彖j匚人孽秦皇島分校NorthEasternUniversityAtQinHuangDaoMatlab軟件實習論文非線性方程求根系別信息與計算科學專業信息與計算科學學號姓名指導教師2008年8月10日?*非線性方程求根摘要隨著科學技術，生產力經濟的發展，在科學與工程計算中存在著大量方程求根問題，例如貸款購房問題，工廠的最佳訂貨問題等都需要求解一類非線性方程的根，而本文就針對這些求根問題提出了解決方案，本文利用牛頓迭代法來結決方程的求根問題.首先根據實際問題列出數學模型，確定變量，給出各個條件及相關函數；然后對建立的模型進行具體分析和研究，選擇合適的求解方法；編寫函數的程序，用計算機求出方程的解，通過所求解分析具體情況.關鍵詞：非線性方程，牛頓迭代法，Matlab?*目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要I\o"CurrentDocument"1緒論11.1非線性方程求根的背景11.2非線性方程求根的目的：11.3非線性方程求根的內容：1\o"CurrentDocument"2牛頓迭代法的實現及應用32.1Newton迭代法具體例子的實現32.2應用牛頓法解決購房貸款利率問題42.3應用牛頓迭代法計算最佳訂貨量6\o"CurrentDocument"結論8\o"CurrentDocument"參考文獻9o1緒論1.1非線性方程求根的背景隨著社會的進步，科學技術的快速發展，各種工程等也如雨后春筍一般破土而出，對我們的日常生活產生了巨大的影響如天氣預報、石油的勘探、地質災害的預報等.牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種求解方程f3)=0.多數方程不存在求根公式，從而求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.而在各種科學和工程計算中往往要用到非線性方程組的求解，而牛頓法又是最基礎的迭代法，在各種計算力學、控制工程等領域中發揮了不可代替的作用.而在數值計算中，非線性方程組的求解同樣具有重要意義.隨著計算機技術的成熟和高速發展，對于非線性方程求根問題出現了大量的數學軟件(如MATLAB,Matheamatica,Maple,SAS,SPSSD等)，計算機已經成為工程師應用數學解決工程問題的主要運算工具.同時，工程專業的學生對數學教育的需求重點正在從手工演繹和運算能力的培養轉變到結合計算機軟件進行建模、求解和論證能力的培養用.本文采用Matlab作為軟件平臺，介紹了非線性方程求根的內容.1.2非線性方程求根的目的為了推動科學的進步，能夠很簡便的完成各種工程計算，非線性方程組的求解方法以其獨有的方法解決了各種計算，為今天以及將來的應用打下了堅實的基礎.非線性方程組的求解正是為了這個目的才廣泛被人們應用，此文也將給出非線性方程組求解的實際應用.1.3非線性方程求根的內容解非線性方程f⑴=0的主要算法是迭代法，如fsolve、二分法、牛頓迭代法等.迭代法是從已知的解的初始近似值七(簡稱初值)開始，利用某種迭代格式x=g3)求得一近似值序列x,x,,x,x,逐步逼近于所求的解a稱為不動點).這一方12kk+1法是否成功取決于三個因素，.首先x=g(x)應與f(x)=0同解，其次初值x0的選取是否合適，一般要與真解靠近，最后也是最關鍵的是迭代序列是否收斂，為了保證收斂性，在真解附近應有Ig。)1<1否則迭代序列可能發散.最基本的迭代法是Newton迭代法，其迭代格式為x=x一*.Skf，(x)k從幾何上說xk+1為用f(x)在氣出切線代替f(x)求得的解，所以也稱為切線法，當初值xo與真值a足夠靠近，Newton迭代法收斂.對于單根，Newton法收斂速度很快;對于重根，收斂較慢.牛頓迭代法的大概算法為:給定初始值x0，e為根的容許誤差，門為|f(x)的容許誤差，N為迭代次數的容許值.