1.4二項式定理【基礎梳理】【典型例題】題型一二項式定理公式運用313【例1】 (1)求 x4的展開式．2化多式(＋15(＋1＋10(1)－10(1)5(＋1－1結是( ．(＋25 ．5．(－15 ．35【答案】見解析【解析方法一

134x＝(3)＋(3)·34

14xC(3)24

14x＋(3)4

14x＋C44

1x＝82＋1.＋3x＋1xx3x＋1x1x31x4

4 1 4

1 2 2

3 4 4 1 2方法二

＝ ＝＝

[1CC()C()C()]＝

(1＋12x＋54x3 4 1 12

2 2 22＋ 2 x2原式＝[(1)1]()＝3.【舉一反三】11)5(＋1＋10＋1－10＋1＋5(1)1.35【解析】原式＝C(＋15－C(＋14＋C2(＋1)－C3(＋1)2＋C(＋1)－C5(＋1)0＝[(＋1)－155 5 5 5 5 5()3.n n n n （200已知C0C142C23C3n4nCn n n n n n n C1C2C3Cnn n n A．64 B．32C．63 D．31【答案】C【解析】根據二項式定理展開式的逆運算可知n n n n C04C142C243C31n4nCn14n，所以14nn n n n n n n n 所以C1C2C3Cn26C026163故選:C．12C＋4－8…(2n n n n n n n nA．1 B．1 C．(－1)nD．3n【答案】 C【解析】逆用二項式定理，將1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.題型二指定項的（二項式）系數

1521201·（在二項式x2

x4的項的系數xx是 。2202·二項式(3x

1)8的展開式的常數項是 ．2x3201·國三題習理在項式(x22)5展式，x系為 。x【答案】（1）10（2）7（3）-805（1）x215

展項T Ckx2kx15k5kCkx3k5， x

k5 5 5 令k54，可得k3，∴5kCk53C310．故選C5 二項式3x

)8的展開式的通項公式為T Cr(3x)8r(1)rCr1

84r3,2x r8

2x 82r84r0r，故所求的常數項為C2

=7.3 822（3）由題意，二項式(x22)5的展開式的通項為T Cr(x2)5r(2)r(2)rCrx103r，x r5 x 5令r3，可得T(2)3C3x80x，即展開式中x的系數為80.4 5【舉一反三】

1 6（209理）x

x展開式中的常數項為 ．【答案】15【解析】1x

6x展開式的通項為6 16k k

k k k 3k6T Ck xCkxk61x2Ck1x2 k6x 6 3

1 6當k4時

C44x24615即

x

展開式中的常數項為15故答案為：155 6 x （209國三理）(x22)4開中含5項系為（ ）xA．8 B．8C．4 D．4【答案】B【解析】由x22

開的項式T ekx24k2

=ek2kx83k,k,,,,4, x

k4

x 44k 4k4令8k5即k1,∴x225的項的系數為1218.故選:B.4 x4 （209海三考二式3x1二展式第3的項系為 .【答案】55【解析】由題意n＝11，r＝2，（113項的二項式系數為CrC2

55，故答案為：55．11 11題型三多項式的（二項式）系數例31202·慶開學三考理）x2x2x4展式中x的數（ ）57 D．82201·慶中三考理）x2yxy5展式中x3y3系為（ ．10 ．0 C、30 D．0【答案】（1）A（2）C1x2x2x4x2(x)4x(x)4(x)4(x1)4二項展開式的通項公式T Crx(4r)(1)r，x2(x1)4中不含x項,無需求解.r44x(x1)4xr4時xC4x(44)1)4x442(x1)4xr32C3x(43)1)38x4x2x2x4x項9x故選:A.5 5 2）x2yxy5x2yC0x5C1x4y+C5y5，x3y3的項有的C3x3y32C2x5 5 5 55 故x3y3的系數為C32C230，故選：5 【思路總結】【思路總結】①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)；【舉一反三】（200南三末理）x1(x)5開中含項系為（ ） x A．-112 B．112 C．-513 D．513【答案】C【解析】當項(x1)出x時，5個括號(x3)均出(3)；x當項(x1)出1時，5個括號(x3)有2個出x，3個出(3)；x x所以展開式中含x的項為：xC5x0(3)51C3x2(3)3513x.5 x5所以含x的項的系數為513.故選：C.（200）1

1x6開中x2系為（ ）2x2 A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】當1111x6x2的項為C2x2 x26 當（11x2

