中考專題訓練——勾股定理的應用

1.如圖，在把易拉罐中水倒入一個圓水杯的過程中，若水杯中的水在點P與易拉罐剛好接

觸，求此時水杯中的水深為多少？（結果用根式表示）

三三；80°

［杯

2.《中華人民共和國道路交通管理條例》規定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過

70千米/時，如圖，一輛小汽車在某城市街道直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面

車速檢測儀A（觀測點）正前方30米處的C處，過了2秒鐘后，測得小汽車與車速檢測

儀間的距離為50米，問：這輛小汽車超速了嗎？（參考數據轉換：lm/s=3.6h"〃?）

小汽車小汽車

布II點

3.數學活動課上，老師組織學生測量學校旗桿的高度，同學們發現系在旗桿頂端的繩子垂

到了地面還多1米，當同學們把繩子的下端拉開5米后，發現繩子下端剛好接觸地面，

請你根據題意畫出圖形，并求旗桿的高度.

4.如圖，一幢居民樓與馬路平行且相距9米，在距離載重汽車41米處（圖中B點位置）

就會受到噪音影響，試求在馬路上以4米/秒速度行駛的載重汽車，給這幢居民樓帶來多

長時間的噪音影響？若影響時間超過25秒，則此路禁止該車通行，那么載重汽車可以在

這條路上通行嗎？

|71號民樓

5.甲、乙兩船從位于南北走向的海岸線上的港口A同時出發，甲以每小時15海里的速度

向北偏東40°方向航行，乙船以每小時20海里的速度向另一方向航行，4小時后甲船到

達C島，乙船到達B島，已知8、C兩島相距100海里，判斷乙船航行的方向，并說明

理由.

6.如圖，有一個三角形花圃，NC=90°,AC=20m,BC=10m,兩個人同時從點8處出

發，以相同速度沿著花圃四周散步，一個沿著BQ,D4方向走，另一個沿著BC,。方

向走，結果他們在點A處首次相遇，你能據此求出4。的長嗎？試試看.

U

7.如圖是校園內的一塊菜地，數學活動小組的同學量得：/ADC=90°,40=40%,CD

=30m，BC=l20m,AB=130m,求這塊菜地的面積.

8.如圖，是位于公路邊的電線桿，高為10米，為了使電線COE不影響汽車的正常行駛,

電力部門在公路的另一邊豎立了一根水泥撐桿BD,用于撐起電線.已知兩桿之間的距

離是8米，電線OE的長度為10米，求水泥撐桿的高度（電線桿、水泥桿的粗細忽

略不計）.

9.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，NACB=90°,AC=

80m,BC=f>0m.線段CD是一條水渠，且。點在邊AB上，已知水渠的造價為1000元

/〃?，問：當水渠的造價最低時，CO長為多少米？最低造價是多少元？

10.如圖，一棵樹8,在其6〃?高的點B處有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其

中一只猴子沿樹爬下走到離樹12巾處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂。后直線躍向池

塘的A處.如果兩只猴子所經過的路程相等，試問這棵樹有多高？

11.如圖，是斜坡AC上的一根電線桿A8用鋼絲繩BC進行固定的平面圖.已知斜坡AC

的長度為4a，鋼絲繩BC的長度為5MABLA。于點A,CCA。于點。，若8=2相，

則電線桿A8的高度是多少.（結果保留根號）

12.如圖，要修建一個育苗棚，棚高人=3"?,棚寬〃=4〃3棚長4=12機，現要在育苗棚的

整個表面（除底面外所有的面）覆蓋一層塑料薄膜，試求至少需要多少平方米塑料薄膜？

（接縫處不計）

13.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部底面直徑為5c7”，高為12c%,吸管放進杯

里，杯口外面露出5c,〃.問吸管要做多長？

14.如圖，一架10米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，梯子的頂端距地面的垂直距

離為8米，如果梯子的頂端沿墻下滑1米.

(1)求它的底端滑動多少米？

(2)為了防止梯子下滑，保證安全，小強用一根繩子連接在墻角C與梯子的中點。處,

你認為這樣效果如何？請簡要說明理由.

15.如圖，已知AC、BO為數值的墻面，一架梯子從點。豎起，當靠在墻面AC上時，梯

子的另一端落在點A處，此時N4OC=60°,當靠在墻面上時，梯子的另一端落在

點3處，此時/8。。=45°,且。0=3加米.