如果f'(x)=0或迭代次數大于N，則算法失敗，結束；否則執行②0計算xi=xo_%■3°)若x-x°|<e或|f(氣)|〈「則輸出％，程序結束；否則執行④令x°=氣，轉向①下面給出了Newton迭代法的計算程序.functionx=newton(fname,dfname,x0,e)%用途：Newton迭代法解非線性方程f(x)=0%格式：x=nanewton(fname,dfname,x0,e)x返回數值解，%fname和dfname分別表示f(x)及其導函數%F(x),x0為迭代初值，e精度要求(默認為1e-4)ifnargin<4,e=1e-4;%精度默認為1e-4endx=x0;x0=x+2*e;%使while成立，進入while后x0得到賦值whileabs(x0-x)>ex0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);end?2牛頓迭代法的實現及應用2.1Newton迭代法具體例子的實現用Newton迭代法解方程f(x)=x3+x2-3x-3=0在1.5附近的根.解：當x>2時，f(x)>0,f(x)>0,即f(x)恒正，所以根在［0,2］.我們先用圖解法找初值，在用Newton法程序newton.m求解.fun=inline('xA3+xA2-3*x-3');fplot(fun,[0,2]);gridon;圖2.1f(x)的函數圖像由圖可知方程有唯一正根在［1.6,1.8］之間，我們取初值1.5代入Newton程序中.dfun=inline('3*xA2+2*x-3');formatlong;newton(fun,dfun,1.5,1e-4);formatshort;ans=1.73205080756888而用Matlab本身的函數fzero求出來的結果為：formatlong;fzero(inline('xA3+xA2-3*x-3'),1.5);formatshortans=1.73205080756888下面用牛頓迭代法解決一些實際問題2.2應用牛頓法解決購房貸款利率問題住房是居民消費的一個主要部分，大部分人選擇銀行按揭貸款，然后在若干年內逐月分期還款.如果你借了10萬，還款額一定超過10萬.月的欠款數，a為月還款，r為月利率.設貸款總額為％，貸款期限為N個月，采取逐月等額方式償還本息.若七為第化個我們得到些列迭代關系式xk+1那么二(1+r)x-a,-(1+r)x-akk-1月的欠款數，a為月還款，r為月利率.xk+1那么=(1+r2)x-(1+ra-a=k-2=(1+r)2x-a[1+(1+r)++(1+r)k-1]0=(1+rk)x-a[+1k-)r1]/由此可以得到月還款計算公式0…(1+r)nxa—9-(1+r)n-1下面是《新民晚報》2000年3月30日第七版上的一則房產廣告：表2.1房產廣告建筑面積總價30%首付70%按揭月還款85.98m236萬10.8萬30年1436元不難算出，你向銀行總共借了25.2萬，30年內共要還51.96萬，約為當初借款的兩倍.這個案例中的貸款年利率是多少呢？我們根據a—0.1436,%=25.2,N—360,由以上a的求解公式得到：?25.2r(1+r)360-0.1436[(1+r)360-1]=0.我們令f(r)=25.2r(1+r)360-0.1436[(1+r)360-1],則次問題就轉化成非線性方程求根的問題，令f(r)=0,求出r.我們先用Newton函數求解.在Matlab中輸入如下程序：常識上，r應比當時活期存款月利率略高一些.