2020屆全國名師聯盟高三上學期入學測試考試卷理科數學（四）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設，，則（）A． B．C． D．2．已知為虛數單位，復數滿足，則（）A． B． C． D．3．，則的值為（）A． B． C． D．4．如圖是2019年春運期間十二個城市售出的往返機票的平均價格以及相比去年同期變化幅度的數據統計圖，給出下列4個結論①深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高；②深圳和度廈門往返機票的平均價格同去年相比有所下降；③平均價格從高到低位于前三位的城市為北京，深圳，廣州；④平均價格的漲幅從高到低位于前三位的城市為天津，西安，上海．其中正確結論的個數是（）A． B． C． D．5．斜率為的直線過雙曲線（，）的右焦點，且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線的離心率的取值范固是（）A． B．C． D．6．已知實數，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．函數的大致圖象是（）A． B．C． D．8．本次模擬考試結束后，班級要排一張語文、數學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表，若化學排在生物前面，數學與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種9．在中，，，，設點、滿足，，若，則（）A． B． C． D．10．若即時起分鐘內，路公交車和路公交車由南往北等可能進入二里半公交站，則這兩路公交車進站時間的間隔不超過分鐘的概率為（）A． B． C． D．11．設數列的前項和為，且，，則數列的前項的和是（）A． B． C． D．12．長方體中，，，設點關于直線的對稱點為，則與兩點之間的距離為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．等比數列的前n項和為，，若，則．14．下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為．15．已知點，拋物線：的焦點為，連接，與拋物線相交于點，延長，，與拋物線的準線相交于點，若，則實數的值為．16．已知函數，則當函數恰有兩個不同的零點時，實數的取值范圍是．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）在中，角，，的對邊分別為、、，若，，．（1）求；（2）已知點在邊上，且平分，求的面積．18．（12分）在四棱錐中，，．（1）若點為的中點，求證：平面；（2）當平面平面時，求二面角的余弦值．19．（12分）某社區消費者協會為了解本社區居民網購消費情況，隨機抽取了位居民作為樣本，就最近一年來網購消費金額（單位：千元），網購次數和支付方式等進行了問卷調查．經統計這位居民的網購消費金額均在區間內，按，，，，，分成組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）估計該社區居民最近一年來網購消費金額的中位數；（2）將網購消費金額在千元以上者稱為“網購迷”，補全下面的列聯表，并判斷有多大把握認為“網購迷與性別有關系”．（3）調查顯示，甲、乙兩人每次網購采用的支付方式相互獨立，兩人網購時間與次數也互不影響．統計最近一年來兩人網購的總次數與支付方式，得到數據如下表所示：將頻率視為概率，若甲、乙兩人在下周內各自網購次，記兩人采用支付寶支付的次數之和為，求的數學期望．附：觀測值公式：．臨界值表：20．（12分）已知橢圓：過點，右焦點是拋物線的焦點．（1）求橢圓的方程；（2）已知動直線過右焦點，且與橢圓分別交于，兩點．試問軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在求出點的坐標；若不存在，說明理由．21．（12分）已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）設，當時，對任意，存在，使，證明：．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數方程】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線相交于兩點、，求的值．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數．（1）當時，解不等式；（2）若存在滿足，求實數的取值范圍．