(1)求梯子的長；

(2)求。C、AC的長.

16.如圖一架云梯AB斜靠在一面墻上，梯子的底端B離墻根0的距離。8長為7米，梯子

的頂端A到地面的距離0A為24米.

(1)求這個梯子A8的長；

(2)如果梯子的頂端A下滑4米到A'點，梯子的底端B向右滑動到夕點，試求

的長.

17.如圖，有兩條公路OM,ON相交成30°角.沿公路0M方向離。點80米處有一所學

校A,當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區

域內都會受到卡車噪聲的影響，且卡車戶與學校A的距離越近噪聲影響越大.若已知重

型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時.

(1)求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離；

(2)求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間.

18.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自

沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海

里.它們離開港口一個半小時后相距30海里.

(1)求PQ、PR的長.

(2)如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行？為什

19.如圖所示，A、8兩塊試驗田相距200米，C為水源地，AC=160〃?，BC=120，m為了

方便灌溉，現有兩種方案修筑水渠.

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、&

乙方案；過點C作A8的垂線，垂足為H,先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上

的“處，再從”分別向A、B進行修筑.

(1)請判斷△48C的形狀(要求寫出推理過程)；

(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明.

20.中國對南沙群島及其附近海域擁有無可爭辯的主權.2015年10月27日，美國拉森號

軍艦未經中國政府允許，非法進入中國南沙群島有關島礁鄰近海域.中國海軍鹽城艦加

大南沙海域的巡航維權力度.如圖，OALOB,OA=45海里，。8=15海里，渚碧礁位

于。點，鹽城艦在點8處發現美國拉森號軍艦，自4點出發沿著AO方向勻速駛向渚碧

礁所在地。點，鹽城艦立即從8處出發以相同的速度沿某直線去攔截拉森號軍艦，結果

在點C處截住了拉森號軍艦.

(1)請用直尺和圓規作出C處的位置；

(2)求鹽城艦行駛的航程的長.

B

A

參考答案：

I.如圖，在把易拉罐中水倒入一個圓水杯的過程中，若水杯中的水在點P與易拉罐剛好接

觸，求此時水杯中的水深為多少？（結果用根式表示）

【分析】直接利用勾股定理得出P8的長，再利用三角形面積求出答案.

【解答】解：過尸作于

在中，ZABP=30a

則AP=8X工=4

2

由勾股定理得：不=4y，

由得：

22

▲X8?PM=2X4X4\B，

22

解得：PM=?M'

故水深為(10-2)cm,

答：此時水杯中的水深為(10-2/§)cm.

2.《中華人民共和國道路交通管理條例》規定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過

70千米/時，如圖，一輛小汽車在某城市街道直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面

車速檢測儀A(觀測點)正前方30米處的C處，過了2秒鐘后，測得小汽車與車速檢測

儀間的距離為50米，問：這輛小汽車超速了嗎？(參考數據轉換：I〃?/s=3.6h"http://i)

小汽車小汽車

B9--...........................<C

瀛點-

【分析】直角三角形48c中，有斜邊AB的長，有直角邊AC的長，那么BC的長就很容

易求得，根據小汽車用2s行駛的路程為BC,那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是

否超速了.

【解答】解：在RtZ\ABC中，AC=30m,AB=50m,

由勾股定理可得：BC=N/_蛻2=40(〃?)，

.?.小汽車的速度為.=40+2=20Cm/s)=20X3.6(.km/h)=72(km/h),

V72(.km/h)>70(.km/h'),

.?.這輛小汽車超速行駛.

答：這輛小汽車超速了.

3.數學活動課上，老師組織學生測量學校旗桿的高度，同學們發現系在旗桿頂端的繩子垂

到了地面還多1米，當同學們把繩子的下端拉開5米后，發現繩子下端剛好接觸地面，

請你根據題意畫出圖形，并求旗桿的高度.

A

【分析】因為旗桿、繩子、地面正好構成直角三角形，設旗桿的高度為x米，則繩子的

長度為（x+1）米，根據勾股定理即可求得旗桿的高度.

【解答】解：設旗桿的高度為X米，則繩子的長度為（X+1）米，

根據勾股定理可得：/+5?=（x+1）2,

解得，X=}2.

答：旗桿的高度為12米.

