專題強化彈簧一小球模型滑塊一斜（曲）面模型［學習目標］1?進一步理解動量守恒定律、動能定理、能量守恒定律的內容及含義.2?會應用動量觀點和能量觀點分析這兩類模型.重點探究/啟迪思錐探究垂點一、彈簧一小球模型1.對兩個（或兩個以上）物體與彈簧組成的系統，在相互作用的過程中，若系統合外力為零,則滿足動量守恒定律.2?在能量方面，由于彈簧發生形變，具有彈性勢能，系統的總動能將發生變化，若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能守恒?若還有其他外力和內力做功，這些力做功之和等于系統機械能的改變量.3.彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大?如系統每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈簧為自然長度時，系統內彈簧某一端的物體具有最大速度，此時彈性勢能為零.【例1】如圖1所示，光滑水平面上靜止著一質量為m2的剛性小球，小球與水平輕質彈簧相連，另有一質量為m1的剛性小球以速度v0向右運動，并與彈簧發生相互作用，兩球半徑相同，求:（1）彈簧彈性勢能的最大值；（2）彈簧第一次恢復原長時，m「m2兩球的速度大小.mmv2答案(1)2十:2(m］十m2)(2)(m1_m2)vo2m1vom1+m2m1+m2解析（1）兩球速度相同時，彈簧彈性勢能最大?以勺的方向為正方向，由動量守恒疋律得mv二（m1+m2）v由能量守恒得2血］勺2-2（m1+m2）V2+Epmax解得e二m1空02pmax2(m1+m2)⑵從m1與彈簧接觸到彈簧第一次恢復原長，整個過程兩球相當于發生彈性碰撞，由動量守22恒定律和能量守恒定律得:m1v0二m1v1'+m2p2'2v2l2m2v2l2m

+211l2m=2011

l2m丿2sm+11「=cv1A

m22m+11m【例2如圖2所示，用水平輕彈簧相連的質量均為2kg的A、B兩物塊都以v=6m/s的速度在光滑水平地面上運動，彈簧處于原長，質量為4kg的物塊C靜止在前方，B與C碰撞后二者粘在一起運動.在以后的運動中，求：A"R圖2當彈簧的彈性勢能最大時，物塊A的速度多大？彈簧彈性勢能的最大值是多大？A的速度有可能向左嗎？為什么？答案(1)3m/s(2)12J(3)見解析解析(1)當A、B、C三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大.由于A、B、C三者組成的系統動量守恒，以v的方向為正方向，有：(m^+)v二(mA+mB+認解得叮二3m/s.(2)B、C碰撞時B、C組成的系統動量守恒，設碰后瞬間B、C兩者速度為vz,則：mBv二(mB解得：v=2m/s設彈簧的彈性勢能最大為Ep，根據能量守恒:1，丄丄丄Ep二^(mB+mC)v2十尹/2-[(mA+mB+mC)vA解得E二12J.p(3)A、B、C組成的系統動量守恒mAv+mBv=mAvA+(mB+mC)vB設A的速度向左，有莓＜0,爲＞4m/s則作用后A、B、C動能之和：+m+mC)vB2>48J實際上系統的總機械能為：E=Ep+2(mA+mB+mC)VA小球在圓弧軌道上能上升的最大高度；(小球在圓弧軌道上能上升的最大高度；(用v0、g表示)小球離開圓弧軌道時的速度大小.答案⑴器⑵中解析(1)小球在圓弧軌道上上升到最高時兩物體速度相同，系統在水平方向上動量守恒，規定小球運動的初速度方向為正方向，有：mvo=3mv，得v二中根據機械能守恒得：2mv02=2X3mv2+mgh解得：h二宇3g(2)小球離開圓弧軌道時，根據動量守恒，則有:mv0二mv1+2mv2根據機械能守恒，則有:二12J+36J二48J根據能量守恒定律，Ek＞E是不可能的，所以A不可能向左運動.二、滑塊一斜(曲)面模型對于滑塊一斜(曲)面模型，系統所受合外力不為零，但常在某一方向上的合力為零，則在該方向上系統動量守恒，再根據能量分析情況，結合能量規律列方程，聯立求解.【例3如圖3所示，有一質量為m的小球，以速度v0滑上靜置于光滑水平面上的光滑圓弧軌道.已知圓弧軌道的質量為2m,小球在上升過程中始終未能沖出圓弧，重力加速度為g，求：圖31_1丄12mv°2-2mv?十2X2mv22聯立以上兩式可得：V］二_|v0貝U小球離開圓弧軌道時的速度大小為中.【例4如圖4,光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上.某時刻小孩將冰塊以相對冰面3m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h=0.3m(h小于斜面體的高度).