1x2

1x6x2的項為C4x， 6所以（111x6x2的系數為C2C430.6

故選C. x2 6 6 （209（理）12x

81

y444

的展開式中x2y2的系數是（ ）A．58 B．62 C．52 D．42【答案】D【解析】12x81

y4

21的展開式中x2y2的系數是C222C2 421 4 8 44 （200江三題習）xyx2y3展式中x3y系 .【答案】53 xyx2y3x3yC1x22yC0x36x3yx3y5x3yx3y3 系數為5.故答案為：5.題型四（二項式）系數和4-1（201（理若f(x)12x)7a

axax2ax7.1）017；（2）；

0 1 2 7

a1a2

a7.1）22）13）27.【解析】（1）令x1，可得f(1)33aaaaaaaa

27，0 1 2 3 4 5 6 7∴a2a427．①（2）xf1)3aaaaaaaa，0 1 2 3 4 5 6 7a2a41．②28，∴14．（3）由題意得二項式2x)7展開式的通項為T Cr(2x)r2rCrxr，2,7)，

r7 7∴

a1a2

a7

a0a1a2a3a4a5a6a727．4-2－)9(1)二項式系數之和；(2)各項系數之和；(3)所有奇數項系數之和．【答案】見解析－).0 1 2 9(1＋CC2.9 9 9 9(2，令1＝，所以(23)－1.0 1 2 9(31－1，可得5，0 1 2

51又…－1將式加得＝ ，251即所有奇數項系數之和為 .2【思路總結】【思路總結】二項展開式中系數和的求法(12∈R∈N＝1∈RN(2)2n0 1 2＋…＋axn奇數項系數之和為a＋a＋a＋…0 2 4＝f1＋f－1，2偶數項系數之和為a＋a＋a＋…1 3 5＝f1－f－1.2【舉一反三】（209）設12x)3a

axax2a x2013(xR).（1）求a1a2a2013的值；（2）a2013的值；

0 1 2 2013（3）

a1a2

a2013的值132013【答案（1）-2；(2) ;(3)320132【解析】（1）令x0，得a01.令x1，得a+aaa (1)20131.①∴aaa

20 1 2 2013 1 2 2013（2）令x1，得aaaaa

32013.②與①式聯立，0 1 2 3 20132a

a

132013，所以

1320131 3 2013

a2013 2（3）aaa aaaa

32013（令x1）0 1 2013 0 1 2 2013．設(2－)a求；

0 1 2

100(2…；(3…；(4＋a)…a)；0 2 100 1 3 99(5||…|.【答案】見解析0(102.0(21，可得a＝(－3)，①0 1 2 100a＝(－3)2.1 2 100(3－1，可得a(2＋).②與①式聯立相減得＋＝

0 1 2 3－3－2＋30

100.(4a)a)＝a

)(a－a＋a－…＋a

)＝(20 2 100 1

99 0 1

100 0 1

100－)·(＋3)1.(5||＋…＋a，即(＋0(2＋01，0 1 100可得各項系數的和為(2＋3)100.題型五最值問題n【例5（2018·上海市七寶中學高二期末）已知二項式3x 1 的展開式中，前三項系數的絕對值n2323x 成等差數列.n的值；求展開式中二項式系數最大的項；求展開式中系數最大的項.35 41）8

8（3）7x3. 1 n

nr

1

1r n2r3x【解析（1）二項式 3x

展開式的通項為Cr3x

Cr x3，23x2 n23x2 2 x3由于展開式系數的絕對值成等差數列，則2C11C0C21，即n1n2 x3n2 n n4 8整理得n29n80，Qn2，解得n8；8r1項的二項式系數為Cr，因此，第5r4；81rrr

r

1r

28! 8!C82

2

r!8r！r1!7r! 由 rCr1Cr1

1r，得8! 28! ， 82 8 2

r8r

r1!9r! 2r28整理得9r2r

2r3r=12 4

或3時，項的系數最大.因此，展開式中系數最大的項為C2 x37x3.8 2 2【思路總結】【思路總結】(1)二項式系數的最大項的求法①當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大．②當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大．(2)展開式中系數的最大項的求法況進行分析．如求(∈R)的展開式中系數的最大項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，且第＋1項最大，應用，，得出系數的最大項．【舉一反三】x（208）在(x求展開式中所有的有理項；

