oooBBDDDQiDioooBBDDDQiDiD第章

放電的態(tài)頻分題對于放大電路的性能標，回答下列問題：已某放大電路第一級的電壓增益為，第二級的電壓增益為20dB，總的電壓增益為多少？某大電路在負載開路時輸出電壓為，入kΩ的負載電阻后輸出電壓降為，該放大電路的輸出電阻為多少？為測量某放電路的輸出電壓，是否可以用萬用表的電阻檔直接去測輸出端對地的電阻？解60dB1k；不以。題一學生用交流電壓表得某放大電路的開路輸出電壓為4.8V，接上k的負載電阻后測出的電壓值為4V已電壓表的內(nèi)阻為kΩ。求該大電路的輸出電阻R和實際的開路輸出電壓V。解由題意列方程組：解得：

120R120o204Ro5VoOO題在圖題3.1.3所示CS放電路中，已知靜態(tài)工作點為V＝，I＝2mA

＝5VR3kΩ。設(shè)電壓放大倍為＝-20，發(fā)生截止真時輸出電壓的正向幅值為5V，發(fā)生飽和失真時輸出電壓的負向幅值為。當入信號為ωt(V)，畫出、d點電壓波形v、，并標出峰、谷電壓的大小；當入信號為=0.3sint(V)時，畫出gd的電壓波形v、，并標出峰、谷電壓的大小。圖題3.1.3

iDiiiiDiii解當ωt時，柵極的靜態(tài)電壓為：

GQ

I

DQ

柵極的瞬態(tài)電壓為：G漏極的瞬態(tài)電壓為：

GQ

0.1sin(V)iD

DQ

d

DQ

o

I

DQ

Rvi2(2(V)因此，v、電波形如圖3.1.3）所示。（）ωt時（bv=0.3sinωt(V)圖當=0.3sint時，vG

GQ

0.3sin(V)ivD

DQ

20sin(V)o可見此輸出電壓已經(jīng)產(chǎn)生了止失真和飽和失真電壓波形如圖3.1.3（b所示。題一同學做基本放大電路實驗，出現(xiàn)了五種不同的接線方式，如圖題3.1.4所。若從正確合理、方便實用的角度去考慮，哪一種最為可取？

圖題3.1.4解圖(d)最合理。基極電阻由位器與阻串聯(lián)組成，不僅可以調(diào)節(jié)阻值，從而調(diào)節(jié)放大電路的靜態(tài)工作點，而且不會使阻值為0，免得使三極管電流過大而燒毀同時圖中的耦合電容極性也正確。題試分析圖題3.1.5所各個電路的靜態(tài)和動態(tài)測試對正弦交流信號有無放大作用，如有正常的放大作用，判斷是同相放大還是反相放大。解(c)

圖題3.1.5沒有放大作用。因為輸入端在交流通路中接地，信號加不進去；有放大作用，屬于CC組，因此為同相放大電路；沒有放大作用，因為輸出端交流接地；有放大作用，屬于組，因此為同相放大電路。題有一放電路如圖題3.1.6（a所示。試回答下列問題：

ioBQioibCBQioBQioibCBQiobBEbb'BEio寫該電路電壓放大倍數(shù)

、輸入電阻和出電阻的表達式。|

若用值較小的三極管，則靜態(tài)工作點I、將何變化？電壓放大倍數(shù)|、輸入電阻和出電阻將何變化？若靜態(tài)工作點調(diào)整到交流負載線的中央，在輸入電壓增大的過程中，輸出端現(xiàn)如圖題（b）所示的失真波形，問該失真是于什么原因引起的？是飽和失真還是截止失真？若電路在調(diào)試中輸出電壓波形頂部出現(xiàn)了“縮頂”失真，問電路產(chǎn)生的是飽失真還是截止失真？應(yīng)調(diào)整電路中哪個電阻，如何調(diào)整（增大或減小）？若電路在室溫下工作正常但將它放入℃的恒溫箱中發(fā)輸出波形失真且幅度增大，這時電路產(chǎn)生了飽和失真還是截止失真？其主要原因是什么？解Av

