半導(dǎo)體可靠性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日2.1可靠性的定量表征可靠性：是指產(chǎn)品在規(guī)定的條件下，在規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率。三個規(guī)定來描述可靠性——定性的準(zhǔn)確地描述產(chǎn)品可靠性——定量的產(chǎn)品的壽命是隨機(jī)的變量——數(shù)理統(tǒng)計來討論可靠性的數(shù)學(xué)描述：可靠度、失效概率、失效概率密度、瞬時失效率、平均壽命、可靠壽命第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日可靠度R(t)產(chǎn)品在規(guī)定的條件下，在規(guī)定的時間內(nèi)，完成規(guī)定功能的概率。常記作R(t)用數(shù)學(xué)方式表示為：ξ為隨機(jī)變量，指產(chǎn)品壽命，N為進(jìn)行試驗的產(chǎn)品總數(shù)，n(t)為試驗到t時刻失效的總個數(shù)。N(t)為工作到t時刻仍在正常工作的產(chǎn)品數(shù)第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日失效概率F(t)失效率也叫累積失效概率或不可靠度（性），是指產(chǎn)品在規(guī)定的條件下在時間t以前失效的概率，記為F(t)由概率論可知：在實際處理中其近似值為：R(t)與F(t)的關(guān)系第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日失效概率密度f(t)也叫失效密度是指產(chǎn)品在t時刻的單位時間內(nèi)，發(fā)生失效的概率，說明器件在各時刻失效的可能性。是F(t)的微商。記作：第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日失效率函數(shù)λ(t)失效率函數(shù)簡稱失效率，也稱瞬時失效率即產(chǎn)品工作到t時刻后，在一個單位時間內(nèi)失效的概率。設(shè)N個產(chǎn)品從t=0時刻開始工作，到t時刻有n(t)個產(chǎn)品失效，又工作到t+Δt時刻，失效數(shù)為n(t+Δt)，則失效率記作單位：h-1、%/100h、非特（Fit）三種表示法1Fit=1×10-9/h=1×10-6/1000h第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日Fit的物理含義：10億個產(chǎn)品，在1小時內(nèi)只允許一個產(chǎn)品失效，或1000小時只允許百萬分之一的失效概率例：短期工作衛(wèi)星：λ<100Fit=10-4/1000h我國國家標(biāo)準(zhǔn)“電子器件失效率試驗方法”中規(guī)定：失效率分為亞五級（Y），五級（W）…十級（S）第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日微電子器件與電路的失效規(guī)律早期失效期：失效率較高，但失效率隨時間增加而下降，器件的失效主要由一種或幾種具有普遍性的原因所造成的。進(jìn)行合理的篩選可以提高偶然失效期：失效率低且變化不大，器件的失效是由偶然因素引起的耗損失效期：失效率明顯上升，致使大部分器件相繼失效。產(chǎn)品損傷已經(jīng)嚴(yán)重，壽命即將終止。第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日產(chǎn)品的壽命特征定義：不可修復(fù)的產(chǎn)品，產(chǎn)品發(fā)生失效前的工作時間；可修復(fù)，指兩次相鄰故障間的工作時間。常用壽命概念平均壽命tMTTF可靠壽命中位壽命等第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日平均壽命器件壽命的平均值，記作：θ或tMTTF,是器件失效前的平均時間由概率論關(guān)于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義得：第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日可靠壽命對一些電子產(chǎn)品，當(dāng)其可靠度降到r時的工作時間，記該時間為tr，稱為產(chǎn)品的可靠壽命，即：R(tr)=r當(dāng)r=0.5時的tr稱為產(chǎn)品的中位壽命，r=1/e時的可靠壽命稱為產(chǎn)品的特征壽命第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日壽命方差和壽命標(biāo)準(zhǔn)離差表征產(chǎn)品壽命分散程度的特征量離差平方和方差標(biāo)準(zhǔn)離差第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日可靠性各特征量之間的關(guān)系插圖片第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日舉例設(shè)100塊集成電路，在第100h內(nèi)的失效數(shù)為7塊，在100~101h內(nèi)失效13塊，求該電路在100h的失效率為多少？某集成電路使用到2000h還能工作的概率是94%，使用到3000h仍能正常工作的概率是87%，問已經(jīng)工作了2000h的電路，能繼續(xù)工作到3000h的概率是多少？第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日常用的概率分布分布類型的確定方法：根據(jù)物理背景來定，產(chǎn)品的壽命分布與產(chǎn)品的類型（機(jī)械類，電子類）關(guān)系不大，而與其承受的應(yīng)力情況、產(chǎn)品的內(nèi)在結(jié)構(gòu)及其物理、化學(xué)等有關(guān)通過壽命試驗及使用情況，獲得失效數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計推斷的方法來判斷它是屬于何種分布形式概率分布：威布爾分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)指數(shù)分布第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日威布爾分布概率密度函數(shù)為：累積失效分布函數(shù)：失效率：m為形狀參數(shù)，它決定了概率密度曲線的基本形狀。