2)8的展開式中，x2展開式中系數的絕對值最大的項是第幾項？并求系數最大的項和系數最小的項【答案】(1

x4,

112x1,

1120x6,

1792x11；3576、7357

1792x11

1722 8r

2r

45rx【解析】(1)由題(x

)8展開式中的第r項T Crx

Crx 2.x2 r8

x28即T (1)rCr2r

452

4

5r為整數時為有理項.故當r0,2,4,6,8時成立,r8 2分別為TC020x4x4TC222x45112x1TC424x4101120x6,1 8 3 8 5 8TC626x415=1792x11.7 8即x343

112x1,T1120x6,5745r57

1792x11r r(2)由T

(1)rCr2rx

2知,當系數的絕對值最大的項即C82最大.r8

1 2Cr2rCr12r1

8r r1故8 8

5r6.Cr2rCr2r2 18 8

r

9r故絕對值最大的項是第6、7項.其中系數最大的項為T

C626x415=1792x11,系數最小的項為T

7 8C525

172=1792x

1726 8（209理已知(12x)n4等于37，求：展開式中二項式系數最大的項的系數．展開式中系數最大的項．35【答案】(1) 8

T28x7,

28x8.98【解析】（1）由(12x)n的展開式前三項的三項式系數的和等于37，984即C0C1C237，解得n8，即二項式(12x)8，n n n 4所以展開式中第5項的二項式系數最大，因此由T

41 1

24x4

70x435

x4可知此項的系數為35.5 84

16

18rCr

811Cr1

2r184 8 4（2）設二項展開式的第r項的系數最大，則

，解得7r8，Cr1

8r

Cr1

7r

2r184 8 4 所以展開式中系數最大的項為第8項及第9項，1即TC7

27x7x7，

011

28x828x8. 8 84 9 8 題型六二項式定理運用61201·理）1-9C1+902C2-903C3+…+910C108810 10 10 10（）A．－1 B．1 C．－87 D．872202·江三題習）7計結精到位近值（）A．106 B．107 C．108 D．109【答案】（1）B（2）B（1）190C1902C2903C3C1010 10 10 1019010188101C1

882C2883C3

…+C1010 10 10 10188(C12882C3…+889C10),10 10 10 10所以1-90C1+902C2-903C3+…+9010C10除以88的余數是1，故選:B.10 10 10 107 2∵725727C1265C252107.287 ∴1.957107.故選：B【舉一反三】（209理若7a(aZ,0

a4)能被3整除，則）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B17 【解析】因為+aaC1C16181aa17 （200江三題習）1以9余為 ；【答案】5132293223 3 3 932222C0322C19222C29222C33 3 3 3211除以9922C35537（201角形中的一種幾何排列.如圖所示去除所有為1的項依此構成數列則此數列的前46項和為 .【答案】2037nn1行n12n第n1行去掉所有為1的項的各項之和為：2n2從第3行開始每一行去掉所有為1的項的數字個數為：1,2,3,4,則：12345678945，即至第11行結束，數列共有45項1146項為第12行第1個不為1C111

11前46項的和為：2122222322102112037本題正確結果：2037【舉一反三】（201理（1261一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開式的系數規律現把楊輝三角中的數從上到下從左到右依次排列得數列，146，，1…記數列n若列n前n和為Sn則S7（ ）A．265 B．521 C．1034 D．2059【答案】B【解析】根據題意楊輝三角前9行共有12345678945故前47項的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個數1和9，所以前47項的和S47202122281929119521故選B項.2行有個數且兩端的1數均為

(n≥2)，每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，如：

1 1 ＋＝＋

1 1 1 1 1＝＋， ，＝＝＋n≥3)行第3個數字是 ．

1 2

2 3 6

4 12【答案】 2

∈N3)【解析】 楊輝三角形中的每一個數都換成分數，就得到一個如題圖所示的分數三角形，即為萊布尼茨三角形．≥3)行第3個數字是C2

，則“萊布尼茨調和三角形”第n(n≥3)行第3個數字是1nC＝ 2 .nCnn－1n－2

n－1

2n－1 26

【強化訓練】x2（209川三考理）x x2 A．

的展開式中，常數項為B．C．15 D．60【答案】D【解析】x

26

的展開式的通項為T

Crx6r

2

Crx63r， x2

r6

x262 r 2 r令60r所以x

2x2

展開式中常數項為22C20，故選D 6（200江三題習1+214展式中3系為A．12 B．16 C．20 6【答案】A4 3的系數為C3C14812，故選4 （209西三考理）a2b2ab6展式中a4b4系為（ A．320 B．300 C．280 D．260【答案】B解】ab6開的項：T Cra6rbr2rCra6rbr，r6 6T24C4a64b4240a2b4，T22C2a62b260a4b2，5 6 3 6據此可得：a4b4的系數為24060300.本題選擇B選項.（209國三理）(x22)4開中含5項系為（ ）xA．8 B．8C．4 D．4【答案】B【解析】由x22

