2020年中考研究之有關圓的綜合問題

1.(2020年北京第23題)

如圖，AB為。O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是。O的切線，D為切點，OF±AD于

點E,交CD于點F.

(1)求證:zADC=zAOF;

(2)若sinC=1,BD=8,求EF的長.

o

解析：對于（2）如上圖：

對于（1）證明：??,co是。。切線

：.ODLCD

為。。直徑

：.ADLBD又.「sinC=Q

又?.?OF_L/。

.OD=1

：.OFHBD"0C=3

,\ZAOF=ZB

.PC=3

,「C。是。。切線

：.ZADC=ZB?：OFIIBD

.\ZADC=ZAOF.OF=OC=3=OF=CF

'^D=^C=4=~^=CD

：.OF=6

由于。為中點，OFIIBD

：.0E二BD二X8=4

.\EF=OF-OE=6-4=2

2.(2020上海第25題)

如圖，在AABC中，AB=AC,。0是AABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D.

(1)求證：NBAC=2NABD;

(2)當ABCD為等腰三角形時，求/BCD的大小；

(3)當AD=2,CD=3時，求邊BC的長.

解析：

對于(1)如圖：

A

(R

C

證明：

：.AB=AC,0。是△48C夕耀圓

.?.40為N34。角平分線

.-.ZBAC=2ZBA0

又0A-0B

：.ZABD=^BAO

.-.ABAC^2ZBA0

對于(2)

情況I當BD=BC時

/.ZC=ZBDC=ZBAC+ZABD=jABAC

AB=AC

：.ZC=ZABC

???在△43C中存在

N34C+2NC=180。

即：ZBAC+3ZBAC=180°

???/瓦4。=45。

ZBCD=1(180°-45°)=67.5°

情況iiBC=CD時

Q

???乙CDB=乙CBD=|ABAC

：.ZABC=ZABD+ZBAC=2ZBAC

AB=AC

.\ZABC=ZC

???在△43。中存在

N①1C+2NC=18O。

即：

5/840=180。

??.NB4C=36。

/BCD=NC=](180°-36°)=72°

對于（3）如圖

A

解：

?：DF*DB=ADCD

即：x?(2r—x)=2x3=6

「?n=7—―6=DF

OD=i—x=\/r2—6

由△/ODS/XAB。

.AD_OD

BD~AD

AD?=BD,OD

22=(r+,產—6)-7T2—6

4=ry/r2—6+(r2—6)

10—r2=r\Jr2—6

100-20r2+r4=r2(r2-6)

100-20r2=-6r2

在直角三角形尸中

7=A/14

IOA/14-2^/14'F

7

于是，可求得：sinZABF=率=sinNBAE

BE_V2BE

-'-AB=~=~5~

3.(2020天津第21題)

在。O中，弦CD與直徑AB相交于點P.zABC=63°.

(I)如圖①，若NAPC=100°,求,BAD和NCDB的大小；

(II)如圖②，若CD±AB,過點D作。O的切線，與AB的延長線相交于點E,求/E的

圖①

解析：

(I)

N4PC=100°,ZXBC=63°

:.NBCD=NBAD=37°(II)

又：43為。0直徑

；.NADB=90°

ZABD=180°-90°-37°=53°

NBPD=N4PC=100。

乙CDB=180°-100°-53°=27°

圖②

???/48。=63。=/4。。，CDLAB

：.^BAD=27°

又二⑷？為。O直徑

：.ZADB=90°

/.ZCZ?B=90o-63o=27°

???E。為。。切線

:./BDE=/BAD=27。

.-.ZCDE=27°+27°=54°

???NE=90。-54。=36。

4.(安徽第20題)

如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上不同于A,B的兩點.AD=BC,AC與BD相

交于點F.BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E.

(1)求證：ACBA空ADAB;

(2)若BE=BF.求證：AC平分工DAB.

解析：(1)

?二48為半圓。直徑

,\ZADB=^ACB=90°(2)

?「△CB4空△048

：,/\CBA^^DAB：.ZCAB=ZDBA

又???/EFB=ZCAB+ADBA

：./EFB=2/CAB

?：BE=BF

??.NE=ZEFB=2ZCAB

???E3為半圓切線

「.NEBA=90。

ZE=60°,ZCAB=30°

Z.DBA=30°,ADAB=60°