第1講排列、組合與二項式定理計數原理、排列、組合問題1.將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有()(A)12種 (B)10種 (C)9種 (D)8種2.計劃展出10幅不同的畫,畫、4幅油畫、5幅國畫,排成一列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的排列方式的種數有()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE3.從6本不同的書中選出4本,分別發給4個同學,已知其中兩本書不能發給甲同學,則不同分配方法有()(A)180 (B)220 (C)240 (D)2604.用0,1,…,9十個數字,可以組成有重復數字的三位數的個數為()(A)243 (B)252 (C)261 (D)2795.如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D4塊區域分開,若相鄰區域不能涂同一種顏色,則涂色方法共有種(用數字作答).

6.有4名優秀學生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所學校,每所學校至少去一名,則不同的保送方案共有種.

7.在運動會百米決賽上,8名男00米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數號跑道上,則安排這8名運動員比賽的方式共有種.

二項式定理的應用8.在(x-QUOTE)5的二項展開式中,x2的系數為()(A)40 (B)-40 (C)80 (D)-809.若二項式(x3-QUOTE)n(n∈N*),展開式中含有常數項,則n的最小值為()(A)7 (B)6 (C)5 (D)410.已知關于x的二項式(QUOTE+QUOTE)n展開式的二項式系數之和為32,常數項為80,則a的值為()(A)1 (B)±1 (C)2 (D)±211.在二項式(x2+QUOTE)n的展開式中,所有二項式系數的和是32,則展開式中各項系數的和為()(A)32 (B)-32 (C)0 (D)112.(2022皖南八校三聯)(QUOTE+QUOTE)n的展開式中第五項和第六項的二項式系數最大,則第四項為.

13.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,則a2+a4+…+a12=.

14.若(x2+ax+1)6(a>0)的展開式中x2的系數是66,則QUOTEsinxdx的值為.

一、選擇題1.從8名女生和4名男生中,抽取3名學生參加某檔電視節目,如果按性別比例分層抽樣,則不同的抽取方法數為()(A)224 (B)112 (C)56 (D)282.從0,2中選一個數字,從1,3,5中選兩個數字,組成無重復數字的三位數,其中奇數的個數為()(A)24 (B)18 (C)12 (D)6位同學從甲、乙、丙3門課程中各選修1門,則恰有2人選修課程甲的不同選法有()(A)12種 (B)24種 (C)30種 (D)36種4.(2022湖北卷)若二項式(2x+QUOTE)7的展開式中QUOTE的系數是84,則實數a等于()(A)2 (B)QUOTE (C)1 (D)QUOTE5.設a∈Z,且0≤a<13,若512022+a能被13整除,則a等于()(A)0 (B)1 (C)11 (D)126.在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于()(A)45 (B)60 (C)120(D)2107.從某班成員分別為3人,3人和4人的三個學習小組中選派4人組成一個環保宣傳小組,則每個學習小組都至少有1人的選派方法種數是()(A)130 (B)128 (C)126 (D)1248.若(ax+QUOTE)6展開式的所有項系數之和為64,則展開式的常數項為()(A)10或-270 (B)10(C)20或-540 (D)209.某公司新招分給下屬的甲、乙兩個部門,其中兩名英語翻譯人員不能分給同一部門;另三名電腦編程人員不能都分給同一個部門,則不同的分配方案種數是()(A)6 (B)12 (C)24 (D)3610.(2022河北滄州4月質檢)(x-1)(QUOTE+x)6的展開式中的一次項系數是()(A)5 (B)14 (C)20 (D)3511.將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通,每個路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()(A)18種 (B)24種 (C)36種 (D)72種.12.設函數f(x)=(2x+a)n,其中n=6QUOTEcosxdx,QUOTE=-12,則f(x)的展開式中x4的系數為()(A)-240 (B)240 (C)-60 (D)6013.已知(ax+1)5的展開式中x2的系數與(x+QUOTE)4的展開式中x3的系數相等,則a=.

位同學排隊,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相鄰,且女生甲不能排在排頭,則排法種數為.

15.若(QUOTE-QUOTE)n展開式的各項系數的絕對值之和為1024,則展開式中x的系數為.

16.現有四種不同顏色的的四個不同區域染色,每個區域只染一種顏色,相鄰區域涂不同的顏色,若同一種顏色可重復使用,則共有種不同的染色方法(用數字作答).

