專題九平面向量與空間向量普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱為《2017版新課標》）指出：“向量理論具有深刻的數(shù)學內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.”向量是描述直線、曲線、平面以及高維空間數(shù)學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數(shù)學領域問題的基礎，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.故而，將中學階段的向量（平面向量與空間向量）整合到一起進行研究是合理且必要的.《2017版新課標》與現(xiàn)行普通高中數(shù)學課程標準相比，課程結構經(jīng)歷了從模塊到主題的變化歷程，將高中數(shù)學必修課程分為五大主題，分別是預備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動.其中設置的第三個主題“幾何與代數(shù)”的主要目的是“在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結合，感悟數(shù)學知識之間的關聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解.”選擇性必修課程同樣也被分成四個主題，分別是函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動.其中設置的第二個主題“幾何與代數(shù)”的主要目的是“在必修課程學習平面向量的基礎上，學習空間向量，并運用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關系和度量關系.”我們不難看出，要想掌握、理解向量，需要叩問向量的本質(zhì)，需要對向量的內(nèi)在屬性中“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換與溝通機制作深刻剖析，其工具性價值才能原原本本得到充分體現(xiàn).一、真題再現(xiàn)（2019年新課標I理科）已知非零向量込，b滿足1創(chuàng)=21匕，且（—b）丄4貝懷與b的夾角為（7TA.7TB.C夾角為（7TA.7TB.C.D?罟【分析】—i- ■ p(sl-b)丄b,可得]a-b）-b=0,進一步得到|a[|b[cos^Ca） 2=o，然后求出夾角即可.【解答】解：???（a-b）丄仏T-T-iT-T-i時12￥T22<：b>eco,n]故選：B.【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積和向量的夾角，屬基礎題(2019年新課標II理科)已知AB=(2,3),AC=(3,t),lBCl=l,則AB?BC=( )A.-3 B.-2 C.2 D.3【分析】由是疋-瓦先求出反的坐標，然后根據(jù)BCl=1,可求t,結合向量數(shù)量積定義的坐標表示即可求解.【解答】解：???AB=(2,3),AC=(3,t),BC=AC-AB=(1,t-3),?|EC|=1,.t-3=0即BC=(1,0),則AB?BC=2故選：C.【點評】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)的坐標表示，屬于基礎試題(2019年新課標II文科)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則la_-b|=( )A.B.2 C.5 D.50【分析】利用向量的坐標減法運算求得；的坐標，再由向量模的公式求解.【解答】解：?.?51=(2,3),b=(3,2),■■??.日-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),?J包-b|=，.；；(_］嚴十1叮；2故選：A.點評】本題考查平面向量的坐標運算考查向量模的求法是基礎題

（2019年北京理科）設點A,B,C不共線，則'個與AC的夾角為銳角”是"lAKMCl>1麗的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【分析“西與垃的夾角為銳角”芻“1畫75>1加I”，“|麗+正|>|!5”芻“麗與正的夾角為銳角”，由此能求出結果.【解答】解：點A，B，C不共線，一2—2—2當西與不的夾角為銳角時，喬辰憂十縮_BC>0,???“麗與正的夾角為銳角”芻“I畫融>1更”，“|起+配|>|號|”a“匪與AC的夾角為銳角”，???設點A，B，C不共線，則"AB與配的夾角為銳角”是“|怔+AC|>|EC|”的充分必要條件.故選：C.【點評】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.（2019年新課標III理科）已知込，b為單位向量，且a_?b=0,若匚=2還-.：Eb，貝cos【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應用，求出相應的長度和數(shù)量積即可得到結論.【解答】解：日'■匚=況?（2亂i.：U=2「-i'5sl?b=2,°.°/=（23_-?