第三講：中世紀的東西方數學I中國傳統數學的形成與興盛：公元前1世紀至公元14世紀。分成三個階段：《周髀算經》與《九章算術》、劉徽與祖沖之、宋元數學，這反映了中國傳統數學發展的三次高峰，簡述9位中國科學家的數學工作。1、中算發展的第一次高峰：數學體系的形成秦始皇陵兵馬俑（中國，1983），秦漢時期形成中國傳統數學體系。我們通過一些古典數學文獻說明數學體系的形成。1983－1984年間考古學家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡，共千余支。經初步整理，其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻，還有一部數學著作，據寫在一支竹簡背面的字跡辨認，這部竹簡算書的書名叫《算數書》，它是中國現存最早的數學專著。經研究，它和《九章算術》（公元1世紀）有許多相同之處，體例也是“問題集”形式，大多數題都由問、答、術三部分組成，而且有些概念、術語也與《九章算術》的一樣。《周髀算經》（髀：量日影的標桿）編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學著作（“蓋天說”－天圓地方；中國古代正統的宇宙觀是“渾天說”－大地是懸浮于宇宙空間的圓球，“天體如彈丸，地如卵中黃”），涉及的數學知識有的可以追溯到公元前11世紀（西周），其中包括兩項重要的數學成就：勾股定理的普遍形式（中國最早關于勾股定理的書面記載），數學在天文測量中的應用（測太陽高或遠的“陳子測日法”，陳子約公元前6、7世紀人，相似形方法）。勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。中國傳統數學最重要的著作是《九章算術》（東漢，公元100年）。它不是出自一個人之手，是經過歷代多人修訂、增補而成，其中的數學內容，有些也可以追溯到周代。中國儒家的重要經典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學的六門課程“六藝”（禮、樂、射、御、書、數）中有一門是“九數”。《九章算術》是由“九數”發展而來。在秦焚書（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。經過西漢張蒼（約公元前256－152年，約公元前200年，西漢陽武（今河南原陽）人）、耿壽昌（公元前73－49年，約公元前50年）等人刪補，大約成書于東漢時期，至遲在公元100年。全書246個問題，分成九章：（1）方田（土地測量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、環形、弓形、截球體的表面積計算，另有約分、通分、四則運算，求最大公約數等運算法則；（2）粟米（糧食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介紹依等級分配物資或按等級攤派稅收的比例分配算法；（4）少廣（開平方和開立方法）；（5）商功（立體形求體積法）；（6）均輸（征稅），處理行程和合理解決征稅問題，包括復比例和連比例等比較復雜的比例分配問題；（7）盈不足（盈虧類問題解法及其應用）；（8）方程（一次方程組解法和正負數）；（9）勾股（直角三角形），介紹利用構股定理測量計算高、深、廣、遠的問題。所包含的數學成就是豐富和多方面的，主要內容包括分數四則和比例算法、面積和體積的計算、關于勾股測量的計算等，既有算術方面的，也有代數與幾何方面的內容。如方程第一題，其算籌式為它完整地敘述了當時已有的數學成就，對中國傳統數學發展的影響，如同《原本》對西方數學發展的影響一樣深遠，在長達一千多年間，一直作為中國的數學教科書，并被公認為世界數學古典名著之一。《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系正式形成。2、中算發展的第二次高峰：數學穩步發展三國演義（中國，1998）。從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學之后，學術界思辨之風再起，在數學上也興起了論證的趨勢。許多研究以注釋《周髀算經》、《九章算術》的形式出現，實質是尋求這兩部著作中一些重要結論的數學證明。這是中國數學史上一個獨特而豐產的時期，是中國傳統數學穩步發展的時期。《九章算術》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。2.1劉徽（魏晉，公元3世紀）（中國，2002），淄鄉（今山東鄒平縣）人，布衣數學家，于263年撰《九章算術注》，不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，并且多有創造，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位，成為中國傳統數學最具代表性的人物。劉徽數學成就中最突出的是“割圓術”（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積）。在劉徽之前，通常認為“周三徑一”，即圓周率取為3。劉徽在《九章算術注》中提出割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，通過計算圓內接正3072邊形的面積，求出圓周率為3927/1250（=3.1416）（阿基米德計算了圓內接和外切正96邊形的周長）。為方便計算，劉徽主張利用圓內接正192邊形的面積求出157/50（=3.14）作為圓周率，后人常把這個值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來推算圓周率的數學家，并享有國際聲譽。讓我們來體會劉徽的“割圓術”。劉徽對π的估算值（密克羅尼西亞，1999）。劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現存中國古算著作看，在清代李善蘭及西方微積分學傳入中國之前，再沒有人超過甚至達到劉徽的水平。2000年國家最高科學技術獎得主吳文俊院士指出：“從對數學貢獻的角度來衡量，劉徽應該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。劉徽的數學思想和方法，到南北朝時期被祖沖之推進和發展。