總可以找到一個等價的狀態反饋，即K＝HC。故輸出反饋不改變系統的能控性。結論2：對于狀態反饋，從K＝HC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態反饋，輸出信息所包含的不一定是系統的全部狀態變量，適合工程應用，性能較狀態反饋差。2023/3/146原受控系統：三、輸出到狀態微分的反饋將系統的輸出量乘以相應的負反饋系數，饋送到狀態微分處。這種反饋在狀態觀測器中應用廣泛，結構和觀測器很相似。輸出反饋系統狀態空間描述為：2023/3/147(2)求狀態反饋后閉環系統的特征多項式：(3)根據給定（或求得）的期望閉環極點，寫出期望特征多項式。(4)由確定反饋矩陣K：[解]：（1）先判斷該系統的能控性[例1]考慮線性定常系統其中：試設計狀態反饋矩陣K，使閉環系統極點為-2±j4和-10。2023/3/149該系統狀態完全能控，通過狀態反饋，可任意進行極點配置。（2）計算閉環系統的特征多項式設狀態反饋增益矩陣為：（3）計算期望的特征多項式2023/3/1410由得（4）確定K陣求得：所以狀態反饋矩陣K為：[例2]對如下的線性定常系統，討論狀態反饋對系統極點的影響[解]：（1）先判斷該系統的能控性由對角線標準型判據可知，特征值為－1的狀態不能控。(2)假如加入狀態反饋陣K，得到反饋后的特征多項式為：2023/3/1411證明：原系統：第二能控標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/3/1413第二能控標準型：此時的系統不變量和原系統相同。能控標準型下，加入狀態反饋后，系統矩陣為：[第二能控標準型下，狀態反饋后閉環系統特征多項式及]2023/3/1414第二能控標準型下，狀態反饋后閉環系統特征多項式為：根據期望閉環極點，寫出期望特征多項式：由，可以確定第二能控標準型下的反饋矩陣為：2023/3/1415(3)根據給定或求得的期望閉環極點，寫出期望的特征多項式：(4)直接寫出在第二能控標準型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統的狀態反饋增益矩陣：還可以由期望閉環傳遞函數得到：第二能控標準型法，非常適合于計算機matlab求解期望的閉環極點有時直接給定；有時給定某些性能指標：如超調量和調整時間等）2023/3/1417[例]用第二能控標準型法，重新求解前面例1：（2）計算原系統的特征多項式：[解]：（1）可知，系統已經是第二能控標準型了，故系統能控，此時變換陣（3）計算期望的特征多項式（4）確定K陣所以狀態反饋矩陣K為：第二能控標準型下的狀態反饋矩陣為：2023/3/14183）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數較大時，n>3）為系統期望的特征多項式系數，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：推導過程：略此方法也非常適合于計算機matlab求解2023/3/1419（3）所以狀態反饋矩陣K為：2023/3/1421[例]已知線性定常連續系統的狀態空間表達式為設計狀態反饋增益矩陣K，使閉環系統的極點為－1和－2，并畫出閉環系統的結構圖。解：先判斷系統的能控性。系統狀態完全能控，可以通過狀態反饋任意配置其極點。令2023/3/1422則狀態反饋閉環系統的特征多項式為期望的特征多項式為由，求得

