00x第59講函數極限-函數的連續性00x（第時）考點熱點

一定掌握！點

5．數連續的述性義⑴在一點連續①設函數在及其附近有定義，且那么就函數在00nx處連0這一定義包含三意思：在點x處定義；點處極限；點處00的極限值等于該的函數值。這三者缺一不可。②左連續和右連續如果函數在點x處左側有定義，且lim，么就稱函數在00nx0處左。0如果函數在點x處右側有定義，且lim，么就稱函數點00nx0處右。0③函數在點續的要條是在x處既連續右連續，即0limlim0nxnx00例函數在處不續是指下面三種情況之一：01①在點處有定義。例如在x1處。x110)②

在點x處然有定義沒極限如0

00)，f(x)110)

，f(x)1

，二者不相等，

不存在。x0

③

在點

0

處極限不等于

x0

。例如

，

f(x)1x0

，但

，∴

。x0⑵在區間上連續如果函數

在開區間（

a

，

）內的每一點都續，則稱函數

在開區間（

a

，

）內續。如果函數

在開區間（

a

，

b

）內連續，且在

a

處右連續，在點

b

處左連續，則稱數

在閉區[

a

，

上連。注意：上面粗體”和”使用是有區別的，只有在閉區間上才能使用后者。對于開區間或是半開閉區間，只能使用前者。例論下列函數在指出點或區的連續性：1/4

1xx021xx02⑴

1ex1ex

11

0)

，點

0⑵

x2x2x2

，區間[0，2]；10)⑶

x2x4

，點

1

。分析：對于分段數在分界點處的極限，一定要意它的左右極限是否存在，是否相等；對于分式函數，分分母約分后得到的新函數與原的函數是否仍為同一函數。解：⑴當

0

，

1x

，

1ex0

0

，∴

limxx0

1ex1ex

11

1

，而

limxx0

1ex1ex

111exlim11ex

1

，∴

在

0

處的極限不存在∴

在

0

處不連續。⑵∵

x2x2x2

中，如果

x2

，則分母為零，

在

x2

處無定義，∴

在區間[0，2]處不續。⑶∵

lim2)3，

，又

x1x1f((2

x∴

3，∴

在

x1

處連續。于

x1點評：對于函數)于數0

在給處的連續性，鍵是判斷函數當時的極限是否等00在給定區間上的連續性看在給區間上任一點是否都有意義，是否都連續，特要注意端點處的情況。6．續數的質⑴如果

在閉區[

a

，

b

]上連續，那么f(x)

在閉區[

a

，

b

]上有最大值和最小值。⑵如果函數點也連續。

、g

在某一點x處連，那么它們的和差積（包括乘以常數）在此0⑶五種基本初等函數（冪函數、指數函數、對數函數、三角函數反三角函數）以及由他們經過有限次四運算得到的函數在它的定義域都是連續函數。例證：方程

至少有一個正根且它不大于

b

。證明：設

ab

，則

b

，

abb)a[sin(b)0

，又是方程

在內是連續函數所以存在一個的，

b]，00

的根也就∴方程

至少有一個正根且它不大于

b

。例知函數

xlimn1x

n

，試求：

⑴

的定義域，并畫

的圖像；⑵求

，

f(x)

，

x1在哪點不連續？⑶x解：⑴當x1，即1時，limn1x

n

0

，當

1

，

xlimn1x

n

不存在，xn當x1，即1或x1時limn1x

n

limn

1xn

1

1

1

，

y(∴

1)

，

-1

o

1

x∴

的定義域為((，圖如右。⑵

11lim0

，∵

xlim≠

xx1lim，∴lim不，⑶

x

在點

x1及x1處連續，∵

在點

1

處無意義，而在

1

處，

f(x)0

，

f(x)1

，lim不在。x1

x11能力測試參考答案

認真完成！仔細核對！在一點連續函數的連續性在區間上連續描述性定義連續的充要條件最大值和最小值

12345678√√√√

、g

連續，則其和差積商連續連續函數五基本初等函數及其和差的性質商連續x22x3

√1．

xx2)

，則

在（）2x22)A

.

1

處不連續；

B

.

處不連續；3/4

.點1和x2處不連續D.處連續。解：∵

，

lim

，∴

lim不在，故應選A

。x12．函數

x11x在區間[上的性x解：由于

在點x3無定義，∴

在點

x3

處不連續，從而

在區間[

上不連續，而僅區間

(連續。3．知條件甲為“

在

0

處有定義且極限在乙為“

在

0

處連續甲是乙的

（）A

.分不必要條；B.要不充分條件C要件D不充分又不必要條件解：∵值B。

在x連續的充要條件是在x有定義，極限存在，極限等于該的函數004．函數

x29x3p

，若

在點

3

處連續，則

。解：∵

x3

x29x

6x3

，又根據函數連續充要條件有

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