●備課資料一、指數函數與對數函數比較表名稱一般形式定義域值域函數值變化情況單一性圖象

指數函數對數函數y=ax(a＞0,a≠1)y=logax(a＞0,a≠1)（－∞,+∞）(0,+∞)（0，+∞）(－∞,+∞)當＞1時當＞1時aa1(x0)0(x1)1(x0)xlogax0(x1)a1(x0)0(x1)當0＜＜1時當0＜＜1時aa1(x0)0(x1)1(x0)xlogx0(x1)aa1(x0)0(x1)當a＞1時，ax是增函數當a＞1時，logax是增函數x當0＜a＜1時，logx是減函數aaaxy=logx的圖象對于直線y=x對稱ya的圖象與a二、參照例題［例1］（1）函數y=lg(x2－3x+2)的定義域為F，y=lg(x－1)+lg(x－2)的定義域為G，那么A.F∩G=B.F=GC.FGD.GF解：由x2－3x+2＞0,得(x－1)(x－2)＞0∴F=(－∞,1)∪(2,+∞)由x10x20

得x＞2G=(2,+∞),∴GF答案：D(2)假如x＞1,a=log1x,那么2A.a2＞2a＞aB.2a＞a＞a2C.a2＞a＞2aD.a＞2a＞a2解法一：由y=log1x的圖象知：2當x＞1時，y＜0,即a＜02∴有a＞a＞2a.解法二：∵x＞1，可令x=2，得a=－1,a2=1,2a=－2∵1＞－1＞－2,∴a2＞a＞2a.答案：C評論：解法二采納了特值代入法，應提示學生在做選擇題注意這類方法的應用.［例2］設loga2＜1，則實數a的取值范圍是3A.0＜a＜2B.2＜a＜133C.0＜a＜2或a＞1D.a＞233解：由loga2＜1=logaa得3當0＜a＜1時，由y=logax是減函數，得：0＜a＜23當a＞1時，由y=logax是增函數，得：a＞2,∴a＞13綜合（1）(2)得：0＜a＜2或a＞13答案：C［例3］設0＜x＜1,a＞0且a≠1,試比較|loga(1－x)|與|loga(1+x)|的大小解法一：作差法|loga(1－x)|－|loga(1+x)|=|lg(1x)|－|lg(1x)|lgalga=1(|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)|lga|0＜x＜1,∴0＜1－x＜1＜1+x∴上式=－1|lga|

[（lg(1－x)+lg(1+x)]=－12|lga|·lg(1－x)由0＜x＜1，得，lg(121·lg(12)＞0，－x)＜0，∴－|lga|－x∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|解法二：作商法|loga(1x)|=|log(1－x)(1+x)||loga(1x)|0＜x＜1,∴0＜1－x＜1+x∴|log(1－x)(1+x)|=－log(1－x)(1+x)=log1(1－x)1x由0＜x＜1,∴1+x＞1,0＜1－x2＜1∴0＜(1－x)(1+x)＜1,1∴＞1－x＞01x1＜log(1－x)(1－x)=1∴0＜log(1－x)x|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|解法三：平方后比較大小∵log2（1－x）－log2(1－x)+log(1+x)][logaa(1+x)=[logaaa（1－x）－loga(1+x)]=loga(1－x2)·loga1x1x=1·lg(1－x2)·lg1x|lg2a|1x∵0＜x＜1,∴0＜1－x2＜1,0＜1x＜11x＜01x∴lg(1－x2)＜0,lg1x22(1+x)∴loga(1－x)＞loga即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|解法四：分類議論去掉絕對值當a＞1時，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|=－loga(1－x)－loga(1+x)=－loga(1－x2)∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1loga(1－x2)＜0,∴－loga(1－x2)＞0當0＜a＜1時，由0＜x＜1,則有loga（1－x）＞0,loga(1+x)＜0∴