我們用當時的活期存款月利率0.0198/2作為迭代初值，為了剔除r=0這個沒有意義的根，我們對八r)稍作變形：clear;fun=inline('25.2*(1+r)A360/0.1436-((1+r)A360-1)/r','r')fun=Inlinefunction:fun(r)=25.2*(1+r)A360/0.1436-((1+r)A360-1)/rdfun=inline('25.2*360*(1+r)A359/0.1436-(360*(1+r)A359*r-((1+r)A360-1))/(rA2)');r=newton(fun,dfun,0.0198/2,1e-4);R=12*r然后求得結果：R=0.0553于是得出年利率為5.53%.下面我們用Matlab中的fzero函數檢驗一下：clear;fun=inline('25.2*(1+r)A360-((1+r)A360-1)/r*0.1436','r')fun=Inlinefunction:fun(r)=25.2*(1+r)A360-((1+r)A360-1)/r*0.1436r=fzero(fun,0.0198/2);R=12*r0.0553?'結果相同，可見牛頓迭代法的正確性.2.3應用牛頓迭代法計算最佳訂貨量汽車工廠為了保證生產的正常運作，配件供應一定要由保障.這些配件并不是在市場上隨時可以買到的，所以往往要預先從配件供應商那里定貨.由于配件供應商并不是生產單一產品，為你的定貨必須要在流水線上作出調整，所以每次定貨需要收取一定量的生產準備費.配件供應商的生產能力很大，開工后很快可以生產許多配件，但是你的汽車工廠并不是立即需要這么多，往往要在倉庫里儲存一段時間，為此你要付出儲存費.如果訂貨量很小，必然需要頻繁定貨，造成生產準備費的增加；反之，若訂貨量很大，定貨周期必然延長，生產準備費下降，但這樣會造成儲存費的增加.如何確定合適的訂貨量？實踐中，這是一個相當復雜的問題，因為市場波動的影響是多方面的.我們先作一些必要的假設將問題簡化.汽車工廠對配件的日需量是恒定的，每日為,件；所訂配件按時一次性交貨，生產準備費每次ki元；儲存費按當日實際儲存量計算，儲存費每日每件k2元；你的工廠不許缺貨.設一次定貨X件，由于工廠不允許缺貨，而為了節省存儲費，交貨日期應定為恰好用完時，所以定貨日期TOC\o"1-5"\h\zT=x/r.(1)由于日需求量是恒定的，可以計算出第，天的存儲量為q(t)=X-rt,0<t<T.(2)由于第t天的儲存費為k2q(t)，一個周期的總儲存費為kEq(t)^kjTq(t)d.(3)220tt-1根據(1)，(2)，(3)得到一個周期總費用一X2C(x)=k+k—,優化目標是使單位產品費用C(x)kkx

f(x)rr+方，達到最小.由f'(x)=0即-k+土=o,

x22r可直接解得x=：2!二.這就是著名的經濟批量定貨公式.Y2當我們給出具體值時，非線性方程就可以求解了，由于具體的值不定，在此就不給出具體程序了.結論通過以上的論述我們可以知道計算機在現代生活中的應用已經如此普及，尤其是在數學計算當中，Matlab軟件更是發揮了不可替代的作用.Matlab以其強大的功能，方便了當今數值計算，數學教程，及工程計算等眾多領域.本文在以Matlab軟件為平臺的基礎上，給出了非線性方程的一般解法，非線性方程的求解有二分法，牛頓迭代法，簡單牛頓法，牛頓下山法，弦截法，拋物線法等.二分法的優點是算法簡單，且總是收斂的，但由于二分法的收斂速度太慢，故一般不單獨將其用于求根，只用其為根求得一個較好的近似值園.其他的求根方法各有優缺點，這里就不一一贅述.本文主要介紹了牛頓迭代法及其在現實生活中的應用.牛頓迭代法為平方收斂，故其收斂速度較快，但對初值的選取需要謹慎，如果初值選取錯誤，則可能導致方程迭代發散，最終不能求解出正確解.在計算一些對精度要求特別苛刻時，最好給出較高的精度輸入及輸出，防止因為精度問題導致誤差過大，最終影響結果.牛頓迭代法可以應用于分形理論.分形理論是近二、三十年才發展起來的一門新的學科，其主要描述自然界和非線性系統中不光滑和不規則的幾何形體.在地質、材料科學、物理學、計算機科學、藝術設計等方面有著十分廣闊的應用前景.利用牛頓迭代的數學原理和方法,實現牛頓迭代法的分形圖形