cLrbe

圖題,R=R∥r,=若用值小的晶體管，則I基本不變，V增，不。

v

|減，基不變，由極管的非線性特性引起的失真，不是飽和失真，也不是截止失真。截失真，應(yīng)減小R飽失真，主要原因是由于溫度升高，晶體管的↓↑、I↑,使三極管的靜態(tài)工作點升高。題3.1.7雙型晶體管組成的基本放大電路如圖題、(b)、所示。設(shè)各BJTr＝200，＝，＝V。計各電路的靜態(tài)工作點；畫各電路的微變等效電路，指出它們的放大組態(tài)；求壓放大倍數(shù)、入電阻R和出電阻R。v當步加大輸入信號時，各放大電路將首先出現(xiàn)哪一種失真（截止失真或飽和真最大不失真輸出電壓幅度為多少？

ivibeivibe圖題3.1.7解圖(a)電路：求態(tài)工作點I

120.712sI

mA

CEQ

(32)I

VCE態(tài)，微變等效電路為：動指標計算rrbe'

VIEQ

2000.56.073v

crbe

0.56

R0.56R0.56si

(179)rk

ocom1com2CESb1b1CQce'beoLocom1com2CESb1b1CQce'beoLibeieoom1Lom2omBQCQ=kΩ當止失真時，=I·RV當飽和失真時，V=｜V｜｜≈V所以，首先出現(xiàn)飽和失真V圖(b)電路：求態(tài)工作點

omRRIR//Rb12eI=ImAV+R)IVCB態(tài)，微變等效電路為：動指標計算V26rkbbI0.018EQV()505.1)A77.7Vr1.64ibbeVrRR//1//31I151i≈kΩ當止失真時，=I·R′×V當飽和失真時，V=V-VV所以，首先出現(xiàn)截止失真VV圖(電路：求態(tài)工作點1515I20051I=ImAVI·=15-2×V組態(tài)，微變等效電路為：

'beocLViIbeeivom1'beocLViIbeeivom1Lom2ombeBECC'動指標計算V26rbbIEQV(1(R//)AVIr(//)51ibLRr(1//R)200//0.8551kibbeeLir////R////54I

RLR0.99Rsi當止失真時，=I·R′=2×1.5=3V當飽和失真時，V=V-VV所以，首先出現(xiàn)截止失真=3V題在題3.1.8示的放大電路中三極管＝r＝＝V電容都足夠大。試計算：電的靜態(tài)工作點；求路的中頻源電壓放大倍數(shù)

A

VV

s

；求路的最大不失真輸出電壓幅值。圖題3.1.8解求路的靜工作點：

bVV39b2d

b

b1

b

)20//4013.3dI

BQ

R

'b

)1e2

41

34.6I

BQ

40

obcLAVIrRobcLAVIrRibb'BEZCQCEQii

I

()(22)V12微等效電路為：V(//ibeb

//)Lr(1bee

0.80.2

R//ib1

//[r]//39//(0.85.4kbe1Avsv

R5.4Ri考截止失真時，V

CQ

'L

V考慮飽和失真時，

CES

)

RLR1

L

(6.4

4.8V所以，首先出現(xiàn)截止失真，最大不失真輸出電壓為

om

1.4V題放電路如圖題所示，設(shè)晶體管的r＝300，＝20，＝V。為理想的硅穩(wěn)壓二極管，其穩(wěn)壓值V＝。電容都足夠大，在交流通路中均可視作短路。求路靜態(tài)工作點I和V畫各電路的微變等效電路；求壓放大倍數(shù)

和輸入電阻R說電阻在電路中的作用；若D極接反，電路能否正常放大？試計算此時的靜態(tài)工作點，并定性分析D反接對A和R的響。圖題

BQZCQbecvib1beBQBQZCQbecvib1beBQCQCEQmio解求態(tài)工作V=V+=6.7VI

b1

6.76.7mAI=ImAV×V微等效電路：rbb

'