開的項式T ekx24k2

=ek2kx83k,k,,,,4, x

k4

x 44k 4k4令8k5即k1,∴x225的項的系數為1218.故選:B.4 x4 1 5（209北二末理）x4 2x

的展開式中含x5項的系數為（ ） x2 A．160 B．210 C．120 D．252【答案】D【解析】x4

12x

5 1 1

，T

Cr

x210r1

Crx203r，當r=5時，

x

r10

x 10r rTC5x5252x5.故選D.6 10（209理）1)(1x)6x2的系數為（）x2A．30 B．15 C．0 D．-15【答案】C【解析】x)6的展開式的通項公式為T Crxr，r6故x)6x2項的系數是C2x4項的系數是C46 6所以(11)(1x)6展開式中x2的系數為C2-C4=0x2 6 6 1634x（200南三末理）2x 展式中項（34x A．-40 B．40x2 C．40 D．40x2【答案】B6k解】2x 1展式通為T Ck2x6k16k34x34x k634x34x 13

1

313則中間項為T

C3(2x)3

2023 x

40x2.故選：B.4 6

34x

4 （200國三題習若x2ax110展式中x6系為30則a于（ ） x1 1B．3 2

C．1 D．2【答案】D【解析】將題中所給式子可化為x2ax110x2x110ax110 x x x rnrr

1

r10r

1

r102r根據二項式定理展開式通項為Cna

,x x x

的通項為x

x x

C10x令102r

r

，所以x6的項為x2C3x4120x6令102r6解得r=21010x6的項為aC2x645ax61010

x6的系數為12045a

a

故選:Dn n n n （200已知C0122C23C32nCnn n n n n n n C1C2C3Cnn n n A．63 B．64 C．31 D．32【答案】A【解析】根據二項式定理展開式的逆運算可知n n n n C02C122C223C32nCn12n所以3nn n n n n n n n n6則C1C2C3Cn26C026n n n n 1202·國三題習） 設i虛單，則＋i6展式含4項( －14 ．14 C－204 D204【答案】A6(狘??6Tr?=Cr6rr6垰r=4r=?狘4的項66C?狘4??=垰?5狘46

17x1202·國三題習已知x x

的展開式的第4項等于5，則x等于（ ）1A．7【答案】B

17

C．7 D．7n【解析】根據二項式定理展開式通項為n

Cranrbr34

1

765x4

135x54C7

x

5321

x3 解得x1故選:B71202·）13x5=0+1x+2x2+3x3+4x4+5x5a0++a2++a4+=（ ）A．1024 B．243 C．32 D．24【答案】A【解析】根據二項式定理展開可得13x5=C03x+C23x2+C33x3+C43x4+C53x55 5 5 5 5 5則a01,a1C1315,aC23290,aC3332705 2 5 3 555 a4C434405,aC53555 所以a0+a1+a2+a3+a4+a51+15+90+270+405+2431024故選:A

16x21202·蒙高期（二式x x2

m0的展開式中常數項為60，則m（ ）23A． B． C．2 D．323【答案】A解】項T Crx6rx2rrCrm6rx63rr,r,,,,,,6,r6 6令63r0，得63r，得r=2，2所以C2m62(1)2C2m460，即故m ，故選：A.26 61202·設A．0，且B．1，若13C．11D．12【答案】D【解析】由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12選D.1201·西二末理）1x13展式，數小項（ A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項【答案】C【解析由題設可知展開式中的通項公式為T Cr(x)r(1)rCrxr其系數為(1)rCr當r為奇數r13 13 1313時展開式中項的系數(1)rCr最小，則r7，即第8項的系數最小，應選答案C。131201設(2x)5aaxax2ax50a2a40 1 2

aaa1 3 5為（ ）A．244241【答案】B

B．122121

C．6160

D．-1【解析】由(2x)5aaxax2ax5，0 1 2 5令x1得：(21)5aaaaaa，①0 1 2 3 4 5x得：[2aaaaaa，②0 1 2 3 4 5聯立①②得：aaa1243122，aaa1243121，0 2 4 2 1 3 5 2a0a2a41 3 即aa1 3