2.2祖沖之（429－500年），范陽遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過一些小官，但他卻成為歷代為數很少能名列正史的數學家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數可推。”祖沖之的著作《綴術》，取得了圓周率的計算和球體體積的推導兩大數學成就。祖沖之關于圓周率的貢獻記載在《隋書》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江蘇鎮江）從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”即，祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率。1913年日本數學史家三上義夫（1875－1950年）在《中國和日本的數學之發展》里主張稱355/113為祖率。祖沖之如何算出如此精密結果，《隋書·律歷志》寫道：“所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理”。《綴術》失傳了，沒有任何史料流傳下來。史學家認為，祖沖之除開繼續使用劉徽的“割圓術”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼續算至圓內接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間。《綴術》的另一貢獻是祖氏原理：冪勢既同則積不容異，在西方文獻中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因為1635年意大利數學家卡瓦列里（1598－1647年）獨立提出，對微積分的建立有重要影響。在數學成就方面，整個唐代卻沒有產生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時期相媲美的數學大家，主要的數學成就在于建立中國數學教育制度。為了教學需要唐初由李淳風（604－672年）等人注釋并校訂了《算經十書》（約656年），即《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》（劉徽）、《孫子算經》（約成書于公元400年，內有“物不知數”問題）、《夏候陽算經》（成書于公元6、7世紀，內有“百雞問題”：今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞翁、母、雛各幾何）、《張邱建算經》（張邱建，北魏清河（今邢臺市清河縣）人，約成書于公元466－485年間）、《綴術》（祖沖之）、《五曹算經》（北周甄鸞（字叔遵，河北無極人）著）、《五經算經》（北周甄鸞著）和《緝古算經》（約成書于626年前后，唐王孝通，內有三次方程及其根，但沒有解題方法）。十部算經對繼承古代數學經典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國數學發展的水平，是當時科舉考試的必讀書（公元587年隋文帝開創中國的科舉考試制度，1905年清朝廢止科舉制度）。3、中算發展的第三次高峰：數學全盛時期社會背景：公元960年，北宋王朝的建立結束了五代十國（907－960年）割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火藥、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到了廣泛應用。雕版印書的發達，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間（約1041—1048年），畢升活字印刷術的發明（平民發明家畢升總結了歷代雕版印刷的豐富的實踐經驗，經過反復試驗，制成了膠泥活字，實行排版印刷，完成了印刷史上一項重大的革命，關于畢升的生平事跡，人們卻一無所知，幸虧畢升創造活字印刷術的事跡，比較完整地記錄在北宋著名科學家沈括的名著《夢溪筆談》里），給數學著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期（960—1368年），重新統一了的中國封建社會發生了一系列有利于數學發展的變化，以籌算為主要內容的中國傳統數學達到了鼎盛時期。中國傳統數學以宋元數學為最高境界。這一時期涌現許多杰出的數學家和先進的數學計算技術，其印刷出版、記載著中國傳統數學最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產。下面介紹宋元時期的一些計算技術。3.1賈憲三角賈憲（約公元11世紀）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術細草》的著作，原書丟失，但其主要內容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發明了“增乘開方法”，是中算史上第一個完整、可推廣到任意次方的開方程序，一種非常有效和高度機械化的算法。在此基礎上，賈憲創造了“開方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術三角形”，因為法國數學家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發表論文《論算術三角形，以及另外一些類似的小問題》。算術三角形（利比里亞，1999）。3.2隙積術沈括（1030－1094年），北宋錢塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂城（今寧夏銀川附近）之戰”敗于西夏（1032－1227年）而結束政治生涯，經過6年的軟禁之苦后，開始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中以《夢溪筆談》（1093年）影響最大，內容包括數學、天文、歷法、地理、物理、化學等領域，被英國著名科學史家李約瑟譽為“中國科學史的里程碑”。他對數學的主要成就有兩項，會圓術（解決由弦求孤的問題）和隙積術（開創研究高階等差級數之先河）。3.3天元術李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學，潛心學問。