VIEQ

300395Ar0.395beR∥R∥r=24∥24Ω電對穩(wěn)壓管起限流作用，使穩(wěn)壓管工作在穩(wěn)壓區(qū)。若D極接反，則V，I，VV，因此，該電路仍能正常放大，但由于I變，使|增，減。CQi題組的基本放大電路如圖題3.1.10(a)所示。各＝2mS畫各電路的微變等效電路，指出它們的放大組態(tài)；求壓放大倍數(shù)、輸入電阻和輸出電阻R。圖題解電為共源CS組態(tài)。微變等效電路為：

mgsdViIim'IImgsdViIim'IIL(IgI)rIVI(R//R)A(R//R)(5.1//vdLigsVRRRR47Mig1iR5.1o圖(b)電路：CD組態(tài)，變等效電路為：V1sgsgs∞11////0.4kΩgm題3.1.11流源電路如圖題示若已知管子的參數(shù)r試明該恒流源的等效內(nèi)阻rom圖題

圖解在其微變等效電路中，負載開路，在輸出端V，如圖3.1.11所。

'(')r'mo'''''o'R)rRm

oIIroIIrII)oII33BEw1bb'121io題雙型晶體管構(gòu)成的恒流源電路如圖題所示出電路的微變等效電路恒源的輸出電阻的達式。圖題解微變等效電路如圖所示。根據(jù)微變等效路可列:I)rII)Roob3[//R]I(IIR12o

圖由上可得：

Ib

R3RRr12

3

oo

'''ob''o

Rr//RrR//12be323r//Rr12be3

3

R

3題放電路如圖題所示＝電位器的心抽頭處于居中位置＝β＝，r＝300。T、管起什么作用，它們分別是什么電路？計靜態(tài)時T管集電極電流I；求壓放大倍數(shù)

、輸入電阻R和出電阻R。圖題

1212R3V(1o2wi1be1Lo111CQBE1212R3V(1o2wi1be1Lo111CQBEio12解T管成射極跟隨(電路；T管成恒流源，作為管大路的射極電阻。I近似為恒流源的輸出電流。I1EQ

R1R//11

400.72424//0.7551

mA電放大倍數(shù)為：//R)AV//)2Ribe1wo21式中為流源的輸出電阻，由于R＞，以可忽略。rbe1

bb

'

V0.46I1Q1A21251

輸入電阻R=R+r×kΩ輸出電阻

rR0.4651Rbe112

題放電路如圖題所示。指、管各起什么作用，它們分別屬于何種放大電路組態(tài)？若T、管數(shù)已知，試寫出T管靜態(tài)電流I、態(tài)電壓的表達式（設(shè)各管的基極電流忽略不計V＝V寫該放大電路的中頻電壓放大倍數(shù)A、入電阻R和出阻R的近似表達式（設(shè)穩(wěn)壓管的r≈0圖題解1)T管共源放大電路T管共基放大電路

2IIDQI≈IZBEDQ2IIDQI≈IZBEDQ3CCDSQDQbeLmi1oLLioioio由

V可解出IDQ。(off)VIRGSQ3CQV=-(V--I)V=-［V+VI(R)中微變等效電路為：AvR=

rR//)rbe

(RRmL題對高內(nèi)阻的輸入信號源

V

s

和阻值較小的負載R，采用如圖題3.1.15(a)、(b)所示的三個放大電路進行放大。設(shè)信號源內(nèi)阻為＝100k，負載＝100Ω。中放電路的輸入電阻R＝1kΩ，輸出電阻＝10Ω，負載開路時的電壓放大倍數(shù)為A＝；CC放電路的輸入電阻＝100kΩ輸出電R＝100Ω載開路時的電壓放大倍數(shù)為≈。o分計算三種放大器的源電壓放大倍數(shù)A，并比較它們的大小；討和對電壓放倍數(shù)的影響。圖題

