函數、極限與連續(高等數學)第一頁，共109頁。函數的定義反函數隱函數反函數與直接函數之間關系基本初等函數復合函數初等函數函數的性質奇偶性單調性有界性周期性第二頁，共109頁。1、函數的定義第三頁，共109頁。▲函數的兩要素:定義域與對應法則.自變量因變量對應法則f辨別下列各對函數是否相同,為什么?不同,定義域不同

不同,對應關系不同

相同,定義域和對應關系都相同第四頁，共109頁。▲函數的定義域在實際問題中，函數的定義域由問題的實際意義確定。

用解析式表示的函數，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實數，通常要考慮以下幾點：(6)如果函數表達式是由幾個數學式子組合而成，則其定義域應取各部分定義域的交集。(1)在分式中，分母不能為零；(2)在根式中，負數不能開偶次方根；

(3)在對數式中，真數必須大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]第五頁，共109頁。例：求下列函數的定義域

［Ａ］．即所以定義域為(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域為[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函數有意義,必須有且有解:(1)要使函數有意義，必須有分母取其公共部分第六頁，共109頁。解所以定義域為(-3,+∞)(4)要使函數有意義,必須有

所以定義域為(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函數有意義，必須有解得練習：P923第七頁，共109頁。例.設,求下列函數值

解:

解:解：

1）2）3）第八頁，共109頁。(1)函數的奇偶性:偶函數奇函數yxo2、函數的性質第九頁，共109頁。(2)函數的單調性:

設函數f(x)的定義域為D，區間ID，如果對于區間I上任意兩點及，當時，恒有：(1),則稱函數在區間I上是單調增加的；或(2),則稱函數在區間I上是單調遞減的；單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數。第十頁，共109頁。(3)函數的有界性:第十一頁，共109頁。設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的數l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數,l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.(4)函數的周期性:oyx第十二頁，共109頁。說明：反函數與直接函數之間的關系3、反函數第十三頁，共109頁。6、基本初等函數1）冪函數2）指數函數3）對數函數4）三角函數5）反三角函數第十四頁，共109頁。1.冪函數第十五頁，共109頁。2.指數函數第十六頁，共109頁。3.對數函數第十七頁，共109頁。4.三角函數正弦函數第十八頁，共109頁。余弦函數第十九頁，共109頁。正切函數第二十頁，共109頁。余切函數第二十一頁，共109頁。5.反三角函數第二十二頁，共109頁。第二十三頁，共109頁。第二十四頁，共109頁。冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.第二十五頁，共109頁。7、復合函數8、初等函數由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.練習：P1011第二十六頁，共109頁。左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質數列極限函數極限等價無窮小及其性質唯一性無窮小兩者的關系無窮大第二十七頁，共109頁。1、極限第二十八頁，共109頁。第二十九頁，共109頁。左極限右極限第三十頁，共109頁。函數的極限與左、右極限有如下關系：2.常用來判斷分段函數在分段點的極限是否存在例判斷函數

在點處是否有極限.

解:因為所以說明：1.左極限與右極限中只要有一個不存在，或者都存在但不相等，則函數的極限不存在。第三十一頁，共109頁。左右極限存在但不相等,證習題：P183第三十二頁，共109頁。定理(唯一性定理)如果函數在某一變化過程中有極限，則其極限是唯一的．定理(有界性定理)若函數f(x)當x→x0時極限存在，則必存在x0的某一鄰域，使得函數f(x)在該鄰域內有界．函數極限的性質第三十三頁，共109頁。定理(保號性)推論第三十四頁，共109頁。無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.無窮小與無窮大的關系2、無窮小與無窮大第三十五頁，共109頁。性質3在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.性質1有界函數與無窮小的乘積是無窮小.推論常數與無窮小的乘積是無窮小.性質2有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質第三十六頁，共109頁。一、無窮小量二、無窮小的性質三、極限與無窮小的關系四、無窮大量五、無窮小與無窮大的關系六、小節補充無窮大與無窮小第三十七頁，共109頁。定義若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量Y在此過程下為無窮小量，簡稱無窮小.例1例2時的無窮小量.時的無窮小量.因為所以因為所以一、無窮小量第三十八頁，共109頁。例如函數時的無窮小，但當時不是無窮小。當時，的極限不為零，所以當時，函數不是無窮小，而當時是無窮小量。應該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數。因此應明確指出其變化過程。

第三十九頁，共109頁。(4)有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(2)有限個無窮小的乘積仍為無窮小.注意無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.