4.如圖，一幢居民樓與馬路平行且相距9米，在距離載重汽車41米處（圖中B點位置）

就會受到噪音影響，試求在馬路上以4米/秒速度行駛的載重汽車，給這幢居民樓帶來多

長時間的噪音影響？若影響時間超過25秒，則此路禁止該車通行，那么載重汽車可以在

這條路上通行嗎？

馬路

【分析】先根據勾股定理求出BC及。C的長，進而可得出的長，根據載重汽車的速

度是4m/s即可得出受噪音影響的時間，與25秒相比較即可得出結論.

【解答】解：如圖，過點A作于點C,

;由題意得AC=9,AB=AD=A\,ACLBD,

.?.RtZXACB中，此="]2_92,

AC。中，DC=y/4]2_鏟,

.,.87）=80,

.*.804-4=20（s）,

受影響時間為20s；

V20<25,

可以通行.

5.甲、乙兩船從位于南北走向的海岸線上的港口4同時出發，甲以每小時15海里的速度

向北偏東40°方向航行，乙船以每小時20海里的速度向另一方向航行，4小時后甲船到

達C島，乙船到達B島，已知B、C兩島相距100海里，判斷乙船航行的方向，并說明

【分析】根據題意得出AC,AB的長，再利用勾股定理的逆定理得出aBAC是直角三角

形，進而得出答案.

【解答】解：由題意可得：

AC=15X4=60（海里），

48=20X4=80（海里），

AC2+,4B2=602+802=10000,

loooo,

故AC2+AB2=BC2,

??.△54C是直角三角形，

AZBAC=90°,

180°-40°-90°=50°,

，乙船航行的方向是南偏東50°.

6.如圖，有一個三角形花圃，NC=90°,AC=20m,8c=10,〃，兩個人同時從點8處出

發，以相同速度沿著花圃四周散步，一個沿著8。，D4方向走，另一個沿著BC,CA方

向走，結果他們在點A處首次相遇，你能據此求出AO的長嗎？試試看.

【分析】設BL>=x,AD^y,再由BD+AO=BC+AC及勾股定理列出關于x、y的方程組,

求出y的值即可.

【解答】解：設B￡)=x,AD=y,

'：BD+AD=BC+AC,AC1+CD1=ADL,AC=20m,BC=10，〃，

x+y=30

：.},解得y=25/n,即AO=25m.

,202+(10+x)2=y

7.如圖是校園內的一塊菜地，數學活動小組的同學量得：ZADC=90°,AD=4Qm,CD

=30m，8c=120"，AB=130/n,求這塊菜地的面積.

【分析】連接AC,先根據勾股定理求出AC的長，再根據勾股定理的逆定理判斷出△

ACB的形狀，根據S四邊彩ABC=SzsACB-SAACD即可得出結論

【解答】解：連接AC,

?.?40=40,CD=30,NA￡)C=90°,

：.AC^yJ4O2+3O2=50,

?.,AB=130,BC=120,

：.AC2+BC2=AB2,

.二△ACB是直角三角形，

2

ASraa?/iBC=SMCB-SAACD=—X50X120-Ax30X40=3000-600=2400(w),

22

答：這塊菜地的面積為2400次.

8.如圖，4E是位于公路邊的電線桿，高為10米，為了使電線CDE不影響汽車的正常行駛,

電力部門在公路的另一邊豎立了--根水泥撐桿BD,用于撐起電線.已知兩桿之間的距

離是8米，電線。E的長度為10米，求水泥撐桿8力的高度(電線桿、水泥桿的粗細忽

略不計).

【分析】作于尸，在RtzXEF。中，。尸=AB=8,DE=10,由勾股定理求出E凡

即可得出結果.

【解答】解：作OFJ_AE于尸，如圖所示：

則在RtZkE尸。中,DF=AB=&,DE=10,

22

：?EF=VDE-DF=V102-82=6,

：.BD=AF=AE-EF=\0-6=4（米）；

答：水泥撐桿B4的高度為4米.

9.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，ZACB=90°,AC=

80mBC=60/n.線段CD是一條水渠，且。點在邊A8上，已知水渠的造價為1000元

/〃?，問：當水渠的造價最低時，CD長為多少米？最低造價是多少元？

【分析】當CD為斜邊上的高時，CD最短，從而水渠造價最低，根據已知條件可將C。

的長求出，在RlZsAC。中運用勾股定理可將A力邊求出.