活比）2=4,-4l5a.?g5b"=9,?cosV班,c>=?cosV班,c>=2故答案為：令【點評】本題主要考查向量夾角的求解，根據(jù)向量數(shù)量積的應用分別求出數(shù)量積及向量長度是解決本題的關鍵．(2019年新課標III文科)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cosVa_,b>=__10_【分析】數(shù)量積的定義結合坐標運算可得結果—?■【解答】解：a?b=2X(-8)+2X6=-4,I刨=_；護十護=2】2,巾=”—呂嚴十2=10故答案為：-諺【點評】本題考查數(shù)量積的定義和坐標運算,考查計算能力.TOC\o"1-5"\h\z■ ■ ■ P(2019年北京文科)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a■丄b,則m= 8 .【分析】包丄無則 代入包，匸解方程即可.B ■ ■ ■【解答】解：由向量a=(-4,3),b=(6,m),且3■丄b,得a"b=-24+3m=0,??m=8?故答案為：8.【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與垂直的關系，屬基礎題.―護 ―護 ―鏟―護 q(2019年上海)已知向量包=(1,0,2),b=(2,1,0),則sl與b的夾角為—沁5【分析】直接利用向量的夾角公式的應用求出結果.■ ft【解答】解：向量a=(1,0,2),b=(2,1,0),則Rl=/5^M=/5,所以：所以：cos故：a■與b的夾角為arcc■-故答案為:烈“52魯.【點評】本題考查的知識要點：向量的夾角公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．（2019年上海）過曲線y2=4x的焦點F并垂直于x軸的直線分別與曲線y2=4x交于A,B,A在B上方，M為拋物線上一點，0皿=入0￡+（入-2）0B,則A= 3 .【分析】直接利用直線和拋物線的位置關系的應用求出點的坐標，進一步利用向量的運算求出結果.【解答】解：過y2=4x的焦點F并垂直于x軸的直線分別與y2=4x交于A,B,A在B上方，依題意：得到：A（1,2）B（1,-2）,設點M（x,y）,所以：M為拋物線上一點，0皿=入0￡+（入-2）0B,貝9：（x,丁）=入（1,2）+（入-2）（1,-2）=（2入-2,4）,代入y2=4x,得到：入=3.故答案為：3【點評】本題考查的知識要點：直線和拋物線的位置關系的應用，向量的坐標運算的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型.（2019年天津理科）在四邊形ABCD中，AD〃BC,AB=2；3,AD=5,ZA=30°,點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，貝9BD?AE= -1 .【分析】利用而和麗作為基底表示向量麗和正，然后計算數(shù)量積即可.【解答】解:?.?AE=BE,AD〃BC,ZA=30°,???在等腰三角形ABE中，ZBEA=120°,又AB=2；g,?AE=2,

又BD=BA+AE=-AB+AD,又BD=BA+AE=-AB+AD,BDBD?AE=〔-血+血i）?〔血+話）卜卜2 7 ■ ■ 2 ■2==-AB2-iy|AB|Had|cosA-|-AD2X5X^3x今-|~X25故答案為：-1.點評】本題考查了平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積，關鍵是選好基底，屬中檔（2019年江蘇）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA,AD與CE交于點O.若AB?AC=6A0?EC,則4!■的值是_'3_.【分析】首先算出辰評，然后用麗、疋表示出75、換，結合西?不=6亦?亞得*ab'=^ac'，進一步可得結果. ■-工 ■- 1-【解答】解：設肚1=入妙= （怔+AC）,辰血+辰血+五=A1UEC=AE+（疋-血）=（1-）7LAC=^^麗+垃2322423224詞=護詞=護5=*（朋+疋,■■■■■■■■'=—+:, ■- ■- 1- i ■■ ■- i ■- 1-6A0?EC=6Xj（捉+AC）?（-■ +AC）故答案為:M點評】本題考查向量的數(shù)量積的應用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力．（2019年浙江）已知正方形ABCD的邊長為1.當每個入（i=l,2,3,4,5,6）取遍±1時，|入］起+入2E<^3CD+FD￡+%AC+tBn的最小值是0，最大值是25.【分析】由題意可得AB+AD BD=AD-AB,AB?AD=0,化簡I入］起+入2BC+入3CD+入4皿+入5齪+入6明=..「（人］一^2+入5-人總），+（人2-入4+人5+/-百）2'由于入i（i=1,2,3,4,5,6）取遍±1，由完全平方數(shù)的最值，可得所求最值.【解答】解：正方形ABCD的邊長為1,可得西+75=不，麗=75-西，AB?AD=0,州起+入2 入3即+入4皿+入5山①入6珀=1入］AK+入2虹-入3怔-入4皿+入5拯+入5妙入6妙-入6紀I=1（入］-入3+入5一入6）加弭（入2-入4+入5+入6）QI=（（h］_ 扎E_二總）2_|_（kg—入匹+h5+人甘）2，由于入（z=1,2,3,4,5,6）取遍±1,可得入1-入3十入5_入6=0，入2_入4+入5十入6=0，可取入5=入6=1，入1=入3=1，入2=_1，入4=1，可得所求最小值為0；由入1_入3+入5一入6，入2_入4十入5十入6的最大值為4,可取入2=1，入4=_1，入5=入6=1，入1=1，入3=_1，可得所求最大值為2-5.