答案1解析:分兩步:第一步,選派一名教師到甲地,另一名到乙地,共有QUOTE=2(種)選派方法;第二步,選派兩名學生到甲地,另外兩名到乙地,共有QUOTE=6(種)選派方法.由分步乘法計數原理,不同選派方案共有2×6=12(種).2D解析:先把3個品種的畫看成整體,而水彩畫受限制應優先考慮,不能放在頭尾,油畫與國畫有QUOTE種放法,再考慮國畫與油畫本身又可以全排列,故排列的方法有QUOTE種.3C解析:先從其他四本不同的書中選一本發給甲同學,有QUOTE種;再從剩下的五本不同的書中選三本發給其他3個同學,有QUOTE種;則不同分配方法有QUOTE=240種.4B解析:由0,1,…,9十個數字共可組成三位數個數為QUOTE=900,其中無重復數字的三位數有QUOTE=648(個),則符合題意的三位數個數為900-648=252.故選B.5解析:從A開始涂色,A有6種涂5種涂色方法,C有4種涂色方法,D若與A顏色相同有1種涂色方法,否則有3種涂色方法.共有6×5×4×(1+3)=480種涂色方法.答案:4806解析:先把4名學生分為2,1,1的3組,有QUOTE=6種分法,再將這3組分配到3所學校,有QUOTE=6種情況,則共有6×6=36種不同的保送方案.答案:367解析:分兩步安排這8名運動員.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四條跑道可安排.所以安排方式有QUOTE=4×3×2=24種.第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一條奇數號跑道安排,所以安排方式有QUOTE=5×4×3×2×1=120種.故安排這8人的方式有24×120=2880種.答案:28808解析:(x-QUOTE)5的展開式的通項為QUOTE=QUOTEx5-r(-QUOTE)r=(-2)rQUOTE,令5-QUOTE=2,得r=2,故展開式中x2的系數是(-2)2QUOTE=40,故選A.9解析:根據題意,得Tr+1=QUOTEx3(n-r)(-QUOTE)r=QUOTE,令6n-7r=0,得n=QUOTE,故n的最小值為7,故選A.10解析:根據題意,該二項式的展開式的二項式系數之和為32,則有2n=32,可得n=5,則二項式的展開式的通項公式為Tr+1=QUOTE(QUOTE)5-r(QUOTE)r=QUOTEarQUOTE令15-5r=0得r=3,由題意有QUOTEa3=80,解可得a=2;故選C.11解析:依題意得所有二項式系數的和為2n=32,解得n=5.因此,令x=1,則該二項展開式中的各項系數的和等于(12+QUOTE)5=32,故選A.12解析:由已知條件第五項和第六項二項式系數最大,得n=9,(QUOTE+QUOTE)9展開式的第四項為T4=QUOTE·(QUOTE)6·(QUOTE)3=QUOTE.答案:QUOTE13解析:令x=1,則a0+a1+a2+…+a12=36,令x=-1,則a0-a1+a2-…+a12=1,所以a0+a2+a4+…+a12=QUOTE.令x=0,則a0=1,所以a2+a4+…+a12=QUOTE-1=364.答案:36414解析:由題意可得(x2+ax+1)6的展開式中x2的系數為QUOTE+QUOTEa2故QUOTE+QUOTEa2=66,所以a=2或a=-2(舍去).故QUOTEsinxdx=QUOTEsinxdx=(-cosx)QUOTE=1-cos2.1B解析:根據分層抽樣,從12個人中抽取男生1人,女生2人;所以取2名女生1名男生的方法數為QUOTE=112.2B解析:依該數三個數位數字的奇偶性可分為兩種情況:(1)奇偶奇;(2)偶奇奇.對于(1),有QUOTE=12個數,對于(2)有QUOTE·QUOTE=6個數.滿足條件的數共有12+6=18個.故選B.3B解析:分三步,第一步先從4位同學中選2人選修課程甲.共有QUOTE種不同選法,第二步第3位同學選課程,有2種選法.第三步第4位同學選課程,也有2種不同選法.故共有QUOTE×2×2=24(種).4解析:Tk+1=QUOTE(2x)7-k(QUOTE)k=QUOTE27-kakx7-2k,令7-2k=-3,得k=5,即T5+1=QUOTE22a5x-3=84x-3,解得a=1.故選C.5解析:512022+a=a+(1-13×4)2022=a+1-QUOTE(13×4)+QUOTE(13×4)2+…+QUOTE(13×4)2022,顯然當a+1=13,即a=12時,512022+a=13+13×4[-QUOTE+QUOTE(13×4)1+…+QUOTE(13×4)2022],能被13整除.故a=12.6解析:因為f(m,n)=QUOTE,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=120.7解析:每個小組至少1人,則等價為有一個小組選派2人,其余兩個小組各1人,則共有QUOTE+QUOTE+QUOTE=36+36+54=126,選C.8解析:由(ax+QUOTE)6展開式的所有項系數之和為64,知(a+1)6=64,解得a=1或a=-3,當a=1時,由Tr+1=QUOTE·x6-r·x-r=QUOTE·x6-2r,令6-2r=0,得r=3,展開式的常數項為QUOTE=20;當a=-3時,由Tr+1=QUOTE·(-3)6-r·x6-r·x-r=QUOTE·(-3)6-r·x6-2r,令6-2r=0,得r=3,展開式的常數項為(-3)3·QUOTE=-540.9解析:先安排兩名英語翻譯,有QUOTE種辦法;然后從三名電腦編程人員選出兩名安排在同一部門,QUOTE種辦法,因此,滿足條件的不同分配方案種數是QUOTE·QUOTE·QUOTE=2×3×2=12.10解析:(QUOTE+x)6中展開式的通項為Tr+1=QUOTE(QUOTE)6-rxr=QUOTEx2r-6,令2r-6=0,得r=3,此時展開式中的常數項為20,令2r-6=1,無整數解,故(QUOTE+x)6的展開式中無一次項.故(x-1)(QUOTE+x)6的展開式中的一次項系數是20.11解析:先分組:(1)一路口3人,另兩路口各1人,因為甲、乙在同一路口,則共有QUOTE=3(種);(2)兩路口2人,一路口1人,因為甲、乙在同一路口,則共有QUOTE=3(種).再排列,所有的分配方案共有(QUOTE+QUOTE)QUOTE=36(種)12解析:根據題意,n=6QUOTEcosxdx=6sinxQUOTE=6(sinQUOTE-sin0)=6,故n=6,所以f(x)=(2x+a)6,從而得到f′(x)=6(2x+a)5×2=12(2x+a)5,f′(0)=12a5,f(0)=a6,故QUOTE=QUOTE=QUOTE=-12,解得a=-1,故f(x)=(2x-1)6,f(x)的展開式的通項公式Tr+1=QUOTE(2x)r(-1)6-r,T4+1=QUOTE(2x)4(-1)6-4=240x4,故選B.13解析:由二項式定理知:(ax+1)5的展