(1)有限個無窮小的代數和仍為無窮小.二、無窮小的性質定理在自變量的同一變化過程中第四十頁，共109頁。例3解注意這個極限不能用極限的四則運算法則求得，因為不存在.所以時的無窮小量.為有界變量,第四十一頁，共109頁。三、無窮小與函數極限的關系:證必要性充分性第四十二頁，共109頁。定義在自變量x的某一變化過程中,若函數值的絕對值無限增大，則稱f(x)為此變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大.記作四、無窮大量第四十三頁，共109頁。特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第四十四頁，共109頁。簡言之無窮小與無窮大的關系為：在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數是無窮大.定理在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,若f(x)為無窮小且f(x)不等于0,則為無窮大.例如：五、無窮小與無窮大的關系第四十五頁，共109頁。以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結果.例4解例5考察

當時，為無窮大量；

當時，為無窮小量；第四十六頁，共109頁。六、小結1、主要內容:兩個定義;定理.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.第四十七頁，共109頁。定理推論1推論23、極限的性質第四十八頁，共109頁。4、求極限的常用方法a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.第四十九頁，共109頁。求極限方法舉例例2解例1解：原式第五十頁，共109頁。小結:第五十一頁，共109頁。解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例3第五十二頁，共109頁。解例4(消去零因子法)第五十三頁，共109頁。練習解解第五十四頁，共109頁。分母有理化，分子有理化第五十五頁，共109頁。解：第五十六頁，共109頁。例5解(無窮小因子分出法)第五十七頁，共109頁。例6

，然后再求極限，得分母同時除以分子,3x解第五十八頁，共109頁。小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第五十九頁，共109頁。練習解第六十頁，共109頁。例7解先變形再求極限.第六十一頁，共109頁。例8解第六十二頁，共109頁。例9解左右極限存在且相等,第六十三頁，共109頁。說明：1．什么情況下，需要分別求左右極限（１）求分段函數連接點處的極限

（２）被考慮的函數中，含有某些項其左右極限不相等

２.下列幾個極限不存在第六十四頁，共109頁。一個重要的結論則有例題練習：P19－201第六十五頁，共109頁。5、判定極限存在的準則(夾逼準則)第六十六頁，共109頁。(1)(2)6、兩個重要極限第六十七頁，共109頁。=0注意：(1)第六十八頁，共109頁。例1解1coslim0此題中用到xx=?例2解第六十九頁，共109頁。例3解第七十頁，共109頁。練習：解答：第七十一頁，共109頁。(2)注意：第七十二頁，共109頁。例4解練習：或第七十三頁，共109頁。例題第七十四頁，共109頁。例5解第七十五頁，共109頁。定義:7、無窮小的比較第七十六頁，共109頁。定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小的性質第七十七頁，共109頁。幾個重要的等價無窮小：當時，

第七十八頁，共109頁。例解不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換.注意第七十九頁，共109頁。例解解錯第八十頁，共109頁。左右連續在區間[a,b]上連續連續函數的性質初等函數的連續性間斷點定義連續定義連續的充要條件連續函數的運算性質非初等函數的連續性振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類第八十一頁，共109頁。1、連續的定義第八十二頁，共109頁。從而，則一定滿足以下條件第八十三頁，共109頁。例1證由定義2知第八十四頁，共109頁。第八十五頁，共109頁。2.單側連續定理3、連續的充要條件第八十六頁，共109頁。例2解右連續但不左連續,第八十七頁，共109頁。4.連續函數與連續區間在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上的連續函數,或者說函數在該區間上連續.連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.例如通俗的說即一筆劃過第八十八頁，共109頁。5、間斷點的定義第八十九頁，共109頁。1.跳躍間斷點例解6、間斷點的分類第九十頁，共109頁。2.可去間斷點例第九十一頁，共109頁。解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變為連續點.如上例中,第九十二頁，共109頁。跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx第九十三頁，共109頁。3.第二類間斷點例解第九十四頁，共109頁。例解第九十五頁，共109頁。例解函數在x=-1,x=0,x=1處沒有定義所以x=-1,x=0,x=1是函數的間斷點所以x=-1是函數的無窮間斷點所以x=0是函數的跳躍間斷點(Ⅰ)(Ⅱ)第九十六頁，共109頁