故答案為：0,工乓.點評】本題考查向量的加減運算和向量的模的最值求法，注意變形和分類討論，考查化簡運算能力，屬于基礎題.(2019年新課標I理科)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AAX=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.證明：MN〃平面C1DE；求二面角A-MA1-N的正弦值.【分析】(1)過N作NH丄AD,證明NM〃BH,再證明BH〃DE,可得NM〃DE,再由線面平行的判定可得MN〃平面C1DE；(2)以D為坐標原點，以垂直于DC得直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面A、MN與平面MAA1的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-MA1-N的正弦值.【解答(1)證明：如圖，過N作NH丄AD,則NH〃AA],且陽#出「又MB〃AA],MB=*AA]，?:四邊形NMBH為平行四邊形，則NM//BH,由NH/AA1,N為A1D中點，得H為AD中點，而E為BC中點，:.BE//DH,BE=DH,則四邊形BEDH為平行四邊形，則BH//DE,:.NM//DE,

?:NM/平面C1DE,DEu平面C1DE,:.MN〃平面C1DE；（2）解：以D為坐標原點，以垂直于DC的直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則N（￥，卡，2）,M03,1,2）,A103,-1,4）,設平面A1MN的一個法向量為電、z），又平面MAA1的一個法向量為石二（1,0,Q）,二面角A-MA1-N的正弦值為 ― 1一【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．（2019年新課標II理科）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上,BE丄EC].

證明：BE丄平面EB]C]；2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C12)【分析】(1)推導出B1C1丄BE,BE丄EC1,由此能證明BE丄平面EB1C1.(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-EC-C1的正弦值.【解答】證明：(1)長方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1丄平面ABA1B1,:.B1C1丄BE,TBE丄EC],VB1C1nEC1=C1,ABE丄平面EB1C1.解：(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AE=A1E=1,貝9BE=EB1,VBE丄平面EB1C1,ABE丄EB],:.BE2+EB12=2BE2^^12=4,ABE2=2,VAE2+AB2=1+AB2=BE2=2,AAB=1,貝E(1,1,1),A(1,1,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2),C(0,0,0),?：BC丄EB\,：?EB]丄面EBC,— 故取平面EBC的法向量為ir^M^=(-1,0,1),取x=1,得門=(1,-1,0),設平面ECC1取x=1,得門=(1,-1,0),：?二面角B-EC-C1的正弦值為?=￥Cl【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題．(2019年新課標III理科)圖1是由矩形ADEB、Rt^ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60。.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連結DG,如圖2.DGEABCEi02DGEABCEi02證明：圖2中的A,C,G,D四點共面，且平面ABC丄平面BCGE；求圖2中的二面角B-CG-A的大小.【分析(1)推導出AD〃BE,CG〃BE,從而AD〃CG,由此能證明A,C,G,D四點共面,推導出AB±BE,AB±BC,從而AB丄面BCGE,由此能證明平面ABC丄平面BCGE.(2)作EH丄BC,垂足為H,以H為坐標原點，HC的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系H-xyz，運用空間向量方法求二面角B-CG-A的大小.【解答】證明：(1)由已知得AD〃BE,CG〃BE,?：AD〃CG,AAD,CG確定一個平面，/.A,C,G,D四點共面，由已知得AB丄BE,AB丄BC,AAB丄面BCGE,

