學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年人教版A數學選修1-2教師用書：第2章2.12.1.1合情推理含解析2。1合情推理與演繹推理2.學習目標核心素養1．了解合情推理的含義．(易混點）2．理解歸納推理和類比推理的含義,并能利用歸納和類比推理進行簡單的推理．(重點、難點）1．通過學習歸納推理和類比推理,培養數學邏輯推理的素養．2．借助合情推理,培養抽象概括的素養。1．歸納推理與類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)特征歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理類比推理是由特殊到特殊的推理思考：歸納推理和類比推理的結論一定正確嗎？[提示］歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍,其前提和結論之間的聯系不是必然性的,而是或然性的，結論不一定正確．類比推理是從人們已經掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結果具有猜測性,不一定可靠．2．合情推理eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\x（歸納推理），\x(類比推理))）→eq\x(\s\up（合情,推理)）→eq\x(\s\up（從具,體問,題出,發)）eq\o(→,\s\up16（經過觀察、分析、比較、聯想），\s\do6（再進行歸納、類比))eq\x(\s\up(提出,猜想))1．魯班發明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿,“鋸子”能“鋸"開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形狀上也應該類似，“鋸子”應該是齒形的．該過程體現了()A．歸納推理 B．類比推理C．沒有推理 D．以上說法都不對B［推理是根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程，上述過程是推理，由性質類比可知是類比推理．]2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高，2)，可推知扇形的面積S扇＝（）A。eq\f(r2，2)B。eq\f(l2,2）C.eq\f(lr,2)D．不可類比C［結合類比推理可知S扇＝eq\f(lr，2）。］3．如圖所示，由若干個點組成形如三角形的圖形,每條邊（包括兩個端點）有n（n>1，n∈N＊）個點，每個圖形總的點數記為an，則a6＝________,an＝______（n>1，n∈N*）．153n－3［依據圖形特點,可知第5個圖形中三角形各邊上各有6個點,因此a6＝3×6－3＝15。由n＝2,3，4,5，6的圖形特點歸納得an＝3n－3（n〉1，n∈N*）．］數、式中的歸納推理【例1】（1)觀察下列等式：12＝1，12－22＝－3,12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此規律，第n個等式可為________．（2）已知：f（x)＝eq\f（x，1－x）,設f1（x）＝f（x），fn(x)＝fn－1(fn－1（x））（n>1，且n∈N＊）,則f3（x）的表達式為________,猜想fn（x）（n∈N*)的表達式為________．（3）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝3，滿足Sn＝6－2an＋1（n∈N*)．①求a2，a3，a4的值;②猜想an的表達式．(1)12－22＋32－42＋…＋(－1）n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1，2）(2)f3(x)＝eq\f（x,1－4x）fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x）［（1）12＝1，12－22＝－（1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝(－1）n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1，2).(2)∵f(x)＝eq\f(x，1－x），∴f1(x）＝eq\f（x，1－x）.又∵fn（x)＝fn－1(fn－1（x）)，∴f2（x)＝f1（f1(x））＝eq\f(\f(x,1－x），1－\f（x，1－x）)＝eq\f(x,1－2x)，f3(x）＝f2(f2(x））＝eq\f(\f（x，1－2x）,1－2×\f（x，1－2x)）＝eq\f(x，1－4x)，f4(x)＝f3(f3(x）)＝eq\f（\f(x,1－4x),1－4×\f(x，1－4x）)＝eq\f（x,1－8x)，f5（x）＝f4（f4（x))＝eq\f（\f（x，1－8x）,1－8×\f(x,1－8x）)＝eq\f（x,1－16x),根據前幾項可以猜想fn（x)＝eq\f（x,1－2n－1x）。］(3）解：①因為a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N＊)，所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝eq\f(3，2），又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋eq\f(3，2)，解得a3＝eq\f（3,4），又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋eq\f（3,2)＋eq\f（3，4）,解得a4＝eq\f(3,8）。②由①知a1＝3＝eq\f(3，20），a2＝eq\f（3,2)＝eq\f（3，21），a3＝eq\f（3，4）＝eq\f（3,22），a4＝eq\f（3,8)＝eq\f（3,23）,…，猜想an＝eq\f（3,2n－1)(n∈N*)．進行數、式中的歸納推理的一般規律1已知等式或不等式進行歸納推理的方法,①要特別注意所給幾個等式或不等式中項數和次數等方面的變化規律；②要特別注意所給幾個等式或不等式中結構形式的特征；③提煉出等式或不等式的綜合特點；④運用歸納推理得出一般結論.2數列中的歸納推理,在數列問題中,常常用到歸納推理猜測數列的通項公式或前n項和公式.①通過已知條件求出數列的前幾項或前n項和；②根據數列中的前幾項或前n項和與對應序號之間的關系求解；③運用歸納推理寫出數列的通項公式或前n項和公式。eq\o（［跟進訓練］）1．（1）數列5，9,17,33，x，…中的x等于________．(2)已知下列各式:1＞eq\f（1，2）,1＋eq\f(1，2）＋eq\f(1，3）＞1,1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1,3)＋eq\f(1,4）＋eq\f（1，5）＋eq\f(1，6）＋eq\f（1,7）＞eq\f(3，2)，1＋eq\f(1，2）＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f(1,15)＞2,…,請你歸納出一般性結論：________.(1）65(2)1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(n，2）[（1）因為4＋1＝5,8＋1＝9,16＋1＝17，32＋1＝33，猜測x＝64＋1＝65.(2）觀察不等式左邊，各項分母從1開始依次增加1，且終止項為2n－1，不等式右邊依次為eq\f(1,2），eq\f（2,2），eq\f（3，2），eq\f（4,2)，…，從而歸納得出一般結論：1＋eq\f(1，2）＋eq\f(1，3)＋…＋eq\f（1,2n－1）＞eq\f（n，2).］幾何圖形中的歸納推理【例2】（1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律拼成若干個圖案,則第n個圖案中有黑色地面磚的塊數是________．