122，故選：B.1211201西考（國宋學楊輝121所解章法書出了圖所示的表即楊輝三角這是數學史上的一個偉大成就“楊輝三角中第n行的所有數字之和為2n1，若去除所有為1的項依次構成數列則此數列的前15項和（ A．110 B．114 C．124 D．125【答案】Bnn1行，x12n，其中第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推，即每一行的數字之和構成首項為1，公比為2的對邊數列，n 1-2n n

Sn

=1-2

2-1，若除去所有為1的項，則剩下的每一行的數字的個數為1,2,3,4,12

n(n1)，2令n(n1)15，解得n5，2所以前157，即2713114，15114B.1201·慶二考理）(x2y)4開中項系最的的數為 (數作答)【答案】24【解析(x2y)4展開式中的通項公式為T Cr2rx4ryr，r44r1項的二項式系數為Crr=4時，二項式系數最大，4故二項式系數最大的項的系數為C22224.故答案為：24．41201海大中二考）1x81y4展式中x2y2系是 （數作）【答案】16881x8x2的系數為C281y4y2的系數為C2x2y2的系數是C2C287431684故答案為:168

84 2 21202·設1x)8aaxax2a

x2018，若0 1 2 20182a2a0，則實數a.【答案】2【解析】(1ax)2018aaxax2a

x20180 1 2 2018兩邊分別求導：2018a(1ax)2017a2ax2018a

x20171 2 2018x12018a(1a)2017a

2018a

2018aa22

1 2 20182201·若1x5aaxax2ax5aaa

.0 1 2 5 1 2 5【答案】311x5aaxax2a5,0 1 2 5x0a1x115aaaa

32,0 0 1 2 5∴a1a2a532131.故答案為：31.n n 2202·若是正整數，則7n7n1C17n2C27Cn1n n .【答案】07【解析】7n7n1C17n2C27Cn1C09nC19n1(1）n n n n nn Cn191(1)n1Cn90(1)nn （﹣1﹣1C09nC19n1(1）Cn1﹣11n n n每項都是9的倍數．∴這整個式子都可以被9整除，此時余數為0．是正奇數，則原式C09nC19n1(1）Cn191(1)n1Cn90(1)n1．n n n nC09nC19n1(1）Cn191(1)n12．n n n∵﹣29707．故答案為：07．2201·海七中高）5﹣1被7后余為 ．【答案】051 51 51 【解析】50511(491)511C04951C14950C504951 51 51 51 51 C04951C14950C504949是750﹣1被751 51 故答案為：02201·理若12x)9a

axax2a x2019(xR，則a1a2a2019

．

0 1 2 20102 221

22019【解析】2x)2019aaxax2a x2019(xR)0 1 2 2010x0a

x1，則0

a1a2a2019a1a2a2019

10故答案為1

2 0 2 22

22019

2 22

220192201·在(2x3y0(2)奇數項的二項式系數的和與偶數項的二項式系數的和;(3)各項系數之和;(4)奇數項系數的和與偶數項系數的和.答1）104（2512 512（）1（4見析【解析】(1)各項的二項式系數的和為C0C1C2C102101024;10 10 10 10(2)奇數項的二項式系數的和為C0C2C102951210 10 10偶數項的二項式系數的和為C1C3C9

2951210 10 100 1 2 10 0 1 2 (3(2x3y)=a+ay+axy+…+ay0(*)0 1 2 10 0 1 2 (*x==1(2-)=(-1=1.(4+a++…+aa++a+…+.由(3+a++…+a=1.①0 1 2 3 (*x=,y=1a-a+a-a0 1 2 3 2(aa

)=15

15102;20 2 102(a+a+…+a)=-

15102.21 3 9x 1nx2201·）若

24x

展開式中前三項系數成等差數列，求： 的一次冪的項；x的有理項；展開式中系數最大的項．1T35x（T

x4；T35x；T

1 3系數最大項為第3項5 8 5 7

5 8

256x2T37x2和第4項T47x4【解析】

1n

Cr

nrx

1r n3r224x r r 22 xx2x4n由已知條件知C0C212C11，解得：n8或x2x4nn n22