PAGEPAGE9加練課2空間角的計算學習目標1.理解利用空間向量求空間角的方法與步驟.2.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的計算問題.自主檢測·必備知識一、概念辨析，判斷正誤1.兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(×)2.直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(×)3.兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.(×)4.兩異面直線夾角的范圍是(0,π2]，直線與平面所成角的范圍是[0,二、夯實基礎，自我檢測5.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A.45°B.C.45°或135°答案：C解析：cos?m,∴兩平面所成的二面角為45°或1806.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°,M,NA.110B.25C.30答案：C解析：以點C為坐標原點，CA,CB,CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設直三棱柱的棱長為2，則∴BM∴cos7.已知空間四個點A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，則直線AD與平面ABC所成的角的大小為.答案：30解析：∵A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，∴AD設平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z)則n?AB→=-5x-y+z=0,n設直線AD與平面ABC所成的角為θ，則sinθ=又0°≤θ≤90°,∴θ=30°，∴互動探究·關鍵能力探究點一求異面直線所成的角精講精練例三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，A.33B.66C.3答案：B解析：設棱長為1，AA由題意得a?∵A∴A又|A|=b∴cos即異面直線AB1與BC解題感悟（1）求兩異面直線所成的角有兩種方法：基向量法和坐標法；（2）兩異面直線所成角的范圍是θ∈(0,π2]，兩向量的夾角α遷移應用1.（2020山西晉城高二期中）底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐稱為正四棱錐．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為1，側棱長為2，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角的余弦值為()A.33B.63C.2答案：B解析：如圖所示，以正方形ABCD的中心O為坐標原點，DA方向為x軸正方向，AB方向為y軸正方向，OP方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系，則A(12,-則PO=P∴P(0,0,142)，∵E∴E(-1AP=(-BE=(-∴cos即異面直線PA與BE所成角的余弦值為63探究點二求直線與平面所成的角精講精練例（2021天津耀華中學期中）如圖所示的多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，F為線段BP上一點，∠CDP=120（1）若F為BP的中點，證明：EF∥平面PDC；（2）若BF=13BP，求直線答案：（1）證明：取PC的中點為O，連接FO,DO，因為F,O分別為BP,PC的中點，所以FO∥BC，且FO=1又四邊形ABCD為平行四邊形，所以ED∥BC，且ED=1所以ED∥FO，且FO=ED，即四邊形EFOD是平行四邊形，即EF∥OD，又EF?平面PDC，OD?平面PDC，所以EF∥平面PDC.（2）以D為原點，DC所在直線為x軸，在平面PDC中過D作CD的垂線為y軸，DA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(-2,23∴CB設點F(a,b,c)，∵BF∴(a-2,b,c-3)=1解得a=2∴F(2設平面PBC的一個法向量為n=(x,y,z)則n取x=1，得n=(1,設直線AF與平面PBC所成的角為θ，則直線AF與平面PBC所成角的正弦值sinθ=解題感悟利用向量求線面角的方法：（1）通過平面的法向量來求解，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角；（2）分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）.遷移應用1.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=CD=CB=2,∠ABC=60°，矩形ACFE中，（1）求證：BC⊥平面ACFE；（2）求直線BD與平面BEF所成角的正弦值.答案：（1）證明：由題意可知四邊形ABCD是等腰梯形，∠ADC=120∴∠DCA=∠DAC=30∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90∵矩形ACFE中，CF=AE=2，又有BF=22，CB=2，∴CB⊥CF又∵AC∩CF=C，AC,CF?平面ACFE，∴BC⊥平面ACFE.（2）以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則C(0,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),D(3∴EF設平面BEF的一個法向量為n=(x,y,z)∴n?EF→=-23x=0,n?又BD=(3,-3,0)，設直線BD與平面BEF所成的角為θ∴直線BD與平面BEF所成角的正弦值是64探究點三求二面角精講精練例如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2，D，（1）求證：平面AEB⊥平面A1（2）求二面角D-BE-A答案：（1）證明：∵AB=BC=CA，D是AC的中點，∴BD⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，A∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴BD⊥平面AA1∵在正方形AA1C1C∴△A∵∠AEC+∠CAE=90°,∴∠又A1D∩BD=D，A1∴AE⊥平面A1BD，又AE?平面∴平面AEB⊥平面A1（2）取A1C1的中點F，連接DF，以D為原點，DF,DA,DB所在直線分別為x軸，y則D(0,0,0),E(1,-1,0),B(0,0,3則DB設平面DBE的一個法向量為m=(則DB→?令x1=1，則設平面BA1E則BA1→?n=0,E設二面角D-BE-A1的平面角為θ，觀察可知則|cos<m,n解題感悟1.利用向量計算二面角大小的常用方法：（1）找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.（2）找與棱垂直的向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直，且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.2.利用法向量求二面角的兩個注意點：（1）對于某些平面的法向量可能在題中隱含著，不用單獨求.（2）注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結合圖形進行判斷，以防結論失誤.遷移應用1.（2020廣州高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，AD⊥DC,PC⊥PD,PC=PD=AD=2，M為PA的中點.（1）求證：平面ACP⊥平面MCD；（2）求二面角C-MD-P的余弦值.答案：（1）證明：因為平面ABCD⊥平面PCD，且平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊥DC，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PC.又PC⊥PD,AD∩PD=D，所以PC⊥平面PAD.又MD?平面PAD，所以PC⊥MD.又因為M為AP的中點，PD=AD，所以MD⊥AP，且AP∩PC=P所以MD⊥平面PAC，又MD平面MCD，所以平面ACP⊥平面MCD.（2）設CD的中點為O，作OE交AB于E，連接OP.由（1）知AD⊥平面PCD，所以EO⊥平面PCD，由PC⊥PD，且PC=PD，可得OP,OD,OE兩兩垂直，所以以O為原點，OP,OD,OE所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則A(0,2所以DM=(設平面CMD的一個法向量為m=(x,y,z)由m?DM令x=2，得m易知平面PMD的一個法向量為CP=(所以cos?由圖可知，二面角C-MD-P為銳角，故其余弦值為33評價檢測·素養提升1.若平面α的一個法向量為n1=(3,2,1)，平