狀態反饋閉環系統的結構圖如下：2023/3/1423五、狀態反饋閉環系統的能控性和能觀測性定理：如果SI線性定常系統是能控的，則狀態反饋所構成的閉環系統也是能控的。證明:2023/3/1425結論：對SISO系統，引入狀態反饋后，不改變系統原有的閉環零點。所以經過極點的任意配置，可能會出現零極點相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。第二能控標準型，受控系統傳遞函數：狀態反饋后，閉環系統傳遞函數：2023/3/1426(4)由確定反饋矩陣K：(2)求狀態反饋后閉環系統的特征多項式：(3)根據給定（或求得）的期望閉環極點，寫期望特征多項式。1）直接法求反饋矩陣K（維數較小時，n≤3時）(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。2023/3/1429(4)寫出第二能控標準型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統的狀態反饋增益矩陣：2）第二能控標準型法求反饋矩陣（維數較大時，n>3時）(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。(3)寫出期望的特征多項式：(2)確定將原系統化為第二能控標準型的變換陣2023/3/14305、狀態反饋閉環系統的能控性和能觀測性可以保持原系統的能控性，但可能破壞原系統的能觀測性。3）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數較大時，n>3）其中是A滿足其自身的特征方程，為：為系統期望的特征多項式系數，由下式確定：2）和3）方法非常適合于計算機matlab求解2023/3/1431第二節系統的鎮定問題系統鎮定的概念狀態反饋與系統的鎮定2023/3/1432一、系統鎮定的概念鎮定：一個控制系統，如果通過反饋使系統實現漸近穩定，即閉環系統極點具有負實部，則稱該系統是能鎮定的。可以采用狀態反饋實現鎮定，則稱系統是狀態反饋能鎮定的。定理：如果線性定常系統不是狀態完全能控的，則它狀態反饋能鎮定的充要條件是：不能控子系統是漸近穩定的。定理證明：二、狀態反饋與系統的鎮定原系統：2023/3/1433將原系統按照能控性分解，得到系統對系統引入狀態反饋后，系統矩陣變為閉環系統特征多項式為：能控部分，總可以通過狀態反饋使之鎮定要求漸近穩定2023/3/1434結論1：如果線性定常系統是狀態完全能控的，則不管其特征值是否都具有負實部，一定是狀態反饋能鎮定的。（一定存在狀態反饋陣K，使閉環系統的極點得到任意配置）

不穩定但狀態完全能控的系統，可以通過狀態反饋使它鎮定結論2：可控系統是一定可鎮定的，可鎮定系統不一定是可控的2023/3/1435[例]系統的狀態方程為（2）由動態方程知系統是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是漸近穩定的。因此該系統是狀態反饋能鎮定的。[解]：（1）系統的特征值為1，2和－5。有兩個特征值在右半S平面，因此系統不是漸近穩定的。（1）該系統是否是漸近穩定的？（2）該系統是否是狀態反饋能鎮定的？（3）設計狀態反饋，使期望的閉環極點為2023/3/1436（3）不能控部分的極點為－5，與其中一個期望極點相同。此時，只能對能控部分進行極點配置。設，對能控部分進行極點配置。期望的特征多項式為：2023/3/1437由得：解得：所以反饋陣為：2023/3/1438[例]系統的狀態方程和輸出方程如下[解]：（1）系統特征方程為：（1）討論系統的穩定性。（2）加狀態反饋可否使系統漸近穩定？特征值為，系統不是漸近穩定的。（2）系統能控，加入狀態反饋可以任意配置極點。設反饋陣為，加狀態反饋后的系統矩陣為2023/3/1439系統的特征多項式為：通過k1和k2的調整可使系統的特征值都位于左半S平面，使系統漸近穩定。2023/3/1440第三節狀態觀測器狀態觀測器的原理和構成狀態觀測器的存在條件狀態觀測器極點配置條件和算法構成狀態觀測器的原則2023/3/1441狀態重構：不是所有的系統狀態物理上都能夠直接測量得到。需要從系統的可量測參量，如輸入u和輸出y來估計系統狀態。狀態觀測器：狀態觀測器基于可直接量測的輸出變量y和控制變量u來估計狀態變量，是一個物理可實現的模擬動力學系統。如果是狀態完全能觀測的，那么根據輸出y的測量，可以唯一地確定系統的初始狀態，系統任意時刻的狀態：所以只要滿足一定的條件，可從可測量y和u中把x間接重構出來。一、狀態觀測器的原理和構成2023/3/1442原受控系統：狀態觀測器：原系統和狀態觀測器之間狀態的誤差：有：，即：——原系統初始狀態——狀態觀測器的初始狀態如果，必有，即兩者完全等價，實際很難滿足。也就是說原狀態和狀態觀測器的估計狀態之間必存在誤差，從而導致原系統和狀態觀測器的輸出也必存在誤差。漸近狀態觀測器。2023/3/1443全維漸近狀態觀測器結構圖：維數2n。2023/3/1444狀態觀測器的特征方程為：狀態觀測器方程：由此可以得到全維漸近狀態觀測器的等價結構圖：維數2n。2023/3/1445狀態觀測器能否起作用的關鍵：觀測器在任何初始條件下，都能夠無誤差地重構原狀態。二、狀態觀測器的存在條件：

