考點函數的零點與方程的根1.函數的零點(1)函數零點的定義:對于函數y=f(x),把使①

f(x)=0

的實數x叫做函數y

=f(x)的零點.(2)三個等價關系:方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖象與②

x軸

有

交點?函數y=f(x)有③零點

.2.函數零點存在性定理

考點清單注意零點存在性定理只能判斷函數在某區間上是否存在零點,并不能

判斷零點的個數,但如果函數在區間上是單調函數,則該函數在區間上至

多有一個零點.注:函數零點存在性定理在新教材中叫零點存在定理.3.二分法(1)對于區間[a,b]上連續不斷的,且f(a)·f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把

函數f(x)的零點所在的區間一分為二,使區間的兩個端點逐步逼近零點,從

而得到零點近似值的方法,叫做二分法.(2)用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟第一步,確定區間[a,b],驗證④

f(a)·f(b)<0

,給定精確度ε;第二步,求區間(a,b)的中點c;第三步,計算f(c):(i)若f(c)=0,則c就是函數的零點;(ii)若f(a)·f(c)<0,則令b=c(此時零點x0∈(a,c));(iii)若f(c)·f(b)<0,則令a=c(此時零點x0∈(c,b));第四步,判斷是否達到精確度ε,即若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否

則,重復第二、三、四步.考法一函數零點的個數及所在區間的判斷方法知能拓展例1(1)(2020江蘇如皋中學第一學期檢測,2)函數f(x)=lnx-

+1的零點所在的大致區間是

()A.(2,e)

B.(1,2)

C.(e,3)

D.(3,+∞)(2)設函數y=x3與y=

的圖象的交點為(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,則x0所在的區間是

.解題導引(1)解法一:利用零點存在性定理進行判斷;解法二:利用圖象法.(2)分別畫出函數y=x3與y=

的圖象,利用函數零點存在性定理進行判斷.解析(1)解法一:由于f(1)=ln1-2+1=0-2+1=-1,f(2)=ln2-1+1=ln2>0,函數f(x)=lnx-

+1在(0,+∞)上為單調增函數,所以f(x)的零點所在區間為(1,2),故選B.解法二:方程lnx-

+1=0的根為f(x)=lnx-

+1的零點,即函數f(x)的零點所在區間是函數y=lnx+1與y=

的圖象交點橫坐標所在區間,兩函數圖象如圖所示:由圖可知f(x)=lnx-

+1的零點所在區間為(1,2),故選B.(2)設f(x)=x3-

,則x0是函數f(x)的零點,在同一坐標系下畫出函數y=x3與y=

的圖象如圖所示.因為f(1)=1-

=-1<0,f(2)=8-

=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).答案(1)B(2)(1,2)方法總結確定函數零點所在區間的方法(1)解方程法:當對應方程f(x)=0易解時,可先解方程,然后看求得的根是否

落在給定區間上.(2)利用函數零點存在性定理:首先看函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是否

連續,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數y=f(x)在區間(a,b)內必有零點.(3)數形結合法:通過畫函數圖象,觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交

點來判斷.例2(1)已知函數y=f(x)是周期為2的周期函數,且當x∈[-1,1]時,f(x)=2|x|-

1,則函數F(x)=f(x)-|lgx|的零點個數是

()A.9

B.10

C.11

D.18(2)(多選題)(2021屆湖南衡陽一中第二次月考,10)某同學在研究函數f(x)=

(x∈R)時,給出下面幾個結論,其中正確的有

()A.f(x)的圖象關于原點對稱B.若x1≠x2,則f(x1)≠f(x2)C.f(x)的值域為(-1,1)D.函數g(x)=f(x)-x僅有一個零點(3)函數f(x)=

的零點個數是

.解題導引(1)函數F(x)的零點個數就是函數y=f(x)與y=|lgx|圖象交點的

個數,作出函數圖象,結合圖象確定零點的個數.(2)

(3)畫出函數的圖象,結合圖象確定零點的個數.解析(1)由F(x)=0得f(x)=|lgx|,所以函數F(x)=f(x)-|lgx|的零點個數就是函

數y=f(x)與y=|lgx|圖象交點的個數.作出函數圖象,如圖所示:當0<x≤10時,有10個交點;當x>10時,|lgx|>1,所以此時函數y=f(x)與y=|lgx|

