北京市2014～2015學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（理）試卷(考試時(shí)間：100分鐘總分：100分)一、選擇題（本大題共10小題，每題4分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合要求的.）1．已知復(fù)數(shù)z知足：zi2i（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2iB．2iC．2D．22．圖書室的書架有三層，第一層有3本不一樣的數(shù)學(xué)書，第二層有5本不一樣的語文書，第三層有8本不一樣的英語書，現(xiàn)從中任取一本書，共有（）種不一樣的取法。A.120B.16C.64D.39x23lnx1的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）3．已知曲線y24A．3B．2C．1D．124．由直線y1,y2,曲線y1及y軸所圍成的關(guān)閉圖形的面積是（）2xA．2ln2B．2ln21C．1ln2D．5245．以下說法正確的選項(xiàng)是（）在用綜合法證明的過程中，每一個(gè)分步結(jié)論都是結(jié)論建立的必需條件在用綜合法證明的過程中，每一個(gè)分步結(jié)論都是條件建立的必需條件C.在用剖析法證明的過程中，每一個(gè)分步結(jié)論都是條件建立的充分條件D.在用剖析法證明的過程中，每一個(gè)分步結(jié)論都是結(jié)論建立的必需條件6．設(shè)函數(shù)f(x)xlnx，則f(x)的極小值點(diǎn)為（）A.xeB.xln2C.xe2D.x1e7．已知2112，221334，23135456,．．．，以此類推，第5個(gè)等式為（）-1-A．2413575678B．251357956789C．2413579678910D．25135796789108．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)34i，i2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則線段的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．22iB．22iC．1iD．1i9．已知函數(shù)fx1x2cosx,fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，則fx的圖象大概是4（）10．設(shè)函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的導(dǎo)函數(shù)為fx，fx在區(qū)間a,b上的導(dǎo)函數(shù)為fx，若區(qū)間a,b上fx0，則稱函數(shù)fx在區(qū)間a,b上為“凹函數(shù)”，已知fx1x51mx42x2在1,3上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）2012A．(,31)B．[31,5]C．(,3]D．,599二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分.）11．函數(shù)f(x)x3ax2在(1,)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是12．設(shè)會(huì)合A1,2,3,4,5,a,bA,則方程x2y21表示焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓有ab個(gè).sinx,x0,13．設(shè)f(x)2，則201,x,22

f(x)dx為。-2-14．已知復(fù)數(shù)zxyix,yR,x0且z23，則y的范圍為．x15．在平面上，我們用向來線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按如圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有c2a2b2．假想正方形換成正方體，把截線換成如圖截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，假如用S1,S2,S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比獲得的結(jié)論是．16．對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)和g(x)，假如對(duì)隨意xD，都有f(x)g(x)1建立，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可被g(x)代替，D稱為“代替區(qū)間”．給出以下命題：①()x21在區(qū)間(,)上可被g(x)x21代替；fx2②f(x)x可被g(x)11代替的一個(gè)“代替區(qū)間”為[1,3]；4x42③f(x)lnx在區(qū)間[1,e]可被g(x)xb代替，則e2b2；④()lg(ax2)(xD1),()sin(xD2)，則存在實(shí)數(shù)a(a0)，使得f(x)在區(qū)間fxxgxxD1D2上被g(x)代替；此中真命題的有三、解答題（本大題共4小題，共36分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）-3-（本小題共8分）已知函數(shù)f(x)x3ax22,x2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求：1）實(shí)數(shù)a的值；2）f(x)在區(qū)間1,3上的最大值和最小值。（本小題共8分）若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22Z，cZ22x236求證：a、b、c中起碼有一個(gè)大于0。-4-(本小題共10分)已知函數(shù)f(x)exax1(aR)．（1）求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；（2）若函數(shù)F(x)f(x)1x2在1,2上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求a2的取值范圍；20.(本小題共10分)11已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，關(guān)于隨意nN*，都有21anan121成an111annn1立，且a24．1）求a1，a3的值；2）猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并給出證明．-5-北京市2014~2015學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二（理）試卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題序號(hào)答DBAABDDDAC案二、填空題11.3,12.1013.314．3,315．s12s22s32s42216．①②③三、解答題（1）由于，f(x)3x22ax,（1分）17．f(x)在x2處有極值，因此，f(2)0,（2分）即344a0,因此，a3。（3分）（2）由（1）知a3，因此f(x)x33x22,f(x)3x26x（4分）令f(x)0,得x10,x22，-6-當(dāng)x變化時(shí)f(x),f(x)的變化情況以下表：x11,000,222,33f(x)+0-0+f(x)2222（7分）從上表可知f(x)在區(qū)間1,3上的最大值是2，最小值是2。（8分）18.證明：假定a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0∴abc0(4分)∵abcx22y2y22zz22x63=(x1)2(y1)2(z1)230與上式矛盾∴a,b,c中起碼有一個(gè)大于0（8分）19.(1)解：f(x)exa（1分）當(dāng)a0時(shí)，f(x)≥0，則f(x)在(,)上單一遞加（2分）當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(，lna)上單一遞減，f(x)在(lna，)上單一遞加．（4分）(2)解：由F(x)f(x)1x0，得aex1x2122xex1x21(x1)ex1x21考察函數(shù)g(x)2(x1,2)，則g(x)x22（5分）x令h(x)(x1)ex1x21，h(x)x(ex1)（6分）2當(dāng)1x2時(shí)，h(x)0，∴h(x)在1,2上單一遞加（7分）10,g(x)0，∴g(x)在1,2上單一遞加（8分）∴h(x)≥h(1)2ex1x213，最大值為g(2)1∴g(x)2在1,2上的最小值為g(1)e(e23)x22（9分）∴當(dāng)e3≤a≤1e23時(shí)，函數(shù)F(x)f(x)1x2在1,2上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)222（10分）-7-1120.（1）由于21anan121，a24an111annn1當(dāng)n1時(shí)，由2121121，即有1221a2a1a2a122，4a14a1解得2a18．由于a1為正整數(shù)，故a11．（2分）37當(dāng)n2時(shí)，由211121a36a3，44解得8a310，因此a39．（4分）（2）由a11，a24，a39，猜想：ann2（5分）下邊用數(shù)學(xué)概括法證明．1o當(dāng)n1，2，3時(shí)，由（1）知ann2均建立．（6分）2o假定nkk≥3建立，則ak2，k由