TABu平面ABC,.?.平面ABC丄平面BCGE.解：(2)作EH丄BC,垂足為H,?:EHu平面BCGE，平面BCGE丄平面ABC,?EH丄平面ABC,由已知，菱形BCGE的邊長為2,ZEBC=60°,.??BH=1,EH=以H為坐標原點，HC的方向為X軸正方向，建立如圖所求的空間直角坐標系H_xyz,則A(_1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,血),CG=(1,0,■.■-3),AC=(2,_1,0),設平面ACGD的法向量n=(x,y,z),CGTn=x-H/3z=0 —則_“ ,取x=3,得n=(3,6,LACn=2x-y=0又平面BCGE的法向量為ir=(0又平面BCGE的法向量為ir=(0,1,0),???二面角B_CG_A的大小為30°.【點評】本題考查線面垂直的證明考查二面角的正弦值的求法考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識考查推理能力與計算能力是中檔題.(2019年天津理科)如圖,AE丄平面ABCD,CF〃AE,AD〃BC,AD丄AB,AB=AD=1AE=BC=2.求證：BF〃平面ADE；求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(Ill)若二面角(Ill)若二面角E-BD-F的余弦值為寺求線段CF的長.【分析】(I)以A為坐標原點，分別以AB,AU,AE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，求得A,B,C,D,E的坐標，設CF=h(h>0),得F(l,2,h).可得豆=訂,山0)是平面ADE的法向量，再求出麗2,h)，由BLABP,且直線BF?平面ADE,得BF〃平面ADE；求出CE=(-1,-2,2)，再求出平面BDE的法向量，利用數(shù)量積求夾角公式得直線CE與平面BDE所成角的余弦值，進一步得到直線CE與平面BDE所成角的正弦值;求出平面BDF的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值埠列式求線段CF的長．【解答(I)證明：以A為坐標原點，分別以西，75,亦所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,可得A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),D(0,l,0),E(0,0,2)．設CF=h(h>0),則F(1,2,h).則0,0)是平面ADE的法向量，又麗=(乩2,h)，可得EF'AB電又???直線BF?平面ADE,?：BF〃平面ADE；解：依題意,亦二1,Q)，西二(-1,0,M，帝二(T,-2,2).設舌二y,z)為平面BDE的法向量,r—f-■-令z=1令z=1，得門=(2,2, 1).?BE=-x+2z=0

CE?口.\cos<CECE?口.\cos<CE,4???直線CE與平面BDE所成角的正弦值氣；解：設詁〔心口z)為平面BDF的法向量,蘆―??線段CF的長為號則丁吁仔0，取y=i,可得齊⑴］令tm^BIr=2y+hz=0 h線段CF的長為號【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解線面角與二面角的大小，是中檔題．(2019年浙江)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A/CC］丄平面ABC,ZABC=90°,ZBAC=30°,A^A=A1C=AC,E,F分別是AC,A1B1的中點.證明：EF丄BC；求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.分析】法連接A1E,則A1E丄AC,從而A]E丄平面ABC,A1E丄BC,推導出BC丄A/,從而BC丄平面A1EF由此能證明EF丄BC.取BC中點G,連接EG、GF,則EGFA1是平行四邊形，推導出A1E丄EG,從而平行四邊形EGFA1是矩形，推導出BC丄平面EGFA1,連接A1G,交EF于O,貝JZEOG是直線EF與平面A1BC所成角(或其補角)，由此能求出直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.法二：(I)連接A1E,推導出A1E丄平面ABC,以E為原點，在平面ABC中，過E作AC的垂線為x軸，EC,EA1所在直線分別為y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.【解答】方法一：證明：(I)連接A1E,VA^A=A1C,E是AC的中點，.?.A1E丄AC,又平面A]ACC]丄平面ABC,A1E平面A^ACC1,平面A]ACC]n平面ABC=AC,AA1E丄平面ABC,AA1E±BC,VA1F#AB,ZABC=90°,ABC丄A/,VA1FnA1E=A1,ABC丄平面A1EF,.EF丄BC.解:(II)取BC中點G,連接EG、GF,則EGFAi是平行四邊形，由于A1E丄平面ABC,故A1E丄EG,???平行四邊形EGFAi是矩形，由(I)得BC丄平面EGFAi，