的圖象無交點.故函數F(x)=f(x)-|lgx|的零點個數是10.(2)函數f(x)的定義域為全體實數,f(-x)=

=-

=-f(x),所以f(x)是奇函數,圖象關于原點對稱,故A正確;選項B,當x≥0時,f(x)=

=1-

,顯然函數單調遞增,此時0≤f(x)<1;當x<0時,f(x)=

=-1+

,顯然函數單調遞增,此時-1<f(x)<0,因此函數在整個實數集上是單調遞增的,因此若x1≠x2,則f(x1)≠f(x2)是正確的,本選

項是正確的;選項C,由選項B的分析可以知道本選項是正確的;選項D,g(x)=f(x)-x=0?f(x)=x?

=x?

=0?x=0,只有一個零點,D正確.(3)當x>0時,作函數y=lnx和y=x2-2x的圖象,如圖.

由圖知,當x>0時,f(x)有2個零點;當x≤0時,由f(x)=0得x=-

.綜上,f(x)有3個零點.答案(1)B(2)ABCD(3)3方法總結判斷函數零點個數的常用方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,則有幾個不同的解就有幾個零點.(2)函數零點存在性定理:利用該定理不僅要求函數在[a,b]上的圖象連續,

且f(a)·f(b)<0,還必須結合函數的圖象和性質(如單調性、奇偶性、周期

性、對稱性)才能確定函數有多少個零點.(3)數形結合法:轉化為兩個函數圖象的交點的個數問題,有幾個交點就有

幾個不同的零點.經典例題以下為教師用書專用例

(2020云南大理、麗江、怒江一模,11)設函數f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-

3.若實數a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則

()A.g(a)<0<f(b)

B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)

D.f(b)<g(a)<0解析易知函數f(x)單調遞增,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,由f(a)=0知0<a<1;函

數g(x)在定義域內單調遞增,g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,由g(b)=0知b>1,∴g(a)<g(1)<0,f(b)>f(1)>0.故g(a)<0<f(b).答案

A例

(2020廣西桂林七星模擬,10)設三個函數y=2x+x-2,y=log2x+x-2和y=x3-

3x2+3x-1的零點分別為x1,x2和x3,則有

()A.x1x2≥x3,x1+x2≥2x3B.x1x2<x3,x1+x2=2x3C.x1x2>

,x1+x2≤2x3D.x1x2=

,x1+x2≥2x3

解析本題考查了利用數形結合研究函數的零點問題,考查了數學運算

和直觀想象的核心素養.易知x3=1.畫出函數y=2x,y=log2x與y=2-x的圖象如圖,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分別是函數y=2x與y=log2x的圖象與直線y=2-x的交點,由于指數函數y=ax與y=logax(a>0且a≠1)的圖象關于直線y=x對稱,且直線

y=2-x也關于直線y=x對稱,所以交點A、B關于直線y=x對稱,所以

=

?2-x1+2-x2=x1+x2,所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2<

=1(0<x1<x2),故選B.答案

B解題關鍵將x1,x2分別看成y=2x,y=log2x的圖象與直線y=2-x的交點的橫坐

標,結合y=2x,y=log2x的圖象關于直線y=x對稱得到x1+x2=2是解題的關鍵.例

(2020浙江杭州期末,16)已知函數f(x)=x3-9x,g(x)=3x2+a(a∈R).若方程f(x)=g(x)有三個不同的實數解x1,x2,x3,且它們可以構成等差數列,則a=

.解析本題考查方程的根與函數的零點的關系,根據根與系數的關系設F(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)是關鍵,考查了學生的計算能力,屬于中檔題.令F(x)=f(x)-g(x)=x3-3x2-9x-a,則F(x)=0有三個不同的實數解x1,x2,x3,且x1,x2,x3

