材料科學基礎第章晶體學基礎

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1.1晶體的周期性和空間點陣

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1.2布拉菲點陣●

1.3晶向指數與晶面指數●

1.4晶面間距、晶面夾角和晶帶定理●1.5晶體的對稱性

●1.6極射投影11.1晶體的周期性和空間點陣

●1.1.1晶體與晶體學

●1.1.2晶體點陣和空間點陣1.2布拉菲點陣

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1.2布拉菲點陣1.3晶向指數與晶面指數

●

1.3.1密勒指數

●1.3.2晶向

●1.3.3晶面●

1.3.4六方晶系的晶向指數與晶面指數1.4晶面間距、晶面夾角和晶帶定理

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1.4.1晶面間距●

1.4.2晶面夾角●

1.4.3晶帶定理1.5晶體的對稱性

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1.5.1晶體對稱性的定義

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1.5.2宏觀對稱變換

●1.5.332種點群

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1.5.4微觀對稱元素

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1.5.5空間群

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1.5.6結構通報符號1.6極射投影

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1.6.1晶體投影的意義

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1.6.2參考球(ReferenceSphere)和極射投影●

1.6.3吳氏網(Wulffnet)●

1.6.4晶帶的極射赤面投影

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1.6.5晶體的標準投影圖

●為什么要學習晶體結構？

●什么是晶體？晶體有何特點？

●什么是晶體學？

●什么是晶體結構與空間點陣？

●什么是布拉菲點陣？

●描述晶體點陣結構的晶面指數和晶向指數是如何建立的？●什么是晶帶定理？●

1.1.1晶體與晶體學(CrystalandCrystallography)

人類使用的材料中大多為晶態(Crystalline)，包括單晶、多晶、微晶和液晶等。那么什么是晶體？晶體有何特點？

CaF2

MoS2

閃鋅礦金剛石Nacl水晶高分辨率電鏡－HighResolutionElectronMicroscopy(HREM)

Thesurfaceofagoldspecimen,wastakenwithaatomicforcemicroscope(AFM).Individualatomsforthis(111)crystallographicsurfaceplaneareresolved.

晶體與非晶體晶體:其原子排列是有序的,即原子按某種特定方式在三維空間內周期性地規則重復排列(長程有序)非晶體:其內部原子排列是無序的(短程有序).長程有序與短程有序有無銳利的衍射峰:(布拉格定律)2dsinθ=nλ●一、晶體的特點

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1、規則凸多面體外形；

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2、各向異性；

彈性模量/MPa抗拉強度/MPa延伸率/％最大最小最大最小最大最小Cu191000667003461285510α-Fe2930001250002251588020●

3、固定的熔點，如水晶1700℃；●

4、最小內能和最大穩定性；●5、普遍性；

半導體材料、薄膜材料、光學晶體、金屬材料、陶瓷材料……●6、均一性:指晶體在任一部位上都具有相同性質的●

7、對稱性:指晶體的物理化學性質能夠在不同方向或位置上有規律地出現,也稱周期性.晶體的周期性：整個晶體可看作由結點沿三個不同的方向按一定間距重復出現形成的，結點間的距離稱為該方向上晶體的周期。同一晶體不同方向的周期不一定相同?？梢詮木w中取出一個單元，表示晶體結構的特征。取出的最小晶格單元稱為晶胞。晶胞是從晶體結構中取出來的反映晶體周期性和對稱性的重復單元?！穸?、晶體學晶體學是一門研究晶體的自然科學。研究內容：

●晶體的成核與生長過程；●晶體的外部形態和內部結構；

●實際晶體結構與其物理性質的相互關系等。應用廣泛：

●化學

●物理學

●冶金學

●材料科學

●分子生物學

●固體電子學等●

1.1.2晶體結構與空間點陣(crystalstructureandspacelattice)

●一、晶體結構結構基元(分子、原子、離子、原子團)＋結合鍵結合在三維空間作有規律的周期性的重復排列方式。晶體結構種類繁多，可以借助x射線衍射等方法測定。Thisphotographshowsadiffractionpatternproducedforasinglecrystalofgalliumarsenideusingatransmissionelectronmicroscope（TEM）.Thebrightestspotnearthecenterisproducedbytheincidentelectronbeam,whichisparalleltoa[110]crystallographicdirection.Eachoftheotherwhitespotsresultsfromanelectronbeamthatisdiffractedbyaspecificsetofcrystallographicplanes.