LvoiiViAii2i3L.ioio112212e1LvoiiViAii2i3L.ioio112212e1oio12解計源電壓大倍數(shù)圖(電路：

。vsa

VLVsRsRii

Avo

LRisL圖(b)電路：

110010Avsb

V

RLRiL圖(電：

0.251000.1A

VV

vo

RRRiio2i3L

1100由上可見，(c)路的A

最大。和R的小會影各單級放大電路的源電壓放大倍數(shù)。欲使增，要求R盡可能大R盡能小。在多級放大電路中，還應(yīng)注意各級之間的合理搭配。題在題所示的兩級放大電路中，若已知T管的、r和管r，電容C、C、C在交流通路中均可忽略。分指出T、組的放大電路的組態(tài)；畫整個放大電路簡化的微變等效電路（注意標出電壓、電流的參考方向求該電路在中頻區(qū)的電壓放大倍數(shù)A電R和出電阻的表達式。i圖題解T管成共射）組態(tài)T管組成共集）組態(tài)。整放大電路的微變等效電路如圖所示。

i2i2be2Li2i2be2LR=R∥r1m2beceCEQ2io圖第級的電壓放大倍數(shù)為：A

V-R)iVri是二級放大電路的輸入電阻=r+(1+RR。第二級放大電路為射極跟隨器，所以2

所以，Avv1v

-{//[r1be

(1)(//)]}24Lr1ii1RRo4

R2be2題3.1.17兩阻容耦合放大電路如圖題所示，已知T為N溝道耗盡型絕緣柵場效應(yīng)管，=2mST為極型晶管，r=1KΩ忽略r，求：第級電路的靜態(tài)工作點I和V；畫整個放大電路簡化的微變等效電路；該路在中頻段的電壓放大倍數(shù)

；整放大電路的輸入電阻=？，輸出電阻R？當大輸入信號時，該放大電路是先出現(xiàn)飽和失真還是先出現(xiàn)截止失真？其最不失真輸出電壓幅度為多少？圖題解求二級的態(tài)工作點：

io'bbeLLio'bbeLLI

CQ

EQ2

Rb2RRb12R//Rb121

BE2R12

3.7560//2051

1.27mA

CEQ2

I

CQ

(RR)1.27V整放大電路簡化的微變等效電路：圖求壓放大倍數(shù)：R//Rmdi其中，R//i1

b

//[r(1]//20//(10.1)]bee(R)//4.33)diAv2

RcLrbe

0.1

所以，Av2

73.8求入電阻和出電阻：Ri

g1

//

g

47.1MRko當大輸入信號時，若出現(xiàn)截止失真，則VI

CQ

//1.9VL若出現(xiàn)飽和失真，則

V

CES

)

RLR

L

(8.5

0.11.5

V所以，電路先出現(xiàn)截止失真，最大不失真輸出電壓

V。題3.1.18在圖題3.1.18所電路中，設(shè)電容μF，kΩ，rkΩ，RΩ，，=0。求路的下限頻率f；當號源頻率下降到下限頻率f時壓放大倍數(shù)為多少？輸出電壓與信源電壓

LLc∴0.707ALHLHLLc∴0.707ALHLHH的相位差為多少？圖題解求限頻率f

L11f2CrR)C2ibbeS

159當號源頻率下降到f時，電壓放大倍數(shù)為中頻區(qū)的0.707倍A

rbe

輸出電壓與輸入電壓的相位差-°°=-135題3.1.19某放大電路電壓放大倍數(shù)的頻率特性表達式為

100(jfjf/10

畫出其波特圖，求其下限截止頻率f和上限截止頻率f。解波特圖如下。f，f=50kHz題某放電路電壓放倍數(shù)高頻段的頻率特性表達式為

jfkHz

畫出其波特圖，求其上限截止頻率f的近似值。

H4578H4578解波特圖為：圖上限截止頻率f。題已知反相放大電電壓放大倍數(shù)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖題1所：寫該放大電路電壓放大倍數(shù)的頻率特性表達式；寫該放大電路電壓放大倍數(shù)的相頻特性表達式，畫出對數(shù)相頻特性曲線。圖題解該反相放大電路中頻區(qū)的電壓放大倍數(shù)為80dB4