t0為尺度參數(shù)，它反映了產(chǎn)品工作時的負(fù)荷條件；負(fù)荷重，其值就小些Γ稱為位置參數(shù)，它決定了f(t)曲線的起點，一般情況下多為零第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日形狀參數(shù)m當(dāng)m<1,f(t)曲線隨時間單調(diào)下降當(dāng)m=1，為指數(shù)分布當(dāng)m>1，曲線出現(xiàn)縫制后下降，當(dāng)m>3.5可以看作正態(tài)分布處理M值越小，曲線平坦，失效數(shù)據(jù)分散，失效原因越復(fù)雜，相當(dāng)于失效率曲線中的早期失效。當(dāng)m值越大，曲線變陡，數(shù)據(jù)分布集中，失效原因越單純，反映出器件原材料、工藝一致性好。相當(dāng)于耗損失效期。當(dāng)m=1，失效率為常數(shù)，相當(dāng)于產(chǎn)品的偶然失效期第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日尺度參數(shù)t0表示器件壽命的長短。當(dāng)m、γ固定時，不同t0影響曲線橫軸或縱軸尺度的放大和縮小，不影響曲線的基本形狀t0越大，壽命越長，但數(shù)據(jù)越分散，失效機(jī)理越復(fù)雜位置參數(shù)γ表示了器件開始失效的時間。當(dāng)m、t0固定時，不同γ值的曲線形狀完全相同，只是位置發(fā)生了變化當(dāng)γ≤0時，表示電路一開始就有失效電路存在當(dāng)γ>0時，表示電路開始一段時間內(nèi)沒有失效第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日威布爾分布的壽命特征平均壽命壽命方差可靠壽命中位壽命第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日指數(shù)分布其函數(shù)形式為：其他的壽命特征為：第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日正態(tài)分布其函數(shù)形式為：第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日壽命特征：μ是平均壽命當(dāng)σ越小，f(t)的極值越大，分布密度曲線越陡，數(shù)據(jù)越集中；當(dāng)σ越大，f(t)的極值越小，分布密度曲線越平坦，數(shù)據(jù)越分散；參數(shù)μ反映分布的集中點，即曲線的位置第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日1、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布以μ為均值、σ為標(biāo)準(zhǔn)離差的正態(tài)分布，記為N(μ,σ)。當(dāng)μ=0,σ=1時的正態(tài)分布，用N(0,1)表示。φ(u)和Φ(u)表示服從正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)2、正態(tài)分布表的用法若已知ξ服從N(μ,σ)，求ξ落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]中的概率是多少？[解]對于任何一個服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，可以通過下述換算第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量t的對數(shù)服從正態(tài)分布，其概率目的函數(shù)為：其壽命特征為:Zp為所要求的可靠度為r時，所對應(yīng)的正態(tài)分布分位點值第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日思考題1、100塊集成電路，在15年內(nèi)的失效數(shù)據(jù)如下：求λ(6),λ(9),λ(12),λ(14)值為多少？2、有人認(rèn)為任何元器件都服從這一條規(guī)律：λ(t)較高時,對應(yīng)的R(t)比較低，λ(t)較低時刻對應(yīng)的R(t)就比較高，你認(rèn)為呢？3、試解釋一下R(t=1000)=0.999的含義ti（年）123456789101112131415n(t)01247101319253749688294100第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日可靠性框圖和數(shù)學(xué)模型基本概念及其意義系統(tǒng)與單元之間的關(guān)系：物理關(guān)系和功能關(guān)系可靠性框圖數(shù)學(xué)模型繪制可靠性框圖需注意的問題可靠性框圖與電氣聯(lián)接相區(qū)別在建立可靠性框圖時要注意其所完成的功能第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)可靠性框圖的分類系統(tǒng)串聯(lián)并聯(lián)混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)其他第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日串聯(lián)系統(tǒng)定義系統(tǒng)的壽命等于各單元壽命中的最小者，系統(tǒng)可靠度是組成該系統(tǒng)的各單元可靠度的連乘積第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日串聯(lián)系統(tǒng)的失效分布：系統(tǒng)的失效分布密度：系統(tǒng)的失效率：系統(tǒng)與各單元的平均壽命的關(guān)系：第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日第三十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日并聯(lián)系統(tǒng)（并聯(lián)冗余系統(tǒng)）分類：工作儲備和非工作儲備純并聯(lián)系統(tǒng)：系統(tǒng)的壽命等于各單元壽命的最大者第三十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日第三十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日混聯(lián)系統(tǒng)串-并聯(lián)系統(tǒng)：將n個單元并聯(lián)，再串聯(lián)m個，構(gòu)成n-m串-并聯(lián)系統(tǒng)，設(shè)各單元可靠度為Rij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m