【解答】解：當C。為斜邊上的高時，CO最短，從而水渠造價最低，

VZACB=90°,AC=80米，8C=60米，

22

?MB=VAC+BC=7602+802=?。。米，

"：CD'AB=AC'BC,HPCD，100=80X60,

.\CD=48米，

...在RtZXAC。中，4c=80,CD=48,

所以，CO長為48米，水渠的造價最低，其最低造價為48000元.

10.如圖，一棵樹CD在其6m高的點8處有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其

中一只猴子沿樹爬下走到離樹12相處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂。后直線躍向池

塘的A處.如果兩只猴子所經過的路程相等，試問這棵樹有多高？

【分析】由題意知AD+O8=BC+CA,設米，則A￡)=(18-x)米，且在直角4

ACD中CD^C^^AD2,代入勾股定理公式中即可求x的值，樹高CD=6+x.

【解答】解：由題意知AC+OB=BC+CA,且CA=12米，BC=6米，

設B￡>=x米，則(18-%)米，

在RtZ\ACD中：。。2+°2=4。2,

即(18-%)2=(6+無)2+122,

解得x=3,

故樹高為CD—6+3=9米.

答：樹高為9米.

11.如圖，是斜坡AC上的一根電線桿A8用鋼絲繩BC進行固定的平面圖.已知斜坡AC

的長度為4如鋼絲繩BC的長度為5m。于點A,。于點。，若CO=2/n,

則電線桿AB的高度是多少.(結果保留根號)

B

【分析】過點C作CE//AD交AB于點E,得到矩形ADCE,那么AE=CD=2,CE=

AD.先在直角△ACO中利用勾股定理求出AQ,然后在直角△BCE中利用勾股定理求出

BE,那么4B=AE+BE,問題得解.

【解答】解：過點C作CE〃A。交AB于點E,

?.?A81.A。于點A,COJ_A。于點。，

四邊形AOCE是矩形，

：.AE=CD=2,CE=AD.

在直角△ACD中，

VZADC=90°,

?，MD^VAC2-CD2=2e,

：.CE=AD=2\[2-

在直角△BCE中，；NBEC=9Q°,

22

BE="\/BC-CE=>

AB=AE+BE=2+2V13.

即電線桿AB的高度是（2+J石）m.

12.如圖，要修建一個育苗棚，棚高〃=3機，棚寬4=4〃?，棚長d=12m,現要在育苗棚的

整個表面（除底面外所有的面）覆蓋一層塑料薄膜，試求至少需要多少平方米塑料薄膜？

（接縫處不計）

【分析】在側面的直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜邊長.棚頂是以側

面的斜邊為寬，棚的長為長的矩形，依據矩形的面積公式即可求解，進而可求出需要多

少平方米塑料薄膜.

【解答】解：'：h=3m,a=4m,

=VAC2+BC25（W）'

，需要多少平方米塑料薄膜=5X12+2X^X3X4+3X12=108（wi2）.

13.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部底面直徑為5c,",高為12cm,吸管放進杯

里，杯口外面露出5cm.問吸管要做多長？

【分析】在吸管(杯內部分)、杯底直徑、杯高構成的直角三角形中，由勾股定理可求

出杯內吸管部分的長度，再加上外露部分的長度即可求出吸管的總長.

【解答】解:如圖所示：

,杯子底面直徑為5cw,高為12c/n,

BC=5cm,AB—12crn,

：吸管、圓柱形杯內部底面直徑與杯壁正好構成直角三角形，

???AC=\AB2+BC2=13C，”,

；杯口外面至少要露出5cm,

吸管的長為：13+5=18。〃.

14.如圖，一架10米長的梯子A8,斜靠在一豎直的墻AC上，梯子的頂端距地面的垂直距

離為8米，如果梯子的頂端沿墻下滑1米.

(1)求它的底端滑動多少米？

(2)為了防止梯子下滑，保證安全，小強用一根繩子連接在墻角C與梯子的中點。處，

你認為這樣效果如何？請簡要說明理由.

【分析】(1)在直角△ABC中，根據勾股定理求得BC的長度；然后在直角△AiBiC中，

根據勾股定理求得81c的長度，則88i=BC-8C；

(2)因為在直角三角形中：斜邊上的中線等于斜邊的一半，斜邊為梯子的長度不變，所

以繩子的長度不變，并不拉伸，對梯子無拉力作用.

