高等數學課件映射與函數第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日一、集合1.集合概念:集合：具有某種特定屬性的事物的全體.

用A、B、C表示.第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日有限集：由有限個元素構成的集合.無限集：由無限個元素構成的集合.集合的元素：組成這個集合的事物稱為該集合的元素.用a,b,c表示.集合的表示法：列舉法：按任意順序列出集合的所有元素,并用花括號{}括起來.特點：具有明顯性,適用于有限集.第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日構造式法：集合與元素間的關系：（屬于）集合與集合的關系：（包含）特點：具有明確性,適用于任何集合.第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日數集分類:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集集合A內排除0的數集.集合A內排除0與負數的數集.集合集合集合集合集合第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日不含任何元素的集合稱為空集.空集為任何集合的子集.

若，且,則稱A是B的真子集,記為.第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2、集合的運算

是二個集合，定義設A、B(A與B的并集)(A與B的交集)(A與B的差集)設I表示我們研究某個問題的全體,則其他集合A都是I的子集,稱I為全集或基本集.A的余集或補集記為:例如:在實數集R中則有第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日設A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：（1）交換律（2）結合律（3）分配律（4）對偶律以上這些法則都可以根據集合相等的定義驗證.第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日證明:兩個集合的并集的余集等于它們的余集的交集.證明:且且反之,且注:在以后的證明中,“”表示“推出”(或“蘊含”),“”表示“等價”.且于是第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日直積或笛卡兒乘積例如：為xOy面上全體點的集合，記為RR第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日區間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區間的端點.稱為開區間,稱為閉區間,3.區間和鄰域第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間區間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的長度.第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日無限區間用數軸可以表示區間,區間常用I表示.引進記號：（讀作無窮大）（讀作正無窮大）+∞(讀作負無窮大）－∞

第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日鄰域:鄰域就是開區間第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日

點a的去心鄰域：注若不強調δ的大小，點a的鄰域記為U(a)點a的左δ鄰域:開區間(a-δ,a)點a的右δ鄰域:開區間(a,a+δ)第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、映射1.

映射(mapping)的概念第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2.關于映射定義的說明(1)

構成映射的三要素:

)3(第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日3.單射、滿射、一一映射第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日例1該映射既非單射,又非滿射.第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日例2該映射的幾何意義:

將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區間[–1,1]上.該映射不是單射,是滿射.第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日例3該映射既是單射,又是滿射,故而是一一映射.第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日4.逆映射與復合映射第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日注意:第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日例4第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日映射又稱為算子.根據集合X、Y的不同情形,在不同的數學分支中,映射又有不同的慣用名稱.如:從非空集合X到數集Y的映射又稱為X上的泛函.從非空集合X到它自身的映射又稱為X上的變換.從實數集(或其子集)X到實數集Y的映射稱為定義在X上的函數.第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日三、函數1.函數概念因變量自變量定義設數集，則稱映射為定義在D上的函數，通常簡記為D稱為定義域,記作,即.第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日對每個,按對應法則f

總有唯一確定的值y與之對應,這個值稱為函數f

在x處的函數值,記作f(x),即y=f(x).函數值f(x)的全體所構成的集合稱為函數f

的值域,記作或f(D),即第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日函數是從實數集到實數集的映射,其值域總在R內.函數的兩要素:定義域與對應法則f.如果兩個函數的定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數就是相同的,否則就是不同的.作業第7題第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日約定:定義域是自變量所能取的使算式有(實際)意義的一切實數值.如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數．例如:第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日對于多值函數,往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數,這樣得到的單值函數稱為多值函數的單值分支.例如,在由方程給出的對應法則中,附加“”的條件,就可得到一個單值分支第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日表示函數的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點集稱為函數的圖形.第三十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日(1)符號函數幾個特殊的函數舉例1-1xyo定義域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日(2)取整函數y=[x][x]表示不超過x的最大整數12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線[1.2][-2.5]=1=-330定義域D=(－∞,+∞),值域=Z.第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日例3函數y=2它的定義域值域它的圖形是一條平行于x軸的直線.Oxyy=2第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日例4函數定義域D=(－∞,+∞),這個函數稱為絕對值函數.Oxy值域=[0,+∞).第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日絕對值:運算性質:絕對值不等式:第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段函數：在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為

分段函數。

第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日例5函數是一個分段函數.它的定義域D=[0,+∞).如:yxO1第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日例6解：分段函數的定義域，是使函數有定義的實數的全體.故（1）的定義域

（2）的定義域第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2、函數的特性M-Myxoy=f(x)D有界無界M-MyxoD1．函數的有界性:第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日(2)有界與否是和D有關的.(1)當一個函數有界時，它的界是不唯一的.注意:使(3)證明無界的方法:對于任意正數M,總存在第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日1.有界4.無界,有界.第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2．函數的單調性:xyo第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日xyo第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日3.單調增4.單調減,單調增.第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日3．函數的奇偶性:偶函數yxox-xsocx第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日奇函數yxox-xSinx，tanx第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日5.偶函數6.奇函數7.非奇非偶函數第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日4．函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.函數sinx,cosx的周期是函數tanx的周期是第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日有理數點無理數點?1xyo例10狄利克雷函數它是一個周期函數,任何有理數都是它的周期,但它沒有最小正周期.第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日3.反函數與復合函數反函數的定義:設函數是單射,則它存在逆映射稱此映射為函數f

的反函數.如:函數是單射,其反函數為若函數f(x)在D上是單調函數,則也是f(D)上的單調函數.注意：反函數的求法第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日DD)(xfy=函數第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日

直接函數與反函數的圖形關于直線對稱.相對于反函數原來的函數y=f(x)稱為直接函數.第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日復合函數定義:定義,且函數u=g(x)在D上有則由下式確定的函數稱為由函數u=g(x)和函數構成的復合函數,它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數g與函數f

構成的復合函數通常記為設函數的定義域為的定義域為設函數第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日函數g與函數f

構成復合函數的條件是:函數g在D上的值域g(D)必須含在f

的定義域內,即注意：1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日∴是由這三個函數復合而成的。2.復合函數可以由兩個以上的簡單函數經過復合構成.第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日4.函數的運算設函數f(x),g(x)的定義域依次為則可以定義這兩個函數的下列運算：和(差)積商;),()())((Dxxgxfxgf?±=±第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日5、基本初等函數1、冪函數定義域：視的取值而定。第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日偶奇增增奇減第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2、指數函數第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日3、對數函數第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日4、三角函數正弦函數余弦函數正切函數余切函數正割函數余割函數第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日奇有有偶奇奇周期內增周期內減第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日5、反三角函數定義域：[-1，1]值域：主值區間：主值分支：