已知小孩與滑板的總質量為m1=30kg,冰塊的質量為m2=10kg,小孩與滑板始終無相對運動.取重力加速度的大小g=10m/s2.圖4求斜面體的質量；通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？答案(1)20kg(2)不能解析(1)規定向右的方向為正方向?冰塊在斜面體上運動到最大高度時兩者達到共同速度，設此共同速度為v，斜面體的質量為m3.由水平方向動量守恒和機械能守恒定律得m2v0二(m2式中v0二-3m/s為冰塊推出時的速度?聯立兩式并代入題給數據得m3二20kg.(2)設小孩推出冰塊后小孩的速度為V］，由動量守恒定律有m1v1+m2v0二0,代入數據得V］=1m/s設冰塊與斜面體分離后的速度分別為V和v3，由動量守恒定律和機械能守恒定律有m2v0二m2V2+m3V3?丄一丄+12m2V02_2m2V22+2m3V32聯立兩式并代入數據得v2二1m/s由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且處在后方，故冰塊不能追上小孩.隨堂演練/檢測評價達標過關（彈簧一小球模型）如圖5所示，位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q質量相等，Q與水平輕質彈簧相連.設Q靜止，P以某一初速度向Q運動并與彈簧發生碰撞.在整個碰撞過程中,彈簧具有的最大彈性勢能等于（）JTQ莊尹戸和歹科P的初動能P的初動能的1P的初動能的1P的初動能的1答案B解析把小滑塊P和Q以及彈簧看成一個系統，系統的動量守恒?在整個碰撞過程中，當小滑塊P和Q的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大?設小滑塊P的初速度為v0，兩滑塊的質量均為m，以v0的方向為正方向，則mv0=2mv，得v二予，所以彈簧具有的最大彈性勢能Epm二2mv02~2X2mv2-4mv02-扌左初，故B正確.2.（滑塊一曲面模型）（多選）（2020.馬鞍山二中期末）如圖6所示，質量為M的小車靜止于光滑的水平面上，小車的上表面和固定在小車上的1圓弧軌道相切且都光滑，一個質量為m的小球以速度球以速度v0水平沖上小車,小球一定沿水平方向向左做平拋運動小球可能沿水平方向向左做平拋運動小球可能沿水平方向向右做平拋運動小球可能做自由落體運動答案BCD

解析小球沖上小車，又返回，到離開小車的整個過程，系統水平方向動量守恒，取水平向右為正方向?由動量寸恒疋律得mV0二Mv+mv'由機械能守恒有:2mv02-*Mv2+2mv/2聯立得，v如果m<M，”與v0方向相反，小球離開小車后向左做平拋運動；如果m二M,d二0,小球離開小車后做自由落體運動；如果m>M,V與vo方向相同，小球離開小車后向右做平拋運動，所以B、C、D選項正確.3.（彈簧一小球模型）如圖7,在光滑水平直軌道上有三個質量均為m的物塊A、B、C.B的左側固定一水平輕彈簧（彈簧左側的擋板質量不計）.設A以速度v0向B運動，壓縮彈簧；當A、B速度相等時，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續運動?假設B和C碰撞過程時間極短，求從A開始壓縮彈簧直至與彈簧分離的過程中.（1）整個系統損失的機械能；（2）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能.答案1答案113⑴石叫（2）48叫解析A、B相互作用過程動量寸恒、機械能也寸恒，而B、C相碰粘接在一起時，動量寸恒，機械能不寸恒，系統產生的內能則為B、C相碰過程中損失的機械能?當A、B、C速度相等時，彈性勢能最大.⑴從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度V］時，對A、B與彈簧組成的系統，以v0的方向為正方向，由動量寸恒定律得mv。二2mV］①此時B與C發生完全非彈性碰撞，設碰撞后瞬間的速度為v2，損失的機械能為△￡.對B、C組成的系統，由動量寸恒定律和能量寸恒定律得m。]二2mv2②2mv]2-AE+2(2m)v22③聯立①②③式得AE二^mvo2.④160（2）由②式可知叮乞，A將繼續壓縮彈簧，直至A、B、C三者速度相同，設此速度為v3，此時彈簧被壓縮至最短，其彈性勢能為E，由動量守恒定律和能量守恒定律得mv0二3mv3⑤2mv02-=2（3m）v32+Ep@聯立④⑤⑥式得E二48mv02.480專題強化練/克雉解疑藉準高效丫基礎強化練1.