1248年撰成代數名著《測圓海鏡》，該書是首部系統論述“天元術”（一元高次方程）的著作，“天元術”與現代代數中的列方程法相類似，稱未知數為天元，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某”，可以說是符號代數的嘗試，在數學史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術》“正負術”中云：“正算赤，負算黑”，李冶感到用筆記錄時換色的不便，便在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數。“積財千萬，不如薄技在身”。李冶的天元術列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4大衍術秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數學，于1247年完成數學名著《數書九章》，內容分為九類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市易類，其中有兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上占有突出的地位。《數書九章》是我國古算中最早用圓圈Ο表示0號的著作。一是發展了一次同余組解法，創立了“大衍求一術”（一種解一次同余式的一般性算法程序，現稱中國剩余定理，所謂“求一”，通俗他說，就是求“一個數的多少倍除以另一個數，所得的余數為一”）的一般解法。中算家對于一次同余式問題解法最早見于《孫子算經》（約公元400年）中的“物不知數問題”（亦稱“孫子問題”）：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？。《孫子算經》給出的答案是23，但其算法很簡略，未說明其理論根據。秦九韶在《數書九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方，最早接觸一次同余式的是意大利數學家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盤書》中給出了兩個一次同余問題，但沒有一般算法，1743年瑞士數學家歐拉（1707－1783年）和1801年德國數學家高斯（1777－1855年）才對一次同余組進行了深入研究，重新獲得與中國剩余定理相同的結果。二是總結了高次方程數值解法，將賈憲的“增乘開方法”推廣到了高次方程的一般情形，提出了相當完備的“正負開方術”（現稱秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利數學家魯菲尼（1765－1822年）才創立了一種逐次近似法解決數字高次方程無理根的近似值問題，而1819年英國數學家霍納（1786－1837年）才提出與“增乘開方法”演算步驟相同的算法，西方稱霍納法。3.5垛積術楊輝（公元13世紀），南宋錢塘（今浙江杭州）人，曾做過地方官，足跡遍及錢塘、臺州、蘇州等地，是東南一帶有名的數學家和數學教育家。楊輝的主要數學著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術》中的數學知識而作，它從《九章算術》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進行詳解，其中主要的數學貢獻是“垛積術”，這是在沈括“隙積術”的基礎上發展起來的，由多面體體積公式導出相應的垛積術公式。另一貢獻是所謂的“楊輝三角”，其實是記載了賈憲的工作。3.6四元術朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當時的北方，正處于天元術逐漸發展成為二元術、三元術的重要時期，朱世杰在經過長期游學、講學之后，終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部代表作《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。中國數學自晚唐以來不斷發展的簡化籌算的趨勢有了進一步的加強，日用數學和商用數學更加普及，南宋時期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學術成就而論，《四元玉鑒》遠超《算學啟蒙》，它是中國宋元數學高峰的又一個標志，主要貢獻有四元術和招差術（高次內插公式）。四元術是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數最多可達四個，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鑒》卷首“假令四草”之“四象會元”，其中四元布列意為即元氣（常數項）居中，天元（未知數x）于下，地元（未知數y）于左，人元（未知數z）于右，物元（未知數u）于上，所以上述方程指“”。朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說道：《四元玉鑒》，其法以元氣居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮。清代數學家羅士琳（1774—1853年）在《疇人傳·續編·朱世杰條》中說：漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱鼎足而三。道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上。美國著名科學史家薩頓（1884－1956年）說：朱世杰是漢民族，他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家。3.7內插法郭守敬（1231－1316年），順德邢臺（今河北邢臺）人，元代大天文學家、數學家、水利專家和儀器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水監事和昭文館大學士等官職。與太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐縣（今唐縣人），至元十八年（1281年），王恂喪父，去官守孝。守孝期間，因悲傷過度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲），一同吸收了前代歷法的精華，運用宋金兩朝的數學成就（包括沈括的會圓術），使用了三次內插公式，在1280年完成了中國古代最精密的歷法《授時歷》。設定一年為365.2425天，比地球繞太陽一周的實際運行時間只差26秒，早于