轉(zhuǎn)頻率分別為10、107、8。以其頻率特性表達式為A

jf/10jf/10jf/10Hz)相特性表達式為

arctg(f/10

5

)(f/10

7

)(/10

8

)對數(shù)相頻特性曲線為：

iiLHLoiiLHLo題單放大電路如圖題3.1.22所為5mV()的正弦交流電壓三極管Q2N3904的模型參數(shù)，用程仿分析下列項目：研放大電路各點的電壓波形及輸入輸出電壓的相位關(guān)系；電增益的幅頻特性和相頻特性曲線；當率從10Hz變到MHz時，繪制輸入阻的幅頻特性曲線；當率從10Hz變到MHz時，繪制輸出阻的幅頻特性曲線；當V為50mV(幅值的正弦輸入信號時，觀察輸出電壓波形的失真情況。圖題解首先輸入并編輯好電路圖，根據(jù)要求設(shè)置有關(guān)分析參數(shù)。通瞬態(tài)(Transient)分析以查看放大電路各點的波形輸電壓和輸出電壓的波形如圖3.1.22(1)示。圖3.1.22(1)輸電壓和輸出電壓的波形通交流(ACSweep)分析可以查看放大電路的頻率特性。電壓增益的幅頻特性和相頻特性如圖3.1.22(2)示。下限頻率f為33Hz上限頻率f為30MHz；中頻段的電壓放大倍數(shù)為47.3。輸阻抗的幅頻特性如圖3.1.22(3)所示。中頻段時輸入電阻Ω根求輸出阻抗的定義分析計算輸出阻抗：將輸入電壓源短路，保留內(nèi)阻，輸負載電阻開，并在輸出端加一電壓源，圖所示。此時進行AC分析后，可得輸出阻抗曲線如圖所示，其中中頻段時輸出電阻為4.95kΩ。

圖3.1.22(2)幅頻與相頻特性曲線圖3.1.22(3)輸阻抗特性曲線圖3.1.22(4)輸阻抗分析計算電路圖3.1.22(5)輸阻抗特性曲線

iioHiioH當V為50mV(幅值的正弦波時，重新進行瞬(Transient)分析。輸出電壓的失真情況如圖3.1.22(6)所。在中對其進行傅里葉分析后，得輸出波形的頻譜圖如圖所了高分析精度盡量延長瞬態(tài)分析時間例分析時間為100個周期圖3.1.22(6)輸出電壓的失真情況圖3.1.22(7)輸波形的頻譜圖在瞬態(tài)分析中設(shè)置傅里葉分析，在輸出文件中可以得到如下結(jié)果，其中總諧波系數(shù)為32.5%FOURIERCOMPONENTSTRANSIENTV(out)HARMONICFREQUENCYNORMALIZEDPHASENO(HZ)COMPONENT1-1.784E+02238.891E-0245678910HARMONICDISTORTION=3.252327E+01PERCENT題多放大電路如圖題所，試用程求電路的中頻電壓增益阻R、輸出電阻R及限頻率f。

、輸入電

HLoHLo圖題解：首先輸入并編輯好電路圖，據(jù)要求設(shè)置有關(guān)分析參數(shù)。其中信號源可選VSIN元，屬性設(shè)為AC1mVVOFF0＝1mV＝10K析方式選中ACＳ及BiasPointDetail中交流掃描分ACＳweep...設(shè)置為ACTypeDecade十倍程掃描ts/Decade101ＳtartFreq.：10EndFreq.：10Meg。執(zhí)行仿真分析后，在robe程中選擇示V(Vo)/V(Vi:+)，如圖3.1.23(1)示。顯示光（Tools菜子單中選中項標移至中頻可得到該放大電路中頻區(qū)的電壓放大倍數(shù)為5.6。將光標移至電壓放大倍數(shù)為處（即中頻區(qū)電壓放大倍數(shù)的倍），可得到對應(yīng)的頻率為，所以該電路的上限頻率為MHz。圖3.1.23(1)電放大倍數(shù)頻率特性在Ｐ序中選擇顯示V(Vi:+)/I(Vi)該電路的輸入阻抗特性曲線所示。可知中頻區(qū)的輸入電阻為Ω。圖3.1.23(2)輸阻抗特性曲線為求輸出電阻，先在電路圖編輯程序）中將輸入電壓源短路，輸出負載電阻R開，并在輸出端加一電壓源V，其余保持不變，然后執(zhí)行仿真分析。在robe序

ioHioHioHioH中選擇顯示V(Vo)/I(Vo)得到該電路的輸出阻抗特性曲線圖3.1.23(3)所示可中頻區(qū)的輸出電阻為kΩ。圖3.1.23(3)輸阻抗特性曲線題3.1.24試用序求圖題3.1.24示電路的中頻電壓增益輸電阻R輸出電阻及限頻率f。圖題解輸入并編輯好電路圖，設(shè)置交流掃描分析ACＳweep...得中頻源電壓增益A為9.2，輸入電阻R為5MΩ，輸出電阻為，上限頻率f為5.4MHz。其中，源電壓增益的對數(shù)幅頻特性曲線如圖所。

v圖源電壓增益對數(shù)幅頻特性曲線

22222-7.將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型。(1)(3)

u

(2)

