§2.2離散型隨機變量離散型隨機變量分布律三種常見分布

一、離散型隨機變量的分布列例如，擲一顆骰子出現的點數.用表示出現的點數，=1,2,3,4,5,6每天進入4區教學樓的人數記為，

=0,1,2,…；定義1：如果隨機變量X的所有可能取值是有限個或可列無限多個,則隨機變量稱為離散型隨機變量.其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）定義2：設xk

(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的分布律或分布列.用這兩條性質判斷一個函數是否是分布列分布列的表示方法（1）公式法（2）列表法X例

1設隨機變量X的分布律為解：由隨機變量的性質，得所以試求常數c.c=3例2

一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次停下時已通過的路口的個數，求X的分布律.可愛的家園解:依題意,X可取值0,1,2,3.

P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4

P{X=2}=P()=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數Xpk

0

123

1/21/41/81/8例3

某人每期購買一張彩票，直到中獎為止。設各期是否中獎相互獨立，每期中獎的概率是p，求所需購買次數X的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，Ak

={第k期中獎}，k=1,2,…，設于是設隨機變量X

的分布律為：求

X的分布函數.

-123Xpk解：當

x<-1

時，滿足0２xX３-1x例子二、離散型隨機變量的分布函數當-1≤x<2時，滿足Xx的X取值為X=-1,

２xX３-1x當2≤x<3時，滿足Xx的X取值為X=

-1,

或

2

Xpk

-123同理當x≥3時-10123x1-10123

x1

分布函數F(x)

在x=xk

(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

pk=P{X=xk}.Xpk

-123F(x)是階梯函數，在X

的可能取值xk

處發生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點.離散型隨機變量的分布函數三、常見的離散型隨機變量1.Bernoulli分布如果隨機變量

X

的分布律為或則稱隨機變量X

服從參數為

p

的Bernoulli分布．Bernoulli分布也稱作0-1

分布或兩點分布．Bernoulli分布的概率背景進行一次Bernoulli試驗，設：令X：在這次Bernoulli試驗中事件A發生的次數．或者說：令擲一枚硬幣，“出現正面”,“出現反面”擲一顆骰子，“出現六點”,“不出現六點”對同一目標進行一次射擊：“擊中目標”，未擊中目標”

抽驗產品：“是正品”，“是次品”

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結果的隨機現象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發芽等,都屬于兩點分布.說明n重Bernoulli試驗將伯努利試驗E獨立地重復地進行n次,則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗

.“重復”是指這

n次試驗中P(A)=p保持不變.“獨立”是指各

次試驗的結果互不影響.擲n次硬幣，觀察正面次數．擲n顆骰子，觀察是否出現1點對同一目標進行n次射擊，每次擊中的概率相等，觀察各次是否擊中目標n臺機器獨立工作，每臺機器正常工作的概率相同，觀察n臺機器是否正常工作。N件產品，其中D件次品，有放回的抽取n件產品，觀察取到次品的個數n重Bernoulli試驗的例子n重Bernoulli試驗中恰好成功k次的概率定理：設在n重Bernoulli試驗中，現考慮事件則證明：設

Bk={n次試驗中A恰出現k次}

Ai={第i次試驗A出現}注意由二項式定理，我們有b(k;n,p)(k=0,1,2,…,n)稱為二項分布。若隨機變量X的分布律易證：（1）稱r.v.X服從參數為n和p的二項分布，記作

X~B(n,p)（2）2.二項分布二項分布的圖形說明顯然，當

n=1

時二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，設在每次試驗中令X：在這次Bernoulli試驗中事件A發生的次數．

n重貝努里試驗（1）重復性：每次試驗只考慮兩個互逆結果A或，二項分布描述的是n重貝努里試驗中事件A

出現的次數X的分布律.（2）獨立性：各次試驗相互獨立.可以簡單地說，且P(A)=p

，；例4設在N件產品中有M件次品，每次從中任意取出一件，有放回地取n次．試求取出的n件產品中恰有k件次品的概率．解：

B={取出的n件產品中恰有k件次品}

每取一次只有兩種結果：因此每取一次產品可看作是一次Bernoulli試驗

并且，因此，有放回地取n件產品可看作是一個n重Bernoulli試驗．由前面的討論，可知思考：采用不放回方式，n件產品中恰有k件次品的概率為多少？例5一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．所以二項分布的最可能取值先是隨著k的增大而增大，達到其最大值后再隨著k的增大而減少．當k<(n+1)p時，P{X=k}>P{X=k-1}當k=(n+1)p時，P{X=k}=P{X=k-1}當k>(n+1)p時，P{X=k}<P{X=k-1}使得例6對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？解：對目標進行300次射擊相當于做300重Bernoulli試驗．令：

則由題意所以最可能擊中132次。3.Poisson分布如果隨機變量

X的分布律為

則稱隨機變量X

服從參數為λ的Poisson分布．記作X~π(λ)或P(λ)分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數k，有⑵又由冪級數的展開式，可知所以是分布律．泊松分布的圖形泊松分布的背景及應用二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質放出的粒子個數的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發現放射性物質在規定的一段時間內,其放射的粒子數X服從泊松分布.Poisson分布是概率論中重要的分布之一．電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數，放射物在某一時間間隔內發射的粒子數，容器在某一時間間隔內產生的細菌數，某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項分布

泊松分布例7設隨機變量X

服從參數為λ的Poisson分布，且已知解：隨機變量X

的分布律為由此得方程得解所以，由已知如果隨機變量X

的分布律為試確定未知常數c.例8由分布率的性質有解：例9

一家商店采用科學管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數可以用參數λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？解:設該商品每月的銷售數為X,已知X服從參數λ=5的泊松分布.設商店在月底應進某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.進貨數銷售數求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.查泊松分布表得P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,m=9件或4.幾何分布若隨機變量X

的分布律為例

某人每期購買一張彩票，直到中獎為止。設各期是否中獎相互獨立，每期中獎的概率是p，求所需購買次數X的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，分布律的驗證⑴

由條件⑵由條件可知綜上所述，可知是