高等數學微積分第一章函數及其圖形第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第一章

函數及其圖形第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.1預備知識1.集合集合(簡稱集):集合是指具有某種特定性質的事物的總體。集合用A，B，M等表示。元素:組成集合的事物稱為集合的元素。a

是集合M的元素表示為aM。集合的表示:(P3)(1)列舉法A={a,b,c,d,e,f,g}。(2)描述法

M={(x,y)|x，y為實數，x2+y2=1}。一、集合及其運算第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日幾個數集:R表示所有實數構成的集合，稱為實數集。Q表示所有有理數構成的集合，稱為有理集。Z表示所有整數構成的集合，稱為整數集。N表示所有自然數構成的集合，稱為自然數集。

子集:

(P3)若xA，則必有xB，則稱A是B

的子集，記為AB（讀作A包含于B）。

顯然，N

Z，Z

Q，Q

R。第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果A，B互相包含，即AB且BA，則稱A與B相等，記為A=B。（P4）可以認為空集?是任意非空集合A的子集，即?A。集合的運算：交、并、差。絕對值及其及其性質，見書第五頁。第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.區間:數集{x|a<x<b}稱為開區間，記為(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}。xOab(a，b)[a,b]={x|axb}稱為閉區間。xOab[a，b]第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日[a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}稱為半開區間。xOab[a，b)xOab(a，b]上述區間都是有限區間，其中a

和b

稱為區間的端點，b-a

稱為區間的長度。第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日以下區間稱為無限區間：[a,+)={x|ax}，xOa[a，+)(-,b]={x|xb}，xOb(-

，b](a,+)={x|ax}，axO(a，+)(-,b)={x|xb}，xOb(-

，b)(-,+)={x||x|<+}。第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.鄰域:以點a

為中心的任何開區間稱為點

a

的鄰域，記作U(a)。

設>0，則稱區間(a-,a+)為點a

的鄰域，記作U(a,)，即U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。其中點a

稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑。xOa-da+d去心鄰域:(a,)={x|0<|x-a|<}。xOa-da+da第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日左（右）鄰域、M領域的概念見書中第七頁。第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日1.函數概念的引入圓的面積的計算公式為A=pr2，半徑r可取(0,+)內的任意值。由落體下落距離的計算公式為s=-

gt2，t可取[0,T]內的任意值。12§1.2函數第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.函數的定義設x

和y

是兩個變量，D

是一個給定的數集。如果對于每個數xD，變量y

按照一定法則總有確定的數值和它對應，則稱y

是x

的函數，記作y=f(x)。

定義中，數集D叫做這個函數的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。函數符號:函數y=f(x)中表示對應關系的記號f也可改用其它字母，例如j、F等。此時函數就記作y=j(x)，y=F(x)。第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日值域：W={y|y=f(x)，xD}。定義域：

在數學中，有時不考慮函數的實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數。這時約定函數的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值。函數值：當x取數值x0D時，與x0對應的y的數值稱為函數y=f(x)在點x0處的函數值，記為f(x0)。確定一個函數有二個要素：定義域和對應的規則。第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日求函數的定義域舉例：解:要使函數有意義，必須x0，且x2-430。解不等式得|x|32。

函數的定義域為

D={x||x|32}，或D=(-￥,-2][2,+￥)。第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.函數的圖形在坐標系xOy內，集合

C={(x,y)|y=f(x)，xD}所對應的圖形稱為函數y=f(x)的圖形。O

yxC(x,y)xyWDy=f(x)第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值問題只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫做多值函數。以后凡是沒有特別說明時，函數都是指單值函數。3.函數舉例

例1.在直角坐標系中，由方程x2+y2=r2確定了一個函數。對于任意x(-r,r)，對應的函數值有兩個：

22xry--=及y=22xr-。第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數的定義域為D=(-,+)。

函數的值域為W=[0,+)。yxOy=|x|

x,x0-x,x<0

y=|x|=稱為絕對值函數。例2.函數第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數的定義域為D=(-,+)。

函數的值域為W={-1,0,1}。

O

xy21-1-2y=sgnx1,當x>00,當x=0-1,當x<0例3.函數y

=sgnx

=

稱為符號函數。

第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.函數表示法

圖像法、表格法、解析法（詳見P14）

分段函數的三個注意點（P14）第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數的定義域為D=[0,1](1,+)=[0,+)。f