2y解(1)由所求的系統(tǒng)輸入輸出方,a=2,a=6,ab當選擇輸出y及1、階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量時得狀態(tài)空間模型為

0

10

0

x

01x0u

[1

0](2)先將方程變換成y首項的系數(shù)為1,方程兩邊除以，得y

3y22由所求的系統(tǒng)輸入輸出方程,a=0,=0,=1/2,b=0,b故由式(2-17)得24因此,選擇狀態(tài)變量

1xyu21xu1xyu時,寫出狀態(tài)空間模型為

0x0u

3/204y0

(3)由所求的系統(tǒng)輸入輸出方程a=4,a=5,=1,b故由式(2-17)得2因此,選擇狀態(tài)變量

yyyuyu時,寫出狀態(tài)空間模型為

0

19u

222-8下列傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型(1)

G(s

2ss

(2)(s)

ss(3)

(s)

s(s(s解(1)由系統(tǒng)特征多項式

,求得系統(tǒng)的極點為s=-1,s=-2,=-3于是有G()

kkss2

其中,(s)(1)]Gs)(2)]Gss

故當選擇狀態(tài)變量為()式并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出可得狀態(tài)空間模型為0x0

xu

0

(2)對本題，先用長除法求出嚴格真有理函數(shù)如下由系統(tǒng)特征多項式

G()ss,求得系統(tǒng)的極點為

()s

s于是有k(s)s

其中,kG(s)(s2)]kG(s

故當選擇狀態(tài)變量為()式并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出可得狀態(tài)空間模型為

11(3)由系統(tǒng)特征多項式于是有

ss

xu,求得系統(tǒng)的極點為ss=s=-3,Gs)

11s1

2

1231s1

3其中kG(s)(s3)

]

k

dd

[G(

]kG(s)(。故當選擇狀態(tài)變量為()式串聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出,得狀態(tài)空間模型為100y3]

pppp00,2-9試求題圖2-9所示系統(tǒng)的模擬結(jié)圖建立其狀態(tài)空間模型。U(s)+

_

s

+_

Ks

+_

1

J

K

s題圖2-9解：系統(tǒng)方框圖變換成：u+

_

_

x

_

x

_

x

x

x

x

1則狀態(tài)空間表達式

AxCx

中：/011/J1/J00

1

1/p/Jb2

/k100000

/n

k

,C000

D

10102-10給定題圖示的一個系統(tǒng)方框圖入變量和輸出變量分別u和y,列出系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間模型。題圖2-10解：首,出狀態(tài)方程。對,需將給方塊圖化為圖示規(guī)范方塊,并圖中所示把每個一階環(huán)節(jié)的輸出取為狀態(tài)變量,x,。進而,利用每個環(huán)節(jié)的果關(guān)系,以導(dǎo)出變換域變量關(guān)系式：

2

2

1

基此,以導(dǎo)出變換域狀態(tài)變量方程：

?

將上述關(guān)系式組取拉普拉斯反變換,運用

L

ii

,定義此方塊圖的狀態(tài)變量方程：x502x2xxxx再將上述方程組表為向量方程,到此方塊圖的狀態(tài)方程：

2-22x2-21-1-3進而,出輸出方程。對此,方塊圖中相應(yīng)環(huán)節(jié)顯示的因果關(guān)系可直接導(dǎo)此方塊圖的輸出方程：