成等差數列,設x1=x2-d,x3=x2+d,則F(x)=[x-(x2-d)](x-x2)[x-(x2+d)]=x3-3x2x2+(3

-d2)x-

+x2d2.對照x各次方的系數,可知

得a=-11.答案

-11一題多解(三次方程的韋達定理的應用)由題可知x1,x2,x3為方程x3-3x2-9x

-a=0的三個不等實根,且滿足x1+x3=2x2,而x1+x2+x3=3,所以3x2=3,即x2=1,所

以1-3-9-a=0,即a=-11.例

(2020重慶一中摸底)已知偶函數y=f(x),x∈R滿足f(x)=x2-3x(x≥0).若

函數g(x)=

則y=f(x)-g(x)的零點個數為

()A.1

B.3

C.2

D.4解析本題考查分段函數零點個數的判斷.y=f(x)-g(x)的零點個數即為方

程f(x)=g(x)的根的個數,即函數y=f(x)和y=g(x)圖象的交點個數,作出兩函

數圖象,如圖所示,由圖象可知共有3個交點,故選B.答案

B方法總結研究函數的零點個數問題時,若解方程不易求解或者遇到超

越方程時,應優先考慮數形結合.例

(2020天津第二十五中學模擬,9)已知函數f(x)=

則方程f[f(x)]=3的實數根的個數是

()A.6

B.3

C.4

D.5解析畫出函數f(x)=

的圖象,令t=f(x),易知f(t)=3有兩解t1∈(0,1),t2∈(1,+∞),則t1=f(x),t2=f(x)分別有3個解,2個解,故方程f[f(x)]=3的實數

根的個數是3+2=5.故選D.答案

D考法二函數零點性質的應用例3(1)已知函數f(x)=2x+x,g(x)=x-lo

x,h(x)=log2x-

(0<x<10)的零點分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系是

()A.x1>x2>x3

B.x2>x1>x3C.x1>x3>x2

D.x3>x2>x1(2)已知函數f(x)=

函數g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函數y=f(x)-g(x)恰有4個零點,則b的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

(3)設函數f(x)=

若f(x)恰有2個零點,則實數a的取值范圍是

.解題導引(1)分別作出函數y=2x,y=-x,y=x,y=lo

x,y=log2x,y=

的圖象,結合圖象確定x1,x2,x3的大小關系.(2)(3)根據題意,對a進行分類討論,根據零點個數確定實數a的取值范圍.解析(1)由f(x)=2x+x=0,g(x)=x-lo

x=0,h(x)=log2x-

=0得2x=-x,x=lo

x,log2x=

.在坐標系中分別作出y=2x,y=-x,y=x,y=lo

x,y=log2x,y=

的圖象,如圖.

由圖可知x1<x2<x3.(2)f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x),函數y=f(x)-g(x)有4個零點,可轉化為直線y=b

與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個不同的交點.又y=f(x)+f(2-x)=

在同一直角坐標系中分別畫出直線y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象(如圖),可得

<b<2,故選D.(3)若a>0,當x<1,f(x)=2x-a恰有一個零點log2a時,有

解得

≤a<1;當x<1,f(x)=2x-a無零點時,有

解得a≥2.若a≤0,當x<1時,f(x)無零點;當x≥1時,由題意知應恰有兩個零點,所以

無解.綜上,

≤a<1或a≥2.答案(1)D(2)D(3)

≤a<1或a≥2方法總結零點性質的應用已知函數有零點(方程有根)求參數的值或取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組),再通過解不等

式(組)確定參數范圍;(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數最值問題加以解決;(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖

象,然后數形結合進行求解.經典例題以下為教師用書專用例

(2020天津南開一模,9)已知函數f(x)=

若方程f(x)=ax有4個不同的實數根,則實數a的取值范圍是

()A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(0,1]

D.(1,+∞)解析由題意知x=0滿足方程f(x)=ax,當x<0時,只需

=a有一個負根,即x=

<0,解得0<a<1,當x>0時,只需x2-(a+1)x+a=0有兩個正根,方程可化為(x-1)(x-a)=0,故兩根為1,a,∴a>0且a≠1.綜上可知,當0<a<1時,方程f(x)=ax有4個不同的實數根.故選B.答案

B思路分析顯然x=0滿足方程f(x)=ax,然后當x≠0時,確定a=

=

有3個實根,顯然在x<0時,

=a有一個負根,在x>0時,x2-(a+1)x+2a=a有兩個正根,進一步求解即可.例

(2020陜西商洛模擬,11)已知函數f(x)=

若關于x的方程2f

2(x)-(2m+1)f(x)+m=0恰有3個不同的實根,則m的取值范圍為

()A.(1,2)

B.[2,5)∪{1}C.