(3)=1+3=4。xy=2y=1+xy=f(x)y321O123x第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日5.函數的運算函數可以作四則運算，見書中P16。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.3函數的幾種基本特性圖形特點：

y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1.函數的有界性設函數f(x)在數集X上有定義。如果存在數K1，使對任一xX，有f(x)K1，則稱函數f(x)在X上有上界，而稱K1為函數

f(x)在X上的一個上界。第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果存在數K2，使對任一xX，有f(x)K2，則稱函數f(x)在X上有下界，而稱K2為函數f(x)在X上的一個下界。圖形特點：函數y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方y=K2y=f(x)Oxy第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日有界函數的圖形特點：函數y=

f(x)的圖形在直線y=

-M和y=

M的之間。如果存在數M，使對任一xX，有|f(x)|M，則稱函數f(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數f(x)在X上是無界函數，就是說對任何M，總存在x1X，使|f(x)|>M。Oxyy=f(x)y=-My=M第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數的有界性舉例：（P19）

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的：

即|sinx|1。

見P19頁例1-11yxO-2p-pp2py=sinx第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.函數的單調性x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)設函數y=

f(x)在區間I上有定義。如果對于區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的。第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果對于區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)則稱函數f(x)在區間I上是單調減少的。f(x1)>f(x2)，單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數。第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日設函數f(x)的定義域D關于原點對稱。如果對于任意的xD，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。3.函數的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數偶函數的圖形關于y軸對稱。第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日奇偶函數舉例：

y=x3，

y=sinx都是奇函數。例2、3（P21）101x-22y如果對于任意的xD，有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數。奇函數的圖形關于原點對稱。第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日設函數f(x)的定義域為D。如果存在一個不為零的數l，使得對于任一xD有(xl)D，且f(x+l)=

f(x)，則稱f(x)為周期函數，l

稱為f(x)的周期。最小的正周期T，T=min{l|

f(x+l)=

f(x)}且T>0。可能不存在T，見書例4（P23）。周期函數的圖形特點：

yxOl2l-2l-ly=f(x)4.函數的周期性第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.4反函數對于任一數值yW，D上至少可以確定一個數值x與y

對應，這個數值x適合關系f(x)=y。如果把y看作自變量，x看作因變量，按照函數的定義就得到一個新的函數，這個新函數稱為函數y=f(x)的反函數，記作x=j(y)。1.反函數

設函數y=f(x)的定義域為D，值域為W。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1,y0)(x2,y0)W第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y單調函數的反函數是單值函數，但有反函數的函數不一定是單調的。什么樣的函數存在單值的反函數？第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日Oxy-xxy=x2y

y=x2的反函數是多值函數：x=

。把x限制在區間[0,)，則y=x2的反函數是單值的，即x=。它稱為函數y=x2的反函數的一個單值分支。反函數的單值分支：另一個單值分支為x=-

。書中例2、例3（P26）第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日在數學中，習慣上自變量用x表示，因變量用y

表示。按此習慣，我們把函數y=f(x)的反函數x=j(y)改寫成y=

f-1(x)。例如y=x2的反函數寫為y=。反函數的圖形：反函數的圖形與直接函數的圖形關于直線y=x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關于反函數的變量符號：第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日D1D2u=j(x)y

=f(u)y

=f[j(x)]復合函數：一般地，設函數y

=f(u)的定義域為D1，函數u=j(x)在數集D2上有定義，如果{u|u=j(x)，xD2}D1則對于任一xD2，通過變量u能確定一個變量y的值，這樣就得到了一個以x為自變量、y為因變量的函數，這個函數稱為由函數y

=f(u)和u=j(x)復合而成的復合函數，記為y

=f[j(x)]

，其中定義域為D2，u稱為中間變量．§1.5復合函數第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日復合而成的．其中u，v

都是中間變量．函數y=可看作是由y=，u=1+v2，v=lnx函數y=，u=cotv，v=經復合可得函數問：函數y=arcsinu與u=2+x2能構成復合函數嗎？兩個函數可以構成復合函數的條件，見書中P29。P29-31，例題1-8。y=

例

函數y=arctan(x)2可看作是由y=arctanx和u=x2復合而成的．第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.6初等函數1.冪函數(見書中P33頁，增加一種常數函數）函數y=xm（m是常數）叫做冪函數．冪函數的定義域：與常數m有關，但函數在（0，+）內總有定義．最常見的冪函數：xyO11y=x2y=xy

=xxyO11y=x-1y=x3第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日1a>1

y=()x1ay=axxyO2．指數函數函數y=ax(a是常數，且a>0，a1)叫做指數函數．指數函數的定義域：D=（-，+）．單調性：若a>1，則指數函數單調增加；若0<a<1，則指數函數單調減少．第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日1a>1y=axxyOy=logax3．對數函數指數函數y=ax的反函數叫做對數函數，記為y=logax(a>0，a1)．對數函數的定義域是區間(0，+)．單調性：若a>1，則logax單調增加；若0<a<1，則logax單調減少．性質見書P34