●二、空間點陣空間點陣：將晶體中的原子抽象為一些幾何點，每個點代表原子的中心或是原子的振動中心，這些幾何點的空間簡稱為點陣。晶格、陣點或結點陣點是構成空間點陣的基本要素，它的排列具有嚴格的周期性，因此每個陣點都具有完全相同的周圍環境，這是空間點陣的一個重要特點。結構基元、排列規則、周期性實際晶體結構繁多結構基元:

指通過一定結合鍵組成某一種晶體的分子、原子、離子、原子集團等等同點:

在晶體結構中占有相同幾何位置，且具有相同物質環境的點都稱其為等同點。在同一晶體中可以找出無窮多類等同點，但每一類等同點集合而成的圖形都呈現如右圖所示的相同圖形。

金剛石金剛石中同是碳原子由于其幾何環境不同而產生的兩類等同點空間點陣+結構基元→晶體結構晶體點陣概念：幾種晶體點陣的平面圖(a、b、c)和它們的空間點陣(d)幾種晶體結構及其空間點陣與結構基元：g－Fe幾種晶體結構及其空間點陣與結構基元：金剛石幾種晶體結構及其空間點陣與結構基元：NaCl幾種晶體結構及其空間點陣與結構基元：CaF2幾種晶體結構及其空間點陣與結構基元：ZnS●

1.2布拉菲點陣

●一、單胞(Unitcell)

單胞：在空間點陣中選取的一個具有代表性的基本小單元，這個基本小單元通常是一個平行六面體，整個點陣可以看作是由這樣一個平行六面體在空間堆砌而成晶胞：在單胞的結點位置上放置一個結構基元，則此平行六面體就成為晶體結構中的一個基本單元在實際應用中我們常將單胞與晶胞的概念混淆起來用而沒有加以細致的區分。

●二、選取原則

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１、固體物理選法：體積最小，只反映周期性，不能反映其對稱性，如面心立方點陣：

●

2、晶體學選法，同時反映周期性和對稱性，符合Bravais三原則：

a、能同時反映空間點陣的周期性和對稱性；

b、滿足原則a的前提下，有盡可能多的直角；

c、在滿足原則a和b的前提下體積最小。

●三、點陣常數（晶胞參數,latticeparameters）：

●三棱邊－a，b，c

●三棱邊夾角－α(b-c)，b(c-a)，g(a-b)

●晶格基矢－a，b，c；

順序：右手法則每種點陣都可由其平移獲得。

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四、布拉菲點陣(Bravaislattice)

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1、共14種在“每個陣點的周圍環境相同”的要求下，法國晶體學家布拉菲（A.Bravais）在1848年首先用數學方法證明。

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2、7大晶系(crystalsystems)

晶體根據其對稱程度的高低和對稱特點可以分為七大晶系。

三斜，triclinic單斜，monoclinic立方，cubic菱方（三角），rhombohedral六方（六角），hexagonal正方（四方），tetragonal正交（斜方），orthorhombic●

3、4類點陣按結點在晶胞中的位置分為：

(1)簡單點陣－P，平移矢量a、b、c(2)底心點陣－C，平移矢量a、b、c、(3)體心點陣－I，平移矢量a、b、c、

(4)面心點陣－F，平移矢量a、b、c、、、十四種布拉菲點陣一覽面心正方和體心正方點陣的關系底心正方和簡單正方點陣的關系例：結構對性能的影響－Sn1850inRussia.Thewinterthatyearwasparticularlycold,andrecordlowtemperaturespersistedforextendedperiodsoftime.TheuniformsofsomeRussiansoldiershadtinbuttons,manyofwhichcrumbledduetotheseextremecoldconditions,asdidalsomanyofthetinchurchorganpipes.Thisproblemcametobeknownasthe“tindisease.”思考：●存在雙面心點陣么？●存在有心三斜么？●單斜系只有P單胞和不在棱邊面上的底心單胞，為什么？●正交系中為何所有有心化都可形成新晶系？●四方系中可以有體心么？可以是底心單胞a≠b≠cα=β=90°≠γ同簡單單斜同底心單斜同底心單斜正交系有α=β=γ=90°的限制，而γ并不等于90°四方系a=b≠c，α=β=γ=90°●

1.3晶向指數與晶面指數●

1.3.1密勒（Miller）指數●晶面、晶向的概念●引入晶面和晶向指數的目的●密勒（Miller）指數。晶面和晶向

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１、晶面(latticeorcrystalplanes)