如圖1所示，水平彈簧的一端固定在豎直墻上，質量為m的光滑弧形槽靜止在光滑水平面上，底部與水平面平滑連接，一個質量也為m的小球從槽上h高處開始自由下滑（）在以后的運動過程中，小球和槽組成的系統動量始終守恒在下滑過程中小球和槽之間的相互作用力始終不做功被彈簧反彈后，小球和槽都做速率不變的直線運動被彈簧反彈后，小球和槽的機械能守恒，小球能回到槽上h高處答案C解析小球從弧形槽上下滑過程中，小球和槽組成的系統在水平方向上動量守恒，但是，當小球接觸彈簧的過程中，彈簧會對小球施加一個水平向左的外力，故在此運動過程中小球和槽組成的系統動量不守恒，A錯誤；小球在弧形槽中下滑過程中和弧形槽之間產生了一個垂直于接觸面的彈力，而且在彈力水平分力的方向上兩者都發生了位移，故小球和弧形槽之間的相互作用力會做功，B錯誤；小球下滑時，與光滑弧形槽在水平方向上動量守恒，所以小球離開光滑弧形槽時，兩者速度大小相等、方向相反，因此，小球被彈簧反彈后，速度與光滑弧形槽速度相等，且都做勻速直線運動，小球不能追上光滑弧形槽，C正確，D錯誤.（多選）如圖2所示，與水平輕彈簧相連的物體A停放在光滑的水平面上，物體B沿水平方向向右運動，跟輕彈簧相碰.在B跟彈簧相碰后，對于A、B和輕彈簧組成的系統，下列說法中正確的是（）BvA彈簧壓縮量最大時，A、B的速度相同彈簧壓縮量最大時，A、B的動能之和最小彈簧被壓縮的過程中系統的總動量不斷減少物體A的速度最大時，彈簧的彈性勢能為零答案ABD解析物體B與彈簧接觸時，彈簧發生形變，產生彈力，可知B做減速運動，A做加速運動，當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，故A正確.A、B和彈簧組成的系統能量守恒，彈簧壓縮量最大時，彈性勢能最大，此時A、B的動能之和最小，故B正確?彈簧在壓縮的過程中，A、B和彈簧組成的系統動量守恒，故C錯誤?當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，然后A繼續加速，B繼續減速，彈簧逐漸恢復原長，當彈簧恢復原長時/的速度最大，此時彈簧的彈性勢能為零，故D正確.3.（2020?日照市3月模擬）A、B兩小球靜止在光滑水平面上，用水平輕彈簧相連接，A、B兩球的質量分別為m和M（m<M）.若使A球獲得瞬時速度隕如圖3甲），彈簧壓縮到最短時的長度為厶；若使B球獲得瞬時速度e（如圖乙），彈簧壓縮到最短時的長度為L2,則L1與L2的大小關系為（）fc-tff甲6圖3A.L]>L2B.L]<L2C.L]=L2D.不能確定答案C解析當彈簧壓縮到最短時，兩球的速度相同，對題圖甲取A的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：mv二（m+M）v/由機械能守恒定律得：Ep二2mv2-2（m+M）v'2聯立解得彈簧壓縮到最短時E二mMv2（m+M）同理：對題圖乙取B的初速度方向為正方向，當彈簧壓縮到最短時有：E二mMv22（m+M）故彈性勢能相等，則有:￡二厶2,故A、B、D錯誤，C正確.B能力綜合練在光滑的水平冰面上，放置一個截面為四分之一圓的半徑足夠大的光滑的可自由移動的曲面，一個坐在冰車上的小孩手扶小球靜止在冰面上.某時刻小孩將小球以v0=2m/s的速度向曲面推出(如圖4所示).已知小孩和冰車的總質量為m1=40kg，小球質量為m2=2kg，曲面質量為m3=10kg.試求小孩將球推出后還能否再接到球，若能，貝9求出再接到球后人的速度大小，若不能，則求出球再滑回水平冰面上的速度大小.答案能63m/s解析以小球被推出的方向為正方向，人推球過程，水平方向動量守恒：0=m2v0+m1v1得匕二-0.1m/s球和曲面相互作用時，水平方向動量守恒:m2v0二m2v2+m3v3由機械能守恒得：2m2v02-2m2v22+2m3v32得v2=-3m/slv2l>lv1l，所以人能再接住球，人接球的過程，由動量守恒得：m1v1+m2v2二(m1+m2)v共得v共二-*m/s,負號表示方向向右.如圖5所示，靜止放置在光滑水平面上的A、B、C三個滑塊，滑塊A、B間通過一水平輕彈簧相連，滑塊A左側緊靠一豎直固定擋板P，某時刻給滑塊C施加一個水平沖量使其以初速度v0水平向左運動，滑塊C撞上滑塊B的瞬間二者粘在一起共同向左運動，彈簧被壓縮至最短的瞬間具有的彈性勢能為1.35J，此時撤掉固定擋板P，之后彈簧彈開釋放勢能，已知滑塊A、B、C的質量分別為mA=mB=0.2kg，mC=0.1kg，(取\.'1^=3.16)求:滑塊C的初速度v0的大小；當彈簧彈開后恢復原長的瞬間，滑塊B、C的速度大小;從滑塊B、C壓縮彈簧至彈簧恢復原長的過程中，彈簧對滑塊B、C整體的沖量.答案(1)9m/s(2)1.9m/s(3)1.47N?s,方向水平向右解析⑴滑塊C撞上滑塊B的過程中，滑塊B、C組