線性代數矩陣第二章矩陣是一個重要的數學工具，不僅僅可以解線性方程組，其理論與方法還貫穿于線性代數的各個方面，且在數學的許多分支都有重要應用．本章將介紹矩陣的概念及其運算、逆矩陣、分塊矩陣、矩陣的初等變換及相應的初等矩陣等有關理論．第二章２.1矩陣的概念一、引例引例某物流公司向三個超市配送四種商品，設

表示某物流公司向第

，個超市配送第

種商品的數量，發貨方案見表2-1．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念定義１由

個數

排成的

行

列的矩形數表，稱為

矩陣．矩陣通常用大寫黑體英文字母表示，記作（１）也簡記為

．其中

稱為矩陣的第

行第

列的元素，簡稱為矩陣

的

元．為標明矩陣的行數

和列數

，矩陣

也記作或．如果矩陣

的元素是實數，則稱

是實矩陣；如果矩陣

的元素是復數，則稱

是復矩陣．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作

或

．如果矩陣

只有一行，即

，則稱為行矩陣，或稱行向量．同樣，如果矩陣只有一列，即，則稱為列矩陣，或稱列向量．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念若矩陣A、B，對應的行數相等，列數也相等，則稱它們為同型矩陣。定義２若矩陣和矩陣為同型矩陣，且對應的元素相等，即，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作．注意矩陣和行列式是不同的兩個概念，不要混淆了它們的實質及表現形式．第二章２.2矩陣的運算一、矩陣的加法和數與矩陣的乘積（簡稱數乘）１．矩陣的加（減）法定義１設矩陣，，則由它們的對應元素相加，所得到的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記作，即注意只有當兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運算．第二章２.2矩陣的運算一、矩陣的加法和數與矩陣的乘積（簡稱數乘）１．矩陣的加（減）法定義２設矩陣，則定義矩陣犃的負矩陣為，即只需把矩陣犃的每個元素改變符號即可．于是矩陣的減法也可以看作矩陣加法的逆運算．，即矩陣減矩陣可以看作矩陣加上矩陣的負矩陣．第二章２.2矩陣的運算一、矩陣的加法和數與矩陣的乘積（簡稱數乘）１．矩陣的加（減）法矩陣的加法運算滿足下列運算規律：設