空間點陣中三個不在同一直線的點構成一個平面，一組平行的晶面應當包含點陣所有的陣點。

●２、晶向(latticeorcrystaldirections)

通過兩陣點之間的直線。

●３、定量表示晶面和晶向的意義各向異性，結構分析（需要表征晶體結構內部的不同取向)。

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1.3.2晶向(latticeorcrystaldirectionindices)

晶向指數是按以下幾個步驟確定的：

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1、以晶胞的某一陣點O為原點，三基矢為坐標軸，并以點陣基矢的長度作為三個坐標的單位長度；

●

2、過原點作一直線OP，使其平行于待標定的晶向AB，這一直線必定會通過某些陣點；

●

3、在直線OP上選取距原點O最近的一個陣點P，確定P點的坐標值；

●

4、將此值乘以最小公倍數化為最小整數u、v、w，加上方括號，[uvw]即為AB晶向的晶向指數。

若u、v、w中某一數為負值，則將負號標注在該數的上方。如：晶向指數的確定正交點陣中幾個晶向的晶向指數。

顯然，晶向指數表示的是一組互相平行、方向一致的晶向。若晶體中兩直線相互平行但方向相反，則它們的晶向指數的數字相同，而符號相反。如

和

就是兩個相互平行、方向相反的晶向。

晶向族：晶體中因對稱關系而等同的各組晶向的集合，用<uvw>表示。

例如，對立方晶系來說，[100]、[010]、[001]和

、

、[001]等六個晶向，它們的性質是完全相同的，用符號<100>表示。

注意如果不是立方晶系，改變晶向指數的順序，所表示的晶向可能不是等同的。例如，對于正交晶系[100]、[010]、[001]這三個晶向并不是等同晶向，因為以上三個方向上的原子間距分別為a、b、c，沿著這三個方向，晶體的性質并不相同。確定晶向指數的上述方法，可適用于任何晶系。但對六方晶系，除上述方法之外，常用另一種表示方法，后面還要介紹?！?/p>

1.3.3晶面(latticeorcrystalplaneindices)

晶面指數的確定方法如下：

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1、對晶胞作晶軸X、Y、Z，以晶胞的邊長作為晶軸上的單位長度；

●2、求出待定晶面在三個晶軸上的截距，如該晶面與某軸平行，則截距為∞；

例如1、1、∞，1、1、1，1、1、

等；

●

3、取這些截距數的倒數；

例如1

1

0，1

1

1，1

1

2等；

●

4、將上述倒數化為最小的簡單整數，并加上

圓括號，即表示該晶面的指數，一般記為（hkl）；

例如（110），（111），（112）等。

如上圖中所標出的晶面a1b1c1，相應的截距為、、，其倒數為2、3、，化為簡單整數為4、6、3，所以晶面a1b1c1的晶面指數為(463)。

幾點說明：●

X、Y、Z軸應當依右手法則建立；●

h、k、l分別與X、Y、Z軸相對應，不能隨意更換其次序；●若截某一軸為負方向截距，則在其相應指數上冠以“-”號；●（hkl）并非只表示一個晶面，而是代表相互平行的一組晶面；●在晶體中有些晶面具有共同的特點，其上原子排列和分布規律是完全相同的，晶面間距也相同，唯一不同的是晶面在空間的位向，這樣的一組等同晶面稱為一個晶面族，用符號{hkl}表示。引申：對高度對稱的立方晶系而言：●晶面族中所包含的各晶面其晶面指數的數字相同，但數字的排列次序和正負號不同；●具有相同指數的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]

垂直于（hkl）。思考：其它晶系點陣常數的交換性？晶系點陣常數<uvw>中u、v、w的交換方式數量三斜a≠b≠c

a≠b≠gu、v、w不能交換位置u、v、w正負號只能同時改變2單斜a≠b≠c

a=b=90≠gu、v、w不能交換位置u和v的正負號可同時改變4正交a≠b≠c

a=b=g=90u、v、w不能交換位置u、v、w正負號可單獨改變8四方a=b≠c

a=b=g=90u和v可交換位置u、v、w正負號可單獨改變16立方a=b=ca=b=g=90u、v、w可交換位置u、v、w正負號均可單獨改變24●

1.3.4六方晶系的晶向指數與晶面指數

●一、問題：三軸（a1,a2,c）指數不能直觀反映晶面和晶向的等同性，如：●二、解決辦法：引入a3軸構成四軸（a1,a2,a3,c）指數●三、四軸晶面指數

(hkil)

i=

-(h+k)●四、四軸晶向指數

某晶向的三軸指數[UVW]，則其四軸指數

[uvtw]：t

=-(u+v)