存在性定理：線性定常系統不能觀測的部分是漸近穩定的。存在條件設狀態觀測器方程：證：將原系統按照能觀測性分解：2023/3/1446令：則：得：2023/3/14471、能觀測部分：齊次狀態方程的解：2、不能觀測部分：非齊次狀態方程的解2023/3/1448要求A22的特征值均具有負實部，即不能觀部分是漸近穩定的此時：2023/3/1449前提：設計全維狀態觀測器，是狀態觀測器期望的特征值。則目的是確定觀測器增益矩陣，使得A-KeC具有期望的特征值。——等同于狀態反饋系統的設計。三、狀態觀測器設計和狀態反饋設計的對偶問題：原系統為：則其對偶系統為：1、針對對偶系統來設計狀態反饋陣K：線性反饋規律仍然為：則希望取得一組期望的特征值，將特征值選擇為原系統的觀測器的期望特征值。2023/3/1450觀察上式可以發現：與原系統狀態觀測器的特征方程相比：則有：其中，K是其對偶系統的狀態反饋陣。結論：原系統的狀態觀測器增益矩陣Ke的設計，等同于其對偶系統狀態反饋中反饋陣K的設計，兩者互為轉置。其中原系統的觀測器特征值等于其對偶系統狀態反饋的特征值。2023/3/1451由狀態觀測器存在性定理，可以得到以下定理：定理：線性定常系統的狀態觀測器極點任意配置，即具有任意逼近速度的充要條件是原系統為狀態完全能觀測。四、狀態觀測器極點配置條件和算法：證明：根據以上的對偶關系，要使原系統的觀測器極點能任意配置，則要求其對偶系統的狀態反饋系統極點能任意配置。所以，其對偶系統狀態能控。原系統為：則其對偶系統為：則要求：即：原系統狀態能觀2023/3/1452第二能觀測標準型下，狀態觀測器的特征多項式：第二能觀測標準型：能觀測標準型下狀態觀測器的系統矩陣：2023/3/1453狀態觀測器的設計步驟：(3)寫出狀態觀測器的期望特征多項式：1、直接法（維數較小時，n≤3）(2)求觀測器的特征多項式：(4)由確定狀態觀測器的反饋矩陣：(1)判斷系統能觀測性。如果狀態完全能觀測，按下列步驟繼續。2023/3/14542、第二能觀標準型法（維數較大時，n>3，適合計算機求解）(2)確定將原系統化為第二能觀測標準型的變換陣。若給定的狀態方程已是能觀測標準型，那么，無需轉換(1)判斷系統能觀測性。如果狀態完全能觀測，按下列步驟繼續。2023/3/1455(4)直接寫出在第二能觀測標準型下觀測器的反饋矩陣：(5)求未變換前系統狀態觀測器的反饋矩陣：(3)指定的狀態觀測器的特征值，寫出期望的特征多項式：下面證明原系統和線性變換后系統間觀測器的狀態反饋增益矩陣的關系：2023/3/1456證明：原系統：第二能觀標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/3/1457為系統期望的特征多項式系數，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：推導過程：用前面講述的對偶關系來推導。轉化為對偶系統的狀態反饋陣K的設計。此方法也非常適合于計算機matlab求解3、愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數較大時，n>3）2023/3/1458[解]：

