其次章極限與連續本章介紹極限的概念、性質和運算法則，以及與極限概念親密相關的，并且在微積分運算中起重要作用的無窮小量的概念和性質。此外還給出了兩個極其有用的重要極限。隨后，運用極限引入了函數的連續性概念，它是客觀世界中廣泛存在的連續變更這一現象的數學描述，微積分學中探討的函數主要是連續函數。第一節數列的極限割圓術

我國古代數學家劉徽在《九章算術注》利用圓內接正多邊形計算圓面積的方法--割圓術，就是極限思想在幾何上的應用。(一)數列概念

三國時的劉徽提出的的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···這樣繼續分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長.“割圓求周”

割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓合體而無所失矣.數列的定義例如稱為無窮數列,簡稱數列.

(二)數列極限的定義1x2問題:當n無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它?通過上面圖示視察:假如數列沒有極限,就說數列是發散的.留意：定義總存在正整數N,

不等式記為或假如對于隨意給定的正數ε(不論它多么小),幾何說明：其中：用數列極限的定義證明極限。例1證例2證注：極限的定義只能用來驗證某常數是否為某數列的極限，而不能用來計算極限。(三)收斂數列的基本性質性質1極限的唯一性性質2有界性定理2

收斂的數列必定有界。注1

有界性是數列收斂的必要條件，不是充分條件。注2

無界數列必定發散。有界數列不確定收斂.性質3收斂數列的保號性定理3函數的極限其次節(一)自變量趨于無窮大時函數的極限xy通過上面圖示視察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”？例1證幾何說明:例3解例2解xy例如有兩條水平漸近線：xy水平漸近線:水平漸近線:(二)自變量趨于有限點處時函數的極限3.幾何說明:說明：例4證例5證證得證。例6證得證。例7(三)左極限與右極限左極限：左極限：右極限：解左右極限存在且相等,例8例9

設解(四)函數極限的性質性質1函數極限的唯一性性質2有極限函數的局部有界性推論1性質3有極限函數的局部保號性留意推論2定理第四節無窮大量和無窮小量(一)無窮大量確定值無限增大的變量叫無窮大量。xoy精確定義：1、無窮大量是一個變量，不行與確定值很大很大的數混為一談；2、稱函數是無窮大量，必需指明其自變量的變更趨勢。注：證

得證.

xoy例1例2有兩條豎直漸近線：解所以有水平漸近線：無窮大量與無界變量的關系(1)無窮大量明顯是無界變量；(2)但無界變量不確定是無窮大量。例如數列再如，但它并不是無窮大量。

(二)無窮小量定義以零為極限的函數(或數列)稱為無窮小量。例如,注：1.無窮小量是變量，不能與確定值很小的數混為一談;3.稱一個函數是無窮小量，必需指明自變量的變更趨勢。2.零是唯一可以作為無窮小量的數；無窮小量和極限的關系：證略.定理表明：

極限概念可以用無窮小量概念來描述.定理定理無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。證于是有

例3解無窮小與有界變量之積仍是無窮小。(三)無窮小量與無窮大量的關系意義關于無窮大量的探討,都可歸結為關于無窮小量的探討。例4例5解(四)無窮小量的階比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同。視察各極限定義：設α和β是某一極限過程中的無窮小量，例6證例7證可推廣：定義例8解例9解第五節極限的運算法則證略定理說明：1.有兩層意思：(1)在limf

(x)和limg(x)都存在的前提下，lim[f(x)+g(x)]也存在；(2)lim[f

(x)+g(x)]的數值等于limf

(x)+limg(x).2.lim[f

(x)+g(x)]存在,不能倒推出limf

(x)和limg(x)存在.3.若limf(x)存在，而limg(x)不存在，則lim[f(x)+g(x)]確定不存在.4.可推廣到有限多項.反證：假設lim[f