設：空間點陣中某一晶向OK在三軸坐標系中該矢量可表示為：

OK=Ua1+Va2+Wc

在四軸坐標系中該矢量可表示為：OK=ua1+va2+ta3+wc而：

這是因為：

a1+a2+a3=0

t+u+v=0代入OK即可得上述關系。

因此用四軸坐標系標注晶向指數并不十分容易，可先用三軸坐標系標出給定晶向的晶向指數，再利用上述關系按四軸坐標系標出該晶向的晶向指數。

●

1.4晶面間距、晶面夾角和晶帶定理●

1.4.1晶面間距

●概念 不同晶面，其晶面間距不一。簡單立方晶體的若干晶面間距思考：面心立方最大晶面間距出現在哪個晶面？

晶面間距d與點陣常數之間具有如下確定的關系：

●

1、對立方晶系

●

2、對正交和四方晶系（四方晶系中a＝b）

●

3、對六方晶系

必須注意，按以上這些公式所算出的晶面間距是對簡單晶胞而言的，如為復雜晶胞（例如體心立方、面心立方等），在計算時應考慮到晶面層數增加的影響。例如，在體心立方或面心立方晶胞中，上、下底面（001）之間還有一層同類型的晶面[可稱為(002)晶面]，故實際的晶面間距應為。

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1.4.2晶面夾角晶面與晶面的夾角，可用它們的法線的夾角來表示，因此晶面的夾角也可看成是兩個晶向之間的夾角。

●

1、對于立方晶系，晶面指數與其法線指數相同，故晶面夾角與其法向夾角可用同一公式表示，即：

●

2、對于正交或四方晶系，[u1v1w1]和[u2v2w2]之間的夾角φ的關系為：●

3、對四方晶系，上式中a＝b，在正交或四方晶系中，晶面（h1k1l1）的法線并不是[h1k1l1]，因此要求二晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）之間的夾角ψ，則其公式為

●

4、對于六角晶系，（h1k1l1）和（h2k2l2）二晶面之間的夾角j：

●

1.4.3晶帶(Zone)定理

●一、定義：平行于同一晶向的晶面組成一個晶帶，此晶向為晶軸，晶帶中各晶面相交于同一直線，此直線即為晶帶軸。●二、晶帶定理設有一晶帶其晶帶軸為[uvw]晶向，該晶帶中任一晶面(hkl)，則由矢量代數可以證明晶帶軸[uvw]與(hkl)之間均具有下列關系：

hu+kv+lw=0

這就是晶帶定理。晶帶定理是一個非常有用的工具，如：

●

1、(h1k1l1)和(h2k2l2)晶帶的晶帶軸方向[uvw]：

●

2、屬于兩個晶帶[u1v1w1]和[u2v2w2]的晶面指數(hkl)：

u=k1l2-k2l1v=l1h2-l2h1

w=h1k2-h2k1

h=v1w2-v2w1k=w1u2-w2u1l=u1v2-u2v1●

1.5晶體對稱性(Symmetry)●

1.5.1晶體對稱性的定義晶體結構中結構基元的規則排列，使晶體除了具有由空間點陣所表征的周期性外，還具有重要的對稱性。

對稱的定義：通過一定的動作，使物體發生變動，變動前后物體相對于觀察者的位置和形態跟動作前毫無差別（稱之為規律重復或復原），則稱這樣的物體具有對稱性，這個動作稱之為對稱操作(Symmetryoperation)或對稱變換，對施加對稱變換憑借的幾何元素稱之為此對稱操作的對稱元素（symmetryelement）。

對稱的表示方法： 幾何方法 數學方法——群論

對稱操作是用來揭示物體或圖形的對稱性的手段。晶體的對稱操作可以分為宏觀（macroscopic,4種）和微觀(microscopic,3種)兩類。

宏觀對稱元素是反映晶體外形和其宏觀性質的對稱性，而微觀對稱元素與宏觀對稱元素配合運用就能反映出晶體中原子排列的對稱性。宏觀：對稱面（反映）、對稱軸（旋轉）、對稱中心（反演）、旋轉－反演軸微觀：平移軸、螺旋軸、滑移面●