則平面A1BC丄平面EGFA1,：?EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上，VO是AG的中占，故EO-OG-連接A1G,交EF于O,貝kEOG是直線EF與平面A1BC所成角（或其補角）,不妨設AC=4,則在RtAA]EG中，A、E=VO是AG的中占，故EO-OG-,取,取x=l,得n=C?門=y-\.,r3z=0???直線EF與平面A1BC所成角的余弦值癢.方法二：證明：（I）連接A1E,VA^A=A1C,E是AC的中點，:.A1E±AC,又平面A1ACC1丄平面ABC,A]Eu平面A/CC],平面A1ACC1n平面ABC-AC,:.A1E丄平面ABC,如圖，以E為原點，在平面ABC中，過E作AC的垂線為x軸，EC,EA1所在直線分別為y,z軸,建立空間直角坐標系,設AC-4,則A]（0,0,2土）,B（.如1，°）,Bi（.3，引2 （害，寺2乜）,C（020）麗-（孚號，2；3）,瓦-（一?乙1，0）,由EF?BC=O，得EF丄BC.解：（II）設直線EF與平面A1BC所成角為9,由（I）得瓦.3，1，0）,喬=（0,2,-2土）,—fc-設平面A1BC的法向量n=（x,y,z）,|BC= 一 廠1

2???直線EF與平面A1BC2???直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.■!-qAG82x-f-J【點評】本題考查空間線面垂直的證明，三棱錐體積的計算．要證線面垂直，需證線線垂直，而線線垂直可以通過平面中的勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等來證明，也可以通過另外的線面垂直來證明．求三棱錐的體積經(jīng)常需要進行等積轉(zhuǎn)換，即變換三棱柱的底面．(2019年北京理科)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,AD丄CD,AD〃PF1BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且而=石.求證：CD丄平面PAD；求二面角F-AE-P的余弦值；pl1-1C設點G在PB上，且麗=可.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.【分析】(I)推導出PA丄CD,AD丄CD,由此能證明CD丄平面PAD.以A為原點，在平面ABCD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F-AE-P的余弦值.求出AG=(號，0,尋)，平面AEF的法向量ir=(1,1,-1),m-AG=0,從而直線AG在平面AEF內(nèi).【解答】證明：(I)TP4丄平面ABCD,?PA丄CD,TAD丄CD,P4HAD=A,.?.CD丄平面PAD.解：（II）以A為原點，在平面ABCD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,2 4A（0，0，0），E（0，1，1），F(xiàn)（——，——，—）,3 3P（0，0，2），B（2，-1，0），AE=（0,1，1），AF=（魯，舟,尋），平面AEP的法向量n=（1，0，0），???二面角F-AE-P的余弦值為害（III）直線AG在平面AEF內(nèi)，理由如下:???點G在PB上，且誥普…心寺號|???平面AEF的法向量ir=（1，1，-1），故直線AG在平面AEF內(nèi).平面內(nèi)的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、分析總結縱觀以上高考題及解答過程，可給我們高考復習和平時的教學一些有益的啟發(fā).1.向量運算的優(yōu)先級與考向分析由于平面向量與空間向量的適應范圍不太一致，我們分別探討他們的運算特征.平面向量的運算不外乎線性運算（也稱“字母運算”）和坐標運算兩種.通過筆者多年的教學實踐與觀察，學生普遍會優(yōu)先考慮坐標運算，從而把自己陷入繁瑣的代數(shù)運算泥沼，通過2019年各省市對向量的考查不難體會到這一點.實際上，教材中數(shù)學知識的編排順序總是先闡明核心概念與定義，再是數(shù)學表達，隨后是數(shù)學應用，因而向量的線性轉(zhuǎn)化應是向量的本質(zhì)屬性，它不受向量表示（尤其是向量的坐標表示）的影響，因而它應在向量運算中占有優(yōu)先級地位.至于向量的坐標表示，是因為“形缺數(shù)難入微”的緣故，復雜的向量關系如涉及多向量不易相互轉(zhuǎn)化或結構不良的情形，坐標化的思想往往能湊效，但涉及變量較多的代數(shù)運算時，坐標運算亦是徒勞，如浙江卷第17題.向量運算考查的雖是數(shù)學運算核心素養(yǎng)，需要理解運算對象、但也需要其它數(shù)學核心素養(yǎng)的輔助，如直觀想象核心素養(yǎng).借助向量對平面或空間圖形的幾何性質(zhì)進行刻畫就能自覺地將度量關系與幾何關系融匯到一起，我們就會增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，并逐步形成數(shù)學直觀，培養(yǎng)出在具體的情境中感悟事物本質(zhì)的能力.從這一意義上講，向量的運算有時要借助于直觀，因而從精算到估算是其基本的運算邏輯.值得注意的是，向量關系式的適應范圍較廣，一般對幾何圖形的具體形狀特征沒有做具體限定，因而特殊化是優(yōu)化運算的一大策略，如江蘇卷第12題等.“幾何法”與“空間向量法”是解決立體圖形中求角、距離問題無法回避的兩種常規(guī)方法.用傳統(tǒng)幾何法求距離和夾角時，要滿足三個步驟“作——證——求”，而其中的兩個步驟“作——證”卻是成了不少學生的攔路虎，談之色變.因為這兩個步驟不僅