，

，

都是同型矩陣，則有（１）交換律

；（２）結合律

；（３）

（其中

與

為同型矩陣）；（４）

．第二章２.2矩陣的運算一、矩陣的加法和數與矩陣的乘積（簡稱數乘）２．數與矩陣相乘定義３設

矩陣，以數乘矩陣的每一個元素所得到的矩陣，稱為數乘矩陣，記作，即第二章２.2矩陣的運算二、矩陣的乘法定義４設矩陣，矩陣，定義與的乘積是一個矩陣，且的第行第列元素

．為了使讀者看得更加清楚，我們進一步寫出乘積矩陣的表達式：第二章２.2矩陣的運算二、矩陣的乘法這里強調三點：（１）只有當（左矩陣）的列數等于（右矩陣）的行數時，與才能相乘．（２）乘積矩陣的第行第列元素等于將左矩陣的第行元素與右矩陣第列元素對應相乘以后再求和．即（３）乘積矩陣是矩陣，行數等于左矩陣的行數，的列數等于右矩陣的列數．第二章２.2矩陣的運算三、矩陣的轉置定義５設是矩陣，將的行與列依次互換，得到矩陣，則稱此矩陣為的轉置矩陣，記作或，即設第二章２.2矩陣的運算四、對稱矩陣與反對稱矩陣定義６若階方陣與它的轉置矩陣相等，即，則稱為對稱矩陣．由定義可知，對于對稱矩陣有．反之亦然．若階方陣與它的轉置矩陣互為負矩陣，即，則稱為反對稱矩陣．由定義可知，對于反對稱矩陣有．反之亦然．第二章２.2矩陣的運算五、方陣的行列式定義７由階方陣的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或．注意方陣與方陣的行列式是兩個不同的概念，前者是個數按一定次序排列的一張數表，而后者是個數按一定運算法則確定的一個數值．設，為階方陣，為數，方陣的行列式滿足下列規律：（１）；（２）；（３）．第二章２.3逆矩陣一、逆矩陣的概念定義１設為階方陣，如果存在階方陣，使得，則稱方陣是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，也簡稱是的逆．如果矩陣是可逆的，那么的逆矩陣是唯一的．事實上，如若、都是的逆矩陣，則有．于是．由此說明的逆矩陣是唯一的．將可逆矩陣的逆矩陣記為．由定義可知，矩陣與其逆矩陣的地位是平等的，因此也可以稱為可逆矩陣，稱為的逆矩陣，即．第二章２.3逆矩陣二、用伴隨矩陣求逆矩陣第二章２.3逆矩陣三、可逆矩陣的運算規律從逆矩陣的定義，可以得出可逆矩陣具有下列運算規律：（１）若矩陣可逆，則也可逆，且；（２）若矩陣可逆，數，則也可逆，且；（３）若階矩陣與都可逆，則可逆，且，一般地，若都可逆，則可逆，且；（４）若矩陣可逆，則也可逆，且；（５）若矩陣可逆，則．第二章２.4分塊矩陣一、分塊矩陣的概念對于行數和列數較大的矩陣，為了簡化矩陣的運算，運算時常對矩陣作適當的分塊，使階數較高矩陣的運算化為階數較低矩陣的運算．所謂矩陣的分塊，即是用若干條縱線和橫線將矩陣分成許多小矩陣，每一小矩陣稱為矩陣的子塊，以子塊作為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．將矩陣化為分塊矩陣往往會使矩陣的結構更加清晰，便于討論及運算．第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運算５．分塊對角矩陣設方陣的分塊矩陣其中主對角線上子塊都是方陣，其余子塊都是零矩陣，則稱為分塊對角矩陣．分塊對角矩陣的行列式具有以下性質：．第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組已知線性方程組記其中稱為線性方程組的系數矩陣，稱為未知數矩陣（或向量），稱為常數項矩陣（或向量），稱為增廣矩陣．增廣矩陣按分塊矩陣的記法，可以寫為

第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組利用矩陣的乘法，此方程組可記為．（２）系數矩陣是矩陣，若按行分為塊，每一行稱為矩陣的行向量．若第行記作

，則矩陣可記為

則線性方程組可記為第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組克拉默法則設含有個未知量的個線性方程的方程組如果線性方程組（５）的系數行列式那么方程組（５）存在唯一解第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組其中是把系數行列式中第列元素用方程組右端的常數項列代替后所得到的階行列式，即第二章２.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換定義１設，則稱下面三種變換為矩陣的初等行變換：（i）對調變換：即對換兩行（對換，兩行，記作）；（ii）數乘變換：即以數（）乘某一行的所有元素（第行乘數，記作）；（iii）倍加變換：即把某一行所有元素的倍加到另一行對應元素上（第行的倍加到第行上，記作）．第二章２.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換定義２如果矩陣經過有限次初等行變換變成矩陣，就稱矩陣與行等價；如果矩陣經過有限次初等列變換變成矩陣，就稱矩陣與列等價；如果矩陣經過有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價，記作．矩陣之間的等價關系具有以下性質：（i）反身性；（ii）對稱性若，則；（iii）傳遞性若，則．用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣與行最簡形矩陣．第二章２.5矩陣的初等變換二、初等矩陣１．三種初等矩陣定義１對單位矩陣施以一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣．三種初等變換對應有三種初等矩陣．（１）第一種初等矩陣（對調兩行或對調兩列）（２）第二種初等矩陣（以數乘某行或某列）（３）第三種初等矩陣（以數乘某行（或列）加到另一行（或列）上去）第二章２.5矩陣的初等變換二、初等矩陣２．初等矩陣有關定理及應用定理１設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘相應的階初等矩陣．定理２方陣可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣，使．推論１方陣可逆的充分必要條件是．推論２矩陣與等價的充分必要條件是存在犿階可逆矩陣及階可逆矩陣，使第二章２.6矩陣的秩一、矩陣秩的概念及有關定理定義１設是一個矩陣，在中任取行列，將位于這些行列交叉處的個元素，按照原來相