1.5.2宏觀對稱變換宏觀對稱性：可以從其有限大小的外形反映出來。宏觀對稱變換：若物體的對稱性可以通過在有限大小的空間實施某一對稱操作得到反映，則稱此對稱操作為宏觀對稱變換。●一、對稱面(反映,reflection)

符號：m

若晶體內存在平面，在平面的一方存在一個結點的話，則在平面的另一方必定存在和平面等間距的結點，這種對稱性稱之為反映，這個面稱之為鏡面。

●二、對稱軸（旋轉,rotation）圍繞晶體中一根固定直線作為旋轉軸，整個晶體繞它旋轉角度后而能完全復原，稱晶體具有n次對稱軸，用n表示，重復時所旋轉的最小角度稱為基轉角a，n與a之間的關系為n=360°/a(n=1、2、3、4、6；a為360°、180°、120°、90°、60°)。

注意：晶體中不可能出現5及6次以上對稱軸，因為它們與晶體結構的周期性相矛盾。注意：晶體中不可能出現5及6次以上對稱軸，因為它們與晶體結構的周期性相矛盾。

1984年，Shechtmen等發現微米級Al6Mn顆粒的五次旋轉對稱性電子衍射圖案，《Science》報道：

TheRulesofCrystallographyFallApart?

準晶（quasicrystal）出現。

Penrose瓷磚模型

準晶Al72Ni20Co8的十邊形重疊晶格圖

●三、對稱中心（反演,inversion）若晶體中所有的點在經過某一點反演后能復原，則該點就稱為對稱中心，用符號“i”表示。對稱中心必然位于晶體中的幾何中心，晶體中若存在對稱中心，則其晶面必然是兩兩平行且相等。

●四、旋轉－反演軸(rotation-inversion)

若晶體繞某一軸回轉一定角度（），再以軸上的一個中心點作反演之后能得到復原時，此軸稱為旋轉－反演軸。旋轉－反演軸的對稱操作是圍繞一根直線旋轉和對此直線上一點反演。旋轉－反演軸的符號為、、、、、，相應的基轉角為360°、180°、120°、90°、60°。3個4次軸+4個3次軸+6個2次軸+9個對稱面+1個對稱中心

立方體的宏觀對稱元素分析注意當已經考慮了對稱面和反演對稱元素后，Li1

、Li2

、Li3

、Li6

次旋轉－反演對稱軸就不必再列為基本的對稱元素。原因如下：Li1次旋轉－反演對稱軸就是對稱中心，用i表示，即Li1＝i。Li2次旋轉－反演對稱軸就是垂直于該軸的對稱面，用m表示，即Li2＝m。Li3次旋轉－反演的效果和L3次轉軸加上對稱中心i的總效果一樣。Li6次旋轉－反演的效果和L3次轉軸加上垂直于該軸的對稱面的總效果一樣舉例：L44P--4mm

L4P1P2P3P4小結綜上所述，晶體的宏觀對稱性中，只有以下八種最基本的對稱元素，即L1、L2、L3、L4、L6、i、m、Li4。

●

1.5.332種點群晶體的宏觀外形可以只有一種對稱元素獨立存在，也可以有若干對稱元素同時存在，由上面八種對稱元素的不同組合就可以組成形形色色晶體的各種宏觀對稱性，但是晶體除了對稱性以外，還必須具有周期性這樣一個特點，因此這些對稱元素的組合不能是任意的，必須遵循對稱元素的組合規律，使對稱元素之間相互制約而又相互協調，利用數學方法可以導出這八個宏觀對稱元素可能有的組合數為32種，構成了晶體32種宏觀對稱類型，即32種點群。

如：兩個對稱面相交，其交線必是對稱軸，轉角=不能任意。晶

系國際符號中三位的方向123立方晶系aa+b+ca+b六方晶系ca2a+b四方晶系caa+b三方晶系a+b+ca-b

正交晶系abc單斜晶系b

三斜晶系a

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1.5.4微觀對稱元素微觀對稱性：宏觀對稱操作＋平移必須在無窮大空間進行

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１、平移軸晶體的宏觀對稱性與微觀對稱性的區別就在于：宏觀對稱操作至少要求有一點不動，而微觀對稱操作要求全部點都動。