【解答】解：(1)在直角△A8C中，NAC8=90°,AB=10米，AC=8米，由勾股定

理得BC=\卜._氐2=6米.

在直角△4BC中，/ACBi=90°,AiBi=10,A\C=1,由勾股定理得BiC=J五.

所以BBi=BiC-BC=J^i-6

答：它的底端滑動(倔-6)米.

(2)并不穩當，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，梯子若下滑，繩子的長

度不變，并不拉伸，對梯子無拉力作用.

15.如圖，已知4C、B0為數值的墻面，一架梯子從點。豎起，當靠在墻面4C上時，梯

子的另一端落在點A處，此時NAOC=60°,當靠在墻面上時，梯子的另一端落在

點8處，此時N8OD=45°,且。。=3近米.

(1)求梯子的長；

(2)求OC、4c的長.

【分析】(1)先根據題意得出△BOO是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出0B的

長；

(2)先根據直角三角形的性質求出0C的長，再由勾股定理即可得出AC的長.

【解答】解：(1)???由題意得，ZBDO=90°,NBOD=45：

：.ZB=45°.

.?.00=80=3&(米).

在RtZkOB。中，03=4002+802=6(米)，

梯子的長是6米；

(2)VZACO=90°,ZAOC=60°,OA=O8=6米，

；./CAO=30°,

；.OC=Lo=3米.

2

在RtAACO中，AC=^AQ2_QC2=折=3禽米.

16.如圖一架云梯A8斜靠在一面墻上，梯子的底端B離墻根0的距離08長為7米，梯子

的頂端A到地面的距離0A為24米.

(1)求這個梯子AB的長；

(2)如果梯子的頂端4下滑4米到4'點，梯子的底端B向右滑動到B'點，試求88'

的長.

【分析】(1)在△RfAOB中依據勾股定理可知AB2=OA2-0^2=242+72=625,兩邊同時

開方即可求得AB的長；

(2)在RtZ\A'OB'中依據勾股定理可求得OB'的長，從而可求得8B'的長.

【解答】解：(1)在RtaAOB中，

；OA=24,0B=7,

由勾股定理得：-082=242+72=625=252,

."8=25；

(2),/0A1=OA-AA'=24-4=20,

在RtZ!vl'OB'中，

"：A'B'=25,OA'=20,

由勾股定理得：OB'2-OA'2=252-202=225=152,

：.OB'=15,

：.BB'=OB'-OB=15-7=8.

17.如圖，有兩條公路。M,ON相交成30°角.沿公路OM方向離。點80米處有一所學

校4當重型運輸卡車尸沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區

域內都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大.若已知重

型運輸卡車尸沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時.

(1)求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離；

(2)求卡車尸沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間.

【分析】(1)作AO1.ON于。，求出AO的長即可解決問題.

(2)如圖以A為圓心50w為半徑畫圓,交ON于8、C兩點，求出BC的長，利用時間

=尊厚計算即可.

速度

【解答】解：（1）作ACON于。，

VZMON=3>0°,AO=80m,

.?.Ar>=」OA=40，〃，

2

即對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離40m.

（2）如圖以A為圓心50根為半徑畫圓，交ON于8、C兩點，

HBC,

:.BD=CD=LBC,

2

在RtAABD中，BD={AB?-AD?=^502-40=3°加，

：.BC=60m,

???重型運輸卡車的速度為18千米/時=300米/分鐘，

，重型運輸卡車經過8c的時間=60+300=0.2分鐘=12秒，

答：卡車尸沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間為12秒.

18.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自

沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海

里.它們離開港口一個半小時后相距30海里.

（1）求PQ、PR的長.

（2）如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行？為什

【分析】（1）根據路程=速度X時間計算即可.

(2)利用勾股定理的逆定理證明NQPR=90°即可.

【解答】解：根據題意，得

(1)P(2=16X1.5=24(海里)，PR=12X1.5=18(海里)，

(2)VPg2+P/?2=242+182=900,QR2=900

；.PQ2+PR2=QR2,

；.NQPR=90°.

由“遠航號”沿東北方向航行可知，ZQPS=45°,則N5PR=45°,即“海天”號沿

西北方向航行.

19.如圖所示，A、8兩塊試驗田相距20