|log

a(1

－x)|

－

|log

a(1+x)|=|log

a(1

－x)+log

a(1+

x)|=log

a(1－x2)＞0∴當

a＞0

且

a≠1

時，總有

|log

a（1－x）|

＞|log

a(1+

x)|●備課資料一、參照例題［例1］（1995年全國）已知y=loga(2－ax)在區間{0，1}上是x的減函數，求a的取值范圍.解：先求函數定義域：由2－ax＞0,得ax＜2又a是對數的底數，∴a＞0且a≠1,∴x＜2a2＞1,由遞減區間[0，1]應在定義域內可得a∴a＜2又2－ax在x∈[0，1]是減函數y=loga(2－ax)在區間[0，1]也是減函數，由復合函數單一性可知：a＞11＜a＜2二、參照練習題已知f(x)=loga(ax－1)(a＞0且a≠1)(1)求f(x)的定義域；（2）議論f(x)的增減性；（3）當a取何值時，圖象在y軸的左邊？解：（1）當a＞1時，定義域為（0，+∞）x當0＜a＜1時，由a－1＞0可知，定義域為（－∞，0）（2）設f(x)=logau,u=ax－1當a＞1時，x∈(0,+∞)，u=ax－1是增函數，y=logau也是增函數由復合函數的單一性可知：f(x)在（0，+∞）上為增函數當0＜a＜1時，x∈(－∞，0)，u=ax－1是減函數，y=logau也是減函數由復合函數的單一性可知：f(x)在（－∞，0）上為增函數3）由圖象在y軸的左邊可得：當x＜0時，ax－1＞0，解得0＜a＜1已知函數f(x)=lg[（a2－1）x2+(a+1)x+1],若f(x)的定義域為R，務實數a的取值范圍.22解：依題意(a－1)x+(a+1)x+1＞0對全部x∈R恒建立.解得a＜－1或a＞53又a=－1，f(x)=0知足題意，a=1,不合題意.因此a的取值范圍是：（－∞,－1]∪（5，+∞）33.已知函數f(x)=lg[(a2－1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的值域為R,務實數a的取值范圍.解：依題意，只需t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到（0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R.當a2－1≠0時，其充要條件是：a210解得1＜a≤503又當a2－1=0時，a=1,t=2x+1切合題意a=－1不合題意，因此1≤a≤53●備課資料怎樣比較對數值的大小利用函數的單一性一般可依據這些數的特色，追求某個函數作為模型，而后將各數一致到這個模型中，利用函數單一性比出大小.［例1］比較以下兩數的大小：33(log13)5與(log1)5223解：∵y=x5是奇函數，且在（0，+∞）上為減函數3∴y=x5

在（－∞,0）上也是減函數又因為log1log1302233∴(log13)5(log1)5222.作差法［例2］已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2，比較f(x)與g(x)的大小解：易知f(x),g(x)的定義域均是：（0，1）∪（1，+∞），f(x)g(x)=1+logx3－2logx2=logx(3x).4①當x＞1時，若3x＞1,則x＞4,這時f(x)＞g(x).43若3x＜1,則1＜x＜4,這時f(x)＜g(x)43②當0＜x＜1時，0＜3＜1,logx3x＞0,這時f(x)＞g(x)4x4故由（1）（2）可知：當x∈(0,1)∪（4，+∞）時，f(x)＞g(x)3當x∈（1，4）時，f(x)＜g(x)3利用“中間量”比較大?。劾?］三個數60.7,0.76,log0.76的大小次序是6＜log0.76＜60.76＜60.7＜log0.76C.log0.76＜60.7＜0.76D.log0.76＜0.76＜60.7解：因為60.7＞1,0＜0.76＜1，log0.76＜0由此剖析，可得答案。答案：D用圖象法比較［例4］a、b是不等于1的正數，且ab,議論logac與logbc(c＞0)的大小.解：（1）若a＞b＞1,畫出y=logax與y=logbx的圖象，如右圖，由圖察看得：當c=1時，logac=logbc;當c＞1時，logac＜logbc;當0＜c＜1時，logac＞logbc.(2)若0＜b＜a＜1,畫出y=log