平移－周期性對稱元素－平移矢量

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2、螺旋軸

螺旋軸是設想的直線，晶體內部的相同部分繞其周期轉動，并且附以軸向平移得到重復。螺旋軸是一種復合的對稱要素，其輔助幾何要素為：一根假想的直線及與之平行的直線方向。相應的對稱變換為，圍繞此直線旋轉一定的角度和此直線方向平移的聯合。螺旋軸的周次n只能等于1、2、3、4、6，所包含的平移變換其平移距離應等于沿螺旋軸方向結點間距的s/n，s為小于n的自然數。螺旋軸的國際符號一般為ns。旋轉軸根據其軸次和平移距離的大小的不同可分為21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65共11種螺旋軸。螺旋軸根據其旋轉方向可分為左旋、右旋和中性旋轉軸。旋轉角(2/n)平移矢量(t=p/n)國際符號n=1t=

n=2

(180°)t=/2

21n=3

(120°)t=/331

t=2/332n=4

(90°)t=/441

t=2/442

t=3/4

43n=6(60°)t=/661

t=2/662

t=3/663

t=4/664

t=5/665

●

3、滑移面（反映－平移）滑移面是設想的平面。晶體內部的相同部分沿平行于該面的直線方向平移后再反演而會得到重復?；泼嬉彩且环N復合的對稱要素，其輔助對稱要素有兩個：一個是假想的平面和平行此平面的某一直線方向。相應的對稱變換為：對于此平面的反映和沿此直線方向平移的聯合，其平移的距離等于該方向行列結點間距的一半。根據平移成分τ的方向和大小，滑動面一般可歸納為三類：軸滑移面、對角滑移面和金剛石滑移面。

①軸滑移面

用a、b、c各表示沿a、b、c方向平移對應軸一半

后又反演而得到重復的滑移機制。

滑移面a滑移面b滑移面c②對角滑移面用n表示平移，，，各種對角矢量的平移，后再反映而重復的晶面?；屏说膎滑移面。③金剛石滑移面用d表示滑移量為，，，的滑移反映對稱面統稱為金剛石滑移對稱面?；屏说膁滑移面。注意：反演、四次旋轉－反演軸在進行對稱操作時都要求有一點不動，所以只有平移一個周期才能使晶體規則復原，然而平移一個周期相當于不動，所以反演和四次旋轉－反演軸均不能與平移結合而形成新的微觀對稱元素。●

1.5.5空間群（閱讀）●

1.5.6結構通報符號一般結構類型在文獻上常以這種符號表示：

看到這種符號后，要想知道結構，則須查結構通報其中：

A1－fccA2－bccA3－hcpA4－金剛石B1－NaCl

結構B2－CeCl

結構元素AB形化合物AB2型化合物AmBn型化合物更復雜的化合物合金有機化合物硅酸鹽ABCDE-kLOS●

1.6極射投影

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1.6.1晶體投影的意義意義：在平面上表示晶體中晶面之間的位向關系以及晶體的對稱元素。現有方法問題：●透射圖：很難精確表示；●數學符號和關系：復雜，難以理解和熟練應用；●立體圖：復雜、難以達到要求。因此引入了極射赤面投影或心射切面投影表示方法。對于大量的晶體學問題，極射赤面投影或心射切面投影是能夠精確把上述各種關系記錄下來。一般只需要幾分鐘的時間，晶體中的某一角關系問題就可以在一張普通大小的紙上用極射投影的方法得到解決，其精度可達0.5°(度)。晶體投影的方法：極射赤面投影心射赤面投影極射赤面投影應用：

●確定晶體位向；

●當需要沿某一特定的晶面切割晶體時定向；

●確定滑移面、孿晶、形變斷裂面、侵蝕坑等表面標記的晶體學指數；

●解決固態沉淀、相變和晶體生長等過程中的晶體學問題；

●多晶體的擇優取向；

●晶體中—些有方向性的力學或物理性質，如彈性模量、屈服點和導電率等的圖解法表示。●

1.6.2參考球(ReferenceSphere)和極射投影參考球：晶體投影所憑借的球。投影分為兩步：

●

1、球面投影；

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2、平面投影?！褚弧⑶蛎嫱队霸O想將一很小的晶體或晶胞置于一大圓球（參考球）的中心，這時晶體的各個晶面可在參考球上表示出來。

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1、方法：

1）跡式投影：晶面-跡線，晶向-跡點；

2）極式投影：晶面-極點（法線和球交點），晶向-極線（法平面和球交線）一般情況下晶面用極點,晶向用跡