(x)+g(x)]存在,已知limf

(x)存在,由定理知limg(x)存在,沖突。推論1推論2例2例1假如分母的極限為零，則不能干脆運用上述方法。例3解解例4消零因子法有理化方法解例5解變量代換法

例6例7解一般,“抓大頭”法例8例9例10例11思索：例12解留意：以下解法錯誤：因為法則(1)不能推廣到無限多個函數的情形.解例13例14無窮小與有界變量之積仍是無窮小。錯誤！正確解法：不存在！例15例16注：全部反三角函數均是有界函數。第六節兩個重要極限(一)極限存在的準則定理(準則Ⅰ)例1解由夾逼定理得上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限。定理(夾逼定理)證略。定理(準則Ⅱ)單調有界數列必有極限。下面利用兩個準則證明兩個重要的極限。(二)兩個重要極限xy先利用夾逼準則證明重要極限：1基本不等式：等號當且僅當x=0時成立。實際上，對一切實數x成立。基本不等式：等號當且僅當x=0時成立。等號當且僅當x=0時成立。即得所以先證解所以例2例3例4解再利用單調有界準則證明另一個重要的極限存在：

先看一個實際例子。考慮一個復利問題。假設我們考慮1年定期存款，利率為100%，初始存款(稱為本金)為1元。利率設為100%僅僅是為了便于計算，我們完全可以將其推廣到真實的利率，例如5％。若一年結算一次，則年終時本利和為(1+100%)1

=

2元；若半年結算一次，利率降為50%，則年終時本利和為(1+50%)2

=

2.25

元；若每月結算一次，則年終時本利和為(1+1/12)12

=

2.61303529

元；若每天結算一次，則年終時本利和為(1+1/365)365

=

2.714567

元；每天結算一次：(1+1/365)365

=

2.714567

元；可以想見，若復利一次的時間再細分下去，這個數值會越來越大。問題是，我們的錢會無限增大嗎？答案是否定的。隨著

n

的增大，(1+1/n)n的值雖然不斷增大，但增大的速度卻變得越來越慢。可以證明，當

n

的無限增大時，(1+1/n)n

值無限接近于一個常數，歐拉把它記為e。每小時結算一次：(1+1/8760)8760

=

2.718128

元；每分鐘結算一次：(1+1/525600)525600

=2.718279元；每秒結算一次：(1+1/31536000)31536000

=

2.7182817元；增大，且項數增加一項(每一項均為正),

以e為底的對數稱為自然對數，

可以證明，相應的函數極限有

或例5解“湊重要極限”法例7解例8解例6解原式訓練第七節利用等價無窮小量代換求極限定理(等價無窮小替換定理)證只有在乘、除的極限運算中才能替換；留意在其他極限運算中不能替換！常用等價無窮小：例1解例2解例3解例4解解錯例5解例6解例7解課堂練習計算極限：解答：分別非零因子解答：解答：第八節函數的連續性(一)函數變更量(二)函數連續的概念引例：街頭有一賣蘋果的小販，聲稱“5斤以內10元一斤，5斤以上8元一斤”。有兩個顧客，一個人買5斤，花費50元；一個人買6斤，花費48元。買的多的反而花錢少，這是怎么回事？例1證明函數y=x2在給定點x0處連續。證在x0處，函數的變更量為所以y=x2在給定點x0處連續。函數在一點處連續的定義假如下面給出函數連續的定義的另一種等價形式。假如例2證（3）函數值與極限值相等.

單側連續：定理例3解即不右連續也不左連續,x

y-11O例4解連續區間與連續函數：例5證和差化積公式：例5證(三)函數的間斷點定義函數不連續的點稱為函數的間斷點。1、左右極限都存在的間斷點，稱第一類間斷點：

(1)可去型間斷點例1探討函數解留意可去型間斷點只要變更或者補充間斷處函數的定義,則可使其變為連續點。例2xy1函數(2)跳動型間斷點例3解例4解2、左右極限至少有一個不存在的間斷點,稱其次類間斷點。例5解這種狀況稱為振蕩型間斷點。解例6解所以即例7(四)連續函數的運算法則定理由連續的定義和極限的運算法則，定理不難獲得證明。例如,可以證明，全部基本初等函數在其定義域內都是連續的。因此，一切初等函數在其定義域內都是連續的。也就是說，對初等函數來說，連續區間即為其定義域。(五)閉區間上連續函數的性質定理1(有界性與最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上有界，且能取得最大值和最小值。記作留意：1.若區間是開區間,定理不確定成立;2.若區間內有間斷點,定理不確定成立。幾何說明：MBCAmab推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。幾何說