0

2-11已系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

3

0

1

x1

520u

0

215y

36

02

x現(xiàn)用

=Px進行狀態(tài)變換,變換矩陣為

0

00

0

試寫出狀態(tài)變換后的狀態(tài)方程和輸出方程。解本題的線性變換為x=Px因此相應(yīng)的各個矩陣的變換公式為PAP

BPB,C

P的逆矩陣為

001/

因此有PAP

30

054/3

0PB4CCP

36

010

故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為

3

00x2

5/3x4u

0

3

y

36

031

x

02-12求下列各方陣A特征值、特征向量和廣義特征向量。(1)

＝

3

(2)

22121

1

0

(3)

01

(4)

1

4

解(1)由特征方程|λI-A可求得系統(tǒng)的特征值為λλ計算對應(yīng)于λ=1的特征向量。按定義有(λ-)=0將、λ和v代入上式

該方程組有無窮組解。由于n-rank(-)=1,特征向量解空間為1,通解式為v

令v=1,得如下獨立的特征向量v再計算對應(yīng)于重特征值λ=2的特征向量。按定義有(λ-)=0將、λ和v代入上式

由于n-rank(A該方程組有特征向量解空間為1維通解式為v

v

v

因此,之得v1

(2)由特征方程|λI-A|=0可求得系統(tǒng)的特征值為λ=λ=-1,λ=5即-1為統(tǒng)的二重特征值代數(shù)重數(shù)為2計算對應(yīng)于二重特征值-1的特征向量。定義有(λ-)=0將、λ和v代入上式v由于n-rank(A該方程組有特征向量解空間2,特征向量解空間為2,立的特征向量數(shù)為2解該方程,得特征向量的通解式為v1

11

v12

v23

11

v12

v)1112

因此,=1,1,解之得v

和

v

即重特征值2有個線性獨立的特征向量,該重特征值的幾何重數(shù)亦為。再計算對應(yīng)于重特征值λ的特征向量。按定義有(λ-)=0將、λ和v代入上式

44該方程組有無窮組解。由于n-rank(-)=1,特征向量解空間為1,通解式為v331

v32

v33

31

v31

v31

令v=1,得如下獨立的特征向量v

(4)由特征方程IA|=0求得系統(tǒng)的特征值為λλλ=2由于矩陣為友矩陣，因此對應(yīng)于=λ=1的征向量和廣義特征向量分別為

v

T

1v

1對應(yīng)于λ的特征向量和廣義特征向量分別為

T

(4)由特征方程IA|=0求得系統(tǒng)的特征值為λλ=-2由于矩陣為友矩陣，因此對應(yīng)于=λ=λ的特征向量和廣義特征向量分別為

2011

x0x0x15u2-13試將下列狀態(tài)方程變換為約旦規(guī)范形對角線規(guī)范)(1)

0x2101x2

(2)

4x51解(1)先求A的特征值。由特征方程|λI-A|=0求得系統(tǒng)的特征值為λ=-1,λ=1,λ=2求特征值所對應(yīng)的狀態(tài)向量。由前述方法可求得特征值,λ,和λ對應(yīng)的特征向量分別為=[01-1]

,

=[101]

,

p00]

取系統(tǒng)的特征向量組成線性變換矩陣P并求逆矩P,有

1

0

0

10

11

計算

、

B

和

~C

00

A

AP00

10

B

B5C

2

0故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量

~

下的狀態(tài)空間模型為

0

2

x

0

0

y

2

11

x(2)先求A的特征值。由特征方程|λI-A|=0求得系統(tǒng)的特征值為λ=-1,λ=1,λ=2求特征值所對應(yīng)的狀態(tài)向量。由前述方法可求得特征值,λ,和λ對應(yīng)的特征向量分別為

=[-4-3-2]

,

=[321]

,

p=[211]

取系統(tǒng)的特征向量組成線性變換矩陣P并求逆矩P,有32

21

P10

1

1

計算

、

BP

002,03

P

1

故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為

1u

0

2-14狀空間模型為

00x

1

1(1)畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖;(2)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：(i)系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

2

1

3

(ii)傳遞函數(shù)

G()

由下式給出：G(s)C(sI

BD對于該問題,陣A,B,C和D為：10C11因此：G(s10s22ss2s

ssss1sss2212-15已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣

W(s)和W()

分別為

1

1

1

1

W(

s0

Ws)s1s

s0

試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)聯(lián)結(jié)時,統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。解：串