2020屆高三入學調研考試卷理科數學（四）答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】由題得，，所以．故選B．2．【答案】A【解析】由題可得，整理得，．故選A．3．【答案】A【解析】因為，所以，所以．故選A．4．【答案】C【解析】變化幅度看折線圖，越接近零軸者變化幅度越小，位于零軸下方者表明價格下跌；平均價格看條形圖，條形圖越高，所以結論①②③都正確，結論④錯誤，故選C．5．【答案】D【解析】依題意，結合圖形分析可知雙曲線的一條漸近線的斜率必大于，即，因此該雙曲線的離心率．故選D．6．【答案】D【解析】畫出不等式組所表示的區域，如圖陰影部分所示，作直線：，平移可知，，即的取值范圍是，故選D．7．【答案】A【解析】函數的定義域為，且為定義域上的奇函數．排除C，D，當時，排除B，故選A．8．【答案】B【解析】第一步排語文，英語，化學，生物科，且化學排在生物前面，有種排法；第二步將數學和物理插入前科除最后位置外的個空擋中的個，有種排法，所以不同的排表方法共有，故選B．9．【答案】D【解析】因為，則，所以．由已知，，則，故選D．10．【答案】C【解析】設路車和路車的進站時間分別為、，“進站時間的間隔不超過分鐘”為時間，則．圖中陰影區域的面積，則，故選C．11．【答案】C【解析】由得，當時，，整理得，所以是公差為的等差數列．又，所以，從而，所以，數列的前項的和．故選C．12．【答案】C【解析】將長方形中含有的平面取出，過點作，垂足為，延長到，使，則是關于的對稱點，如圖所示，過作，垂足為，連接，，依題意，，，，，，，所以．故選C．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】由題知公比，所以，解得，所以．14．【答案】【解析】由三視圖可得，．15．【答案】【解析】依題意得焦點的坐標為，過作拋物線的準線的垂線且垂足為，連接，由拋物線的定義知，因為，所以，又，，所以，解得．16．【答案】【解析】由題可知方程恰有兩個不同的實數根，所以與有個交點．因為表示直線的斜率，當時，，設切點坐標為，，所以切線方程為，而切線過原點，所以，，，所以直線的斜率為，直線與平行，所以直線的斜率為，所以實數的取值范圍是．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，，得，所以．由正弦定理，可得．（2），在中，由余弦定理，得，解得或（舍去），，因為，所以．18．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）取的中點為，連結，．由已知得，為等邊三角形，．∵，，∴，∴，∴．又∵平面，平面，∴平面，∵為的中點，為的中點，∴．又平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面．∵平面，∴平面．（2）連結，交于點，連結，則為的中點，且，，∵平面平面，，∴平面，可求得，，以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，平面的一個法向量為．設平面的法向量為，有，得，即，令，得，，∴．∴．二面角的余弦值是．19．【答案】（1）千元；（2）有的把握認為；（3）見解析．【解析】（1）在直方圖中，從左至右前個小矩形的面積之和為，后個小矩形的面積之和為，所以中位數位于區間內．設直方圖的面積平分線為，則，得，所以該社區居民網購消費金額的中位數估計為千元．（2）由直方圖知，網購消費金額在千元以上的頻數為，所以“網購迷”共有人．由列聯表知，其中女性有人，則男性有人，所以補全的列聯表如下：因為，查表得，所以有的把握認為“網購迷與性別有關”．（3）由表知，甲，乙兩人每次網購采用支付寶支付的概率分別為，．設甲，乙兩人采用支付寶支付的次數分別為，，據題意，，．所以，．因為，則，所以的數學期望為．20．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）因為橢圓過點，所以．又拋物線的焦點為，所以，所以，解得（舍去）或．所以橢圓的方程為．（2）假設在軸上存在定點，使得，①當直線的斜率不存在時，則，，，，由，解得或；②當直線的斜率為時，則，，，，由，解得或．由①②可得，即點的坐標為．下面證明當時，恒成立，當直線的斜率不存在或斜率為時，由①②知結論成立．當直線斜率存在或且不為時，設其方程為，，，由，得，直線經過橢圓內一點，一定與橢圓有兩個交點，且，．，所以．綜上所述，在軸上存在定點，使得恒成立．21．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）函數的定義域為，又，由，得或，當即時，由得；由得或；當即時，當時都有，∴當時，單調減區間為，單調增區間為，當時，單調增區間是，沒有單調減區間．（2）當時，由（1）知在單調遞減，在單調遞增，從而在上的最小值為．對任意，存在，使得，即存在，使得的值不超過在區間上的最小值為．由得，∴．令，則當時，．∵，當時，；當時，，，故在上單調遞減，從而，從而實數．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）消去參