(1)傳遞函數無零極點對消，系統能觀測可以寫為第二能觀測標準型：[例]系統的傳遞函數如下，試設計狀態觀測器，使觀測器的極點為－10，－10。(2)設觀測器的反饋增益陣為：1、直接法求解：2023/3/1459(5)由系數相等，得到觀測器的反饋矩陣為：(4)狀態觀測器期望的特征多項式為：(3)求觀測器的特征多項式：則觀測器的系統矩陣為：2023/3/1460原系統的對偶系統，其A、B陣如下：設對偶系統的狀態反饋陣為2、用狀態反饋和狀態觀測器的對偶關系求解：將系統的特征值選擇為原系統觀測器的期望特征值。則期望的特征多項式為：則對偶系統的加入狀態反饋后的特征多項式為：由系數相等，得到對偶系統狀態反饋矩陣K為：所以，原系統觀測器的反饋矩陣為：2023/3/14613、用愛克曼公式求解：（1）確定系統期望的特征多項式系數：所以：（2）確定2023/3/1462（3）所以觀測器增益Ke為：2023/3/1463[例]已知線性定常連續系統的狀態空間表達式為設計狀態觀測器，使觀測器極點為－10和－10，并畫出系統的結構圖。解：先判斷系統的能觀測性。系統狀態完全能觀測，觀測器存在，且其極點可以任意配置。令2023/3/1464則觀測器的特征多項式為觀測器期望的特征多項式為由，求得

觀測器方程為：或：2023/3/1465觀測器的系統結構圖如下：2023/3/1466五、構成狀態觀測器的原則：1）觀測器以原系統的輸入和輸出作為其輸入。2）的輸出狀態應有足夠快的速度逼近x，這就要求有足夠寬的頻帶，將導致觀測器的作用接近于一個微分器，從而使頻帶加寬，不能容忍地將高頻噪聲分量放大。3）有較高的抗干擾性，這就要求有較窄的頻帶，因而快速性和抗干擾性是互相矛盾的，應綜合考慮。4）在結構上應盡可能地簡單，即具有盡可能低的維數。5）觀測器的逼近速度選擇：只需使觀測器的期望極點比由此組成的閉環反饋系統的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應使狀態觀測器的響應速度至少比所考慮的閉環系統快2~5倍。2023/3/1467[本節小結]：一、全維狀態觀測器的原理、構成與極點配置狀態觀測器方程：

存在性定理：線性定常系統不能觀測的部分是漸近穩定的。狀態觀測器極點配置條件：狀態完全能觀測狀態觀測器極點配置算法：反饋陣Ke的設計（或用對偶原理，設計其對偶系統的狀態反饋陣K）2023/3/1468(3)寫出狀態觀測器的期望特征多項式：1、直接法（維數較小時，n≤3）(2)求觀測器的特征多項式：(4)由確定狀態觀測器的反饋矩陣：(1)判斷系統能觀測性。如果狀態完全能觀測，按下列步驟繼續。2、第二能觀測標準型法（維數較大時，n>3）(1)判斷系統能觀測性。如果狀態完全能觀測，按下列步驟繼續。(2)確定將原系統化為第二能觀測標準型的變換陣。2023/3/1469(4)寫出在第二能觀測標準型下，觀測器的反饋矩陣：(5)求未變換前系統狀態觀測器的反饋矩陣：(3)指定的狀態觀測器的特征值，寫出期望的特征多項式：2023/3/1470為系統期望的特征多項式系數，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：3、愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數較大時，n>3）2023/3/1471第四節帶有觀測器的狀態反饋系統帶有觀測器的狀態反饋系統的構成帶有觀測器的狀態反饋系統的輸入輸出特性2023/3/1472狀態觀測器的建立，為不能直接量測的狀態反饋提供了條件構成：帶有狀態觀測器的狀態反饋系統由觀測器和狀態反饋兩個子系統構成。用觀測器的估計狀態實現反饋。

是x重構狀態，階數小于等于x階數。系統階數為與x階數和一、帶有觀測器的狀態反饋系統的構成全維狀態觀測器加入狀態反饋2023/3/1473帶有全維狀態觀測器的狀態反饋系統等價結構圖：討論：1、用觀測器的估計狀態來設計狀態反饋陣，會不會對原來的狀態反饋系統產生影響？2、在狀態反饋中加入觀測器，會不會影響原系統輸入輸出特性？2023/3/1474二、帶有