高等數學2017課件方向導數與梯度第一頁，共22頁。一、方向導數定義:若函數則稱為函數在點

P處沿方向l

的方向導數.在點處沿方向l(方向角為)存在下列極限:機動目錄上頁下頁返回結束記作第二頁，共22頁。定理:則函數在該點沿任意方向

l

的方向導數存在,證明:由函數且有在點P

可微,得機動目錄上頁下頁返回結束故第三頁，共22頁。機動目錄上頁下頁返回結束對于二元函數為,)的方向導數為特別:?當l與x軸同向?當l與x軸反向向角第四頁，共22頁。例1.求函數

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向導數.機動目錄上頁下頁返回結束解:

向量

l

的方向余弦為第五頁，共22頁。例2.

求函數在點P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向導數.解:將已知曲線用參數方程表示為它在點P

的切向量為機動目錄上頁下頁返回結束第六頁，共22頁。例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向導數.在點P處沿求函數機動目錄上頁下頁返回結束第七頁，共22頁。二、梯度方向導數公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:f的最大變化率之值方向導數取最大值：機動目錄上頁下頁返回結束第八頁，共22頁。1.定義即同樣可定義二元函數稱為函數f(P)在點P

處的梯度記作(gradient),在點處的梯度機動目錄上頁下頁返回結束說明:函數的方向導數為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義第九頁，共22頁。函數在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),機動目錄上頁下頁返回結束稱為函數f

的等值線

.則L*上點P處的法向量為同樣,對應函數有等值面(等量面)當各偏導數不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數增大的方向.第十頁，共22頁。3.梯度的基本運算公式機動目錄上頁下頁返回結束第十一頁，共22頁。例4.證:試證機動目錄上頁下頁返回結束處矢徑r的模,第十二頁，共22頁。三、物理意義函數(物理量的分布)數量場(數性函數)場向量場(矢性函數)可微函數梯度場(勢)如:溫度場,電位場等如:力場,速度場等(向量場)注意:

任意一個向量場不一定是梯度場.機動目錄上頁下頁返回結束第十三頁，共22頁。例5.已知位于坐標原點的點電荷q

在任意點試證證:利用例4的結果這說明場強:處所產生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機動目錄上頁下頁返回結束第十四頁，共22頁。內容小結1.方向導數?三元函數在點沿方向l(方向角的方向導數為?二元函數在點的方向導數為沿方向l(方向角為機動目錄上頁下頁返回結束第十五頁，共22頁。2.梯度?三元函數在點處的梯度為?二元函數在點處的梯度為3.關系方向導數存在偏導數存在??可微機動目錄上頁下頁返回結束梯度在方向l

上的投影.第十六頁，共22頁。思考與練習1.設函數(1)求函數在點M(1,1,1)處沿曲線在該點切線方向的方向導數;(2)求函數在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.2.P73題16機動目錄上頁下頁返回結束第十七頁，共22頁。曲線1.(1)在點解答提示:機動目錄上頁下頁返回結束函數沿l的方向導數M(1,1,1)處切線的方向向量第十八頁，共22頁。機動目錄上頁下頁返回結束2.P73題

16第十九頁，共22頁。P512，3，6，7，8，9，10

作業第八節目錄上頁下頁返回結束第二十頁，共22頁。備用題