(2)根據圖中線段的排列規則，試猜想第8個圖形中線段的條數為________．（1)5n＋1（2）509[（1）觀察圖案知，從第一個圖案起，每個圖案中黑色地面磚的個數組成首項為6，公差為5的等差數列，從而第n個圖案中黑色地面磚的個數為6＋(n－1）×5＝5n＋1.(2）圖形①到④中線段的條數分別為1,5，13,29，因為1＝22－3，5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8個圖形中線段的條數應為29－3＝509.]利用歸納推理解決幾何問題的兩個策略1通項公式法：數清所給圖形中研究對象的個數，列成數列，觀察所得數列的前幾項，探討其變化規律，歸納猜想通項公式。2遞推公式法：探究后一個圖形與前一個圖形中研究對象的個數之間的關系，把各圖形中研究對象的個數看成數列,列出遞推公式，再求通項公式。eq\o([跟進訓練］）2．如圖所示,由火柴棒拼成的一列圖形中,第n個圖形中由n個正方形組成：通過觀察可以發現:第5個圖形中，火柴棒有________根；第n個圖形中，火柴棒有________根．163n＋1［數一數可知各圖形中火柴的根數依次為：4,7,10,13,…，可見后一個圖形比前一個圖形多3根火柴,它們構成等差數列，故第5個圖形中有火柴棒16根，第n個圖形中有火柴棒（3n＋1)根．］類比推理及其應用三角形與四面體有下列相似性質：(1)三角形是平面內由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形．(2）三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形．通過類比推理，根據三角形的性質推測空間四面體的性質，完成下列探究點：［探究問題]1．在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊,那么，在四面體中，各個面的面積之間有什么關系？提示:四面體中的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積．2．三角形的面積等于底邊與高乘積的eq\f（1，2），那么在四面體中，如何表示四面體的體積？提示：四面體的體積等于底面積與高的乘積的eq\f（1，3）.【例3】(1)在等差數列{an｝中,對任意的正整數n，有eq\f（a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1，2n－1）＝an.類比這一性質，在正項等比數列｛bn｝中，有________．(2)在平面幾何里有射影定理：設△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影,則AB2＝BD·BC。拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點O是A在平面BCD內的射影,類比平面三角形射影定理，寫出△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間的關系,并給予必要證明．思路探究:（1)類比等差數列及等比數列的性質求解．(2)將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側棱AD與一側面ABC垂直的四棱錐的側面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al（2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC。［解](1）由a1＋a2＋…＋a2n－1類比成b1·b2·b3…b2n－1,除以2n－1,即商類比成開2n－1次方，即在正項等比數列｛bn｝中，有eq\r（2n－1，b1·b2·b3…b2n－1)＝bn。（2）△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關系為Seq\o\al（2,△ABC）＝S△OBC·S△DBC.證明如下：如圖，設直線OD與BC相交于點E，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，AD⊥BC,又∵AO⊥平面BCD,∴AO⊥DE，AO⊥BC。∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AED,∴BC⊥AE，BC⊥DE.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE，S△BOC＝eq\f（1，2)BC·OE,S△BCD＝eq\f(1，2)BC·DE。在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE,∴Seq\o\al（2,△ABC）＝S△BOC·S△BCD.1．(變條件)把本例(2）中的射影定理的表示換為“a＝b·cosC＋c·cosB，其中a,b,c分別為角A，B，C的對邊”．類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想．［解]如圖所示，在四面體P－ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β,γ依次表示平面PAB,平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小．我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現形式應為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.2．（變條件)把本例(2）條件換為“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點D,有eq\f(1,AD2)＝eq\f（1,AB2）＋eq\f(1，AC2)成立”．那么在四面體A－BCD中，類比上述結論,你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由．［解］猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A－BCD中，AB，AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD。則eq\f（1，AE2）＝eq\f（1,AB2）＋eq\f(1,AC2)＋eq\f（1,AD2）。下面證明上述猜想成立如圖所示，連接BE，并延長交CD于點F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A,∴AB⊥平面ACD。而AF平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2）＝eq\f(1，AB2)＋eq\f(1,AF2）。在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1，AF2）＝eq\f(1，AC2)＋eq\f（1，AD2）.∴eq\f（1,AE2)＝eq\f（1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f（1,AD2)，故猜想正確．類比推理的一般步驟1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理．2．合情推理的過程概括為：eq\x（從具體問題出發)→eq\x(觀察、分析、比較、聯想）→eq\x（歸納、類比）→eq\x(提出猜想)1．判斷正誤（1)利用合情推理得出的結論都是正確的． （）（2）類比推理得到的結論可以作為定理應用． （）（3)由個別到一般的推理為歸納推理． （）［答案](1)×（2)×（3)√2．把3,6，10，15,21，…這些數叫作三角形數，如圖所示，則第六個三角